2022年广东省汕头市龙湖区中考数学一模试卷（含解析）

2022年广东省汕头市龙湖区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列各数：，，，，其中比小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 年月日，汕头市统计局发布年汕头经济运行情况．根据广东省地区生产总值统一核算结果，年汕头市实现地区生产总值约亿元．数据亿用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“迎”字一面的相对面上的字是

A. 百
B. 党
C. 年
D. 喜

5. 下列说法正确的是

A. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B. 角平分线上的点到角两边的距离相等
C. 在代数式，，，，，中，，， 是分式
D. 若一组数据、、、、的平均数是，则这组数据的中位数是

6. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线为

A.  B.
C.  D.

7. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是

A.  B.  C. 且 D. 且

8. 如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆与边相切于点，与，分别交于点和点，点是优弧上一点，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

9. 在锐角中，，，所对的边分别为，，，有以下结论：其中为的外接圆半径成立在中，若，，，则的外接圆面积为

A.  B.  C.  D.

10. 如图是抛物线的部分图象，图象过点对称轴为直线，有下列四个结论：；；的最大值为；方程有实数根；其中，正确结论的个数是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 计算： ______ ．
12. 分解因式：______．
13. 某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图如图，点到桥的距离是米，测得，则大桥的长度是______ 米结果精确到米参考数据：，，

14. 已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则的值为______
15. 如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为______．

16. 如图，的顶点、的坐标分别是、，且，，则顶点的坐标是______ ．

17. 如图，正方形的边长为，动点、分别从点、同时出发，都以的速度分别沿、向终点、移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，则长的最小值为______．
     

三、解答题（本大题共8小题，共62分）

18. 已知方程组的解也是关于、的方程的一个解，求的值．
19. 如图，为▱的对角线．
    作对角线的垂直平分线，分别交，，于点，，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
    连接，，求证：四边形为菱形．

20. 随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于年月日颁发了教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知为贯彻通知精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图其中表示“一等奖”，表示“二等奖”，表示“三等奖”，表示“优秀奖”．
    
    请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
    获奖总人数为______ 人， ______ ；
    请将条形统计图补充完整；
    学校将从获得一等奖的名同学其中有一名男生，三名女生中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
21. 文美书店决定用不多于元购进甲乙两种图书共本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本元、元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的倍，若用元在文美书店可购买甲种图书的本数比用元购买乙种图书的本数少本．
    甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？
    书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低元，乙种图书售价每本降低元，问书店应如何进货才能获得最大利润？购进的两种图书全部销售完．
22. 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
    求一次函数的解析式；
    将直线沿轴向下平移个单位后得到直线，与两坐标轴分别相交于，，与反比例函数的图象相交于点，，求的值．
23. 已知在中，为边的中点，连接，将绕点顺时针方向旋转旋转角为钝角，得到，连接，．
    如图，当且时，则与满足的数量关系是______ ；
    如图，当且时，中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
    如图，延长到点，使，连接，当，时，求的长．

24. 如图，已知点在的直径延长线上，为的切线，过作，与的延长线相交于．
    求证：；
    若，，求的面积；
    在的条件下，作的平分线与交于点，为的内心，求的长．

25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．

求、的值．
在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
，
其中比小的数是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，掌握有理数大小比较法则是解答本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：由题意得，
解得．
故选：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式，把解集在数轴上表示即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“迎”与“党”相对，面“建”与面“百”相对，面“喜”与面“年”相对．
故选：．
利用正方体及其表面展开图的特点解题．
本题考查了正方体的展开图，注意正方体是空间图形，找到相对的面是关键．
 

5.【答案】

【解析】解：平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B.角平分线上的点到角两边的距离相等，说法正确，故本选项不合题意；
C.在代数式，，，，，中，是整式，故本选项不合题意；
C.若一组数据、、、、的平均数是，则，故这组数据从小到大排列为、、、、，故中位数为，故本选项不合题意；
故选：．
选项A根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可；选项B根据角平分线的性质判断即可；选项C根据分式的定义判断即可；选项D根据中位数的定义判断即可．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，分式的定义以及中位数的定义，掌握相关定义是解答本题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：将抛物线向左平移个单位长度，得到，再向下平移个单位长度，
所得到的抛物线为：．
故选：．
直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
 

7.【答案】

【解析】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，，
解得：，
故选：．
由一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式，，继而可求得的范围．
此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得．
 

8.【答案】

【解析】解：连接，
与相切于点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据切线的性质得到，根据垂直的定义得到，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论。
本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键。
 

9.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
已知，所以求出的度数即可使用题中的结论，得到关于的方程，再求圆的面积即可．
本题考查了特殊角的锐角三角函数值，三角形的内角和定理，实数的运算，解题的关键是：求出的度数，使用题中的结论，得到关于的方程．
 

10.【答案】

【解析】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
，，
抛物线的对称轴为，且过点，
，抛物线过点．
，．
错误，正确．
抛物线开口向下，对称轴是直线，
当时，有最大值，
其值与有关，
错误．
方程的根即是的图象与的交点，
由图象知，的图象与的图象有两个交点．
正确．
抛物线过点，
，
，
，
，
正确．
故选：．
根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：原式．
故答案为：．
利用算术平方根，零指数幂的意义进行运算．
本题主要考查了实数的运算，算术平方根，零指数幂的意义．熟练应用上述法则是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．
应先提取公因式 ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】

解： ，
，
．
故答案为 ．

 

13.【答案】

【解析】解：由题意，在中，
米，，，



米．
故答案为：．
直接利用直角三角形的边角间关系求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：，
，，
，，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，
，，
，
故答案为：．
根据非负数的性质得出，，根据根与系数的关系可得，，整体代入计算即可．
本题考查了非负数的性质，一元二次方程的根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
 

15.【答案】

【解析】解：根据题意可知，则，
设，，
，
，即，
，
故答案为：．
先根据勾股定理求得，再将求不规则的阴影部分面积转化为求规则图形的面积：，将相关量代入求解即可．
本题考查扇形面积的计算及勾股定理，通常需要将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来进行求解．
 

16.【答案】

【解析】解：过点作轴，交轴于点．

、的坐标分别是、，
，，
．
，，
．
，，
．
，，
，．
，
顶点的坐标是
故答案为：
过点作轴，交轴于点只要求出、，则可求出顶点的坐标．
此题考查的是解直角三角形，利用点的坐标特点求得、的长是解决此题关键．
 

17.【答案】

【解析】解：连接、，交于点，
由题意可知，经过点，取中点，连接，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在中，是的中点，
，
，
当，，三点共线时，最小，
故答案为：．
连接、，交于点，由题意可知，经过点，取中点，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
本题主要考查了正方形的性质，取中点，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：方程组，
把代入得：，
解得：，代入中，
解得：，
把，代入方程得，，
解得：．

【解析】求出方程组的解得到与的值，代入方程计算即可求出的值．
此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
 

19.【答案】解：如图，为所作；

证明：垂直平分，
，，，
四边形为平行四边形，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形为菱形．

【解析】利用基本作图作的垂直平分线即可；
先根据线段垂直平分线的性质得到，，，再证明≌得到，则，然后根据菱形的判定方法得到结论．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作已知线段的垂直平分线也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质和菱形的判定．
 

20.【答案】；
“三等奖”人数为人，
条形统计图补充为：

画树状图为：

共有种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为，
所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率。

【解析】解：获奖总人数为人，
，
即；
故答案为；；

用“二等奖”人数除以它所占的百分比得到获奖总人数，然后计算“三等奖”人数所占的百分比得到的值；
利用“三等奖”人数为补全条形统计图；
画树状图展示所有种等可能的结果，找出抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解。
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率。也考查了统计图。
 

21.【答案】解：设乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解
甲种图书售价为每本元
答：甲种图书售价每本元，乙种图书售价每本元
设甲种图书进货本，总利润元，则


解得
随的增大而增大
当最大时最大
当本时，最大
此时，乙种图书进货本数为本
答：甲种图书进货本，乙种图书进货本时利润最大．

【解析】根据题意，列出分式方程即可；
先用进货量表示获得的利润，求函数最大值即可．
本题分别考查了分式方程和一次函数最值问题，注意研究利润最大分成两个部分，先表示利润再根据函数性质求出函数最大值．
 

22.【答案】解：反比例函数得图象过点，点，
，，
，，
一次函数的图象过点，点，
，
解得：，
一次函数的解析式为：；
直线沿轴向下平移个单位后得到直线，
直线的解析式为：，
当时，，
当时，，
，，
，，
，
联立，
得：，
解得：，，
将，代入得：，，
经检验：和都是原方程组的解，
，，
如图，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两条平行线交于点，
则，，
，，
，
．

【解析】根据待定系数法，先求出反比例函数的解析式，求出点坐标，进而求出一次函数的解析式；
根据直线沿轴向下平移个单位后得到直线求得的解析式，然后求出点，得坐标，根据勾股定理求得的长度；联立一次函数和反比例函数得到点，的坐标，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两条平行线交于点，根据勾股定理求得的长度，问题即可迎刃而解．
本题考查了待定系数法，反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是：联立一次函数和反比例函数，求得点，的坐标．
 

23.【答案】
结论成立．
理由：如图中，

，，
，
，
，
，，
≌，
．

如图中，

由旋转的性质可知，
，
，
，
，，，
，
∽，
，
，
，
，
．

【解析】解：结论：．
理由：如图中，

，，，
，，
，
，
，，
≌，
．
结论证明≌，可得结论．
结论成立．证明方法类似．
首先证明，再利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理求出即可．
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】证明：连接，如图，

为的切线，
，
，
．
，
，
，
．
，
；
解：，，
．
为的切线，
，
．
的面积；
解：连接，，，如图，

由知：，
．
是的平分线，
，
，
．
是的直径，
，
．
为的内心，
平分，
．
，，
．
，，
，
．

【解析】连接，利用切线的性质定理，直角三角形的两个锐角互余和等腰三角形的判定定理解答即可；
利用切割线定理求的长，利用三角形的面积公式解答即可；
利用的结论求得圆的直径，利用等弧对等弦可得为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可求；利用三角形的内心的性质和三角形的外角的性质，同弧所对的圆周角相等可得，利用等腰三角形的性质即可得出结论．
本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，切割线定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的内角和定理及其推论，角平分线的定义，三角形的内心的性质，连接圆的半径和连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
 

25.【答案】解：抛物线经过点，，
则，
解得：；
由得：抛物线表达式为，，，
是等腰直角三角形，由点的运动可知：
，
过点作轴，垂足为，
，即，
又，



，
当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
，，
，
当时，四边形的面积最小，最小值为；

存在点使是以点为直角顶点的等腰直角三角形。
如图，过点作轴的垂线，交轴于，过作轴的垂线，与交于，
是等腰直角三角形，，，
，又，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
又，
点的坐标为，
点在抛物线上，
，
解得：或舍，
点的坐标为
 

【解析】利用待定系数法求解即可；
过点作轴，垂足为，利用表示出四边形的面积，求出的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；
画出图形，过点作轴的垂线，交轴于，过作轴的垂线，与交于，证明≌，得到，，得到点的坐标，再代入二次函数表达式，求出值，即可算出的坐标．
本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键．