2023年广东省汕头市金平区汕樟中学中考数学一模试卷

这是一份2023年广东省汕头市金平区汕樟中学中考数学一模试卷，共16页。

2023年广东省汕头市金平区汕樟中学中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）的绝对值是（　　）
A．1﹣ B．﹣1 C．1+ D．±（﹣1）
2．（3分）要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C．x≥ D．x≤
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）甲型流感病毒的直径是0.00000008m，将0.00000008用科学记数法表示是（　　）
A．0.8×10﹣8 B．0.8×10﹣7 C．8×10﹣8 D．8×10﹣7
5．（3分）如图，足球的表面是由正五边形和正六边形拼接而成，其中黑皮的正五边形有12块，白皮的正六边形有20块．如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是（　　）

A．180° B．360° C．540° D．720°
6．（3分）不透明袋子中装有无差别的两个小球，分别写有“问天”和“梦天”．随机取出一个小球后，放回并摇匀，再随机取出一个小球，则两次都取到写有“问天”的小球的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A．a2•a5＝a10 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣3a3）2＝6a6 D．﹣3a2b+2a2b＝﹣a2b
8．（3分）下列命题是真命题的是（　　）
A．每个内角都相等的多边形是正多边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．两直线平行，同位角互补
D．过线段中点的直线是线段的垂直平分线
9．（3分）把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知CD＝4，则EF＝（　　）

A．2 B．2.5 C．4 D．5
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，AD＝4，E为CD中点，F为BC上的一点，且∠EAF＝45°，∠ABG＝∠DAE，连接EF，延长BG交AE于点M，交AD于点N，则以下结论；
①DE+BF＝EF②BN⊥AE③BF＝④S△BGF＝中正确的是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：a3﹣a＝　 　．
12．（3分）化简分式：＝　 　．
13．（3分）一副三角板如图摆放，直线AB∥CD，则∠α的度数是 　 　．

14．（3分）如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位10km的培训中心参加学习，图中L甲，L乙分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲、乙相遇时，乙走了6千米；③乙出发6分钟后追上甲．其中正确的是 　 　．（填序号）


15．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C为OB中点，弦DE经过点C，且DE⊥AB．点F为上一动点，连接DF．AG⊥DF于点G．若AB＝4，在点F运动过程中，线段OG的长度的最小值为 　 　．

三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．
17．（8分）先化简：÷（1﹣），然后从2，0，﹣2中选一个合适的数代入求值．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点E，连接AE；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AB＝10，AC＝6，求CE的长．

19．（9分）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了　 　名学生；
（2）补全条形统计图：
（3）若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；
（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．

20．（9分）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
21．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．
（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；
（2）若AB＝4，求平行四边形BCFD的面积．

22．（12分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O为底边BC的中点，过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N．
（1）AB与⊙O的位置关系为 　 　；
（2）求证：AC是⊙O的切线；
（3）如图2，连接DM，DM＝4，∠A＝96°，求⊙O的直径．（结果保留小数点后一位．参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）


23．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．

（1）求抛物线的表达式；
（2）D是直线AC上方抛物线上一动点，连接OD交AC于点N，当的值最大时，求点D的坐标；
（3）P为抛物线上一点，连接CP，过点P作PQ⊥CP交抛物线对称轴于点Q，当tan∠PCQ＝时，请直接写出点P的横坐标．


2023年广东省汕头市金平区汕樟中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：1﹣的绝对值是﹣1；
故选：B．
2． 解：由题意得：5x﹣2≥0，
解得：x≥，
故选：C．
3． 解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
4． 解：0.00000008＝8×10﹣8．
故选：C．
5． 解：∵黑皮是正五边形，
∴一块黑色皮块的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°．
故选：C．
6． 解：列表如下：

问天
梦天
问天
（问天，问天）
（梦天，问天）
梦天
（问天，梦天）
（梦天，梦天）
由表知，共有4种等可能结果，其中两次都取到写有“问天”的小球的有1种结果，
所以两次都取到写有“问天”的小球的概率为，
故选：D．
7． 解：A、a2•a5＝a7，故选项错误；
B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项错误；
C、（﹣3a3）2＝9a6，故选项错误；
D、﹣3a2b+2a2b＝﹣a2b，故选项正确；
故选：D．
8． 解：A、每个内角都相等，每条边都相等的多边形是正多边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、过线段中点的垂直于线段的直线是线段的垂直平分线，故原命题错误，不符合题意．
故选：B．
9． 解：设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：

则NF＝EN＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDNM是矩形，
∴MN＝CD＝4，ON＝MN﹣OM＝4﹣2.5＝1.5，
在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，
∴NF＝＝2，EF＝2NF＝4，
故选：C．
10． 解：延长CD至H，使DH＝BF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，∠ABF＝∠C＝∠ADC＝∠ADH＝90°，
∴△ABF≌△ADH（SAS），
∴AF＝AH，∠BAF＝∠DAH，∠AFB＝∠H，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAF+∠DAE＝∠DAH+∠DAE＝45°，即∠EAF＝∠EAH＝45°，
又AE＝AE，
∴△EAF≌△EAH（SAS），
∴EF＝EH＝ED+DH＝ED+BF，①正确；
∵∠ABG＝∠DAE，
∴∠ABG+∠ANB＝∠DAE+∠ANB＝90°，
∴BN⊥AE，②正确；
设BF＝DH＝x，
∵E为CD中点，
∴，
∴EF＝EH＝2+x，CF＝4﹣x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得（4﹣x）2+22＝（2+x）2，
解得，即，③不正确；
∵∠ABG＝∠DAE，∠BAF+∠DAE＝45°，
∴∠BGF＝∠BAF+∠ABG＝∠BAF+∠DAE＝45°＝∠EAH，
又∠AFB＝∠H，
∴△BGF∽△EAH，
∵，
∴，
∴，
∴，④正确；
综上，正确的有①②④，
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：a3﹣a，
＝a（a2﹣1），
＝a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
12． 解：原式＝
＝
＝m．
故答案为：m．
13． 解：如图：

由题意得：
∠EFD＝90°，∠FDE＝45°，∠EDC＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠FDC＝180°，
∴∠α＝180°﹣∠EFD﹣∠FDE﹣∠EDC
＝180°﹣90°﹣45°﹣30°
＝15°，
故答案为：15°．
14． 解：①乙在28分时到达，甲在40分时到达，
所以乙比甲提前了12分钟到达，
故①正确；
③设乙出发x分钟后追上甲，则有：，
解得x＝6，
故③正确；
②由③知：乙遇到甲时，所走的距离为：6×（km），
故②正确．
所以正确的结论有三个：①②③，
故答案为：①②③．
15． 解：连接AD，取AD中点M，连接OM，MG，BD，
∵点C为OB中点，DE⊥OB，
∴OD＝BD，
∵OD＝OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OB＝AB＝×4＝2，
∴BD＝OB＝2，
∴AD＝BD＝2，
∵OM是△ABD的中位线，
∴OM＝BD＝1，
∵AG⊥DF，
∴MG＝AD＝，
∵OG≥MG﹣OM＝﹣1，
∴OG的最小值是﹣1．
故答案为：﹣1．

三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：，
解不等式①得：x＞1；
解不等式②得x≤4；
所以，不等式组的解集是1＜x≤4，
所以整数解为：2，3，4．
17． 解：÷（1﹣）
＝÷
＝÷
＝•
＝x﹣2，
要使分式÷（1﹣）有意义，x+2≠0且x﹣2≠0，
所以x不能为﹣2和2，
取x＝0，
当x＝0时，原式＝0﹣2＝﹣2．
18． 解：（1）如图所示：

DE就是所作的边AB的垂直平分线．
（2）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝8，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
在Rt△ACE中，根据勾股定理，得
AE2＝AC2+CE2，
∴（8﹣CE）2＝62+CE2，
解得CE＝．
∴CE的长为．
19． 解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生为：40÷＝200（名），
故答案为：200；
（2）C的人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（名），
补全条形统计图如下：

（3）1280×＝512（名），
答：估计参加B项活动的学生为512名；
（4）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，
∴小杰和小慧参加同一项活动的概率为＝．
20． 解：（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为（1﹣20%）x元，
由题意得：，
解得：x＝5，
经检验：x＝5是原方程的解，且符合题意，
则5×（1﹣20%）＝4，
答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m） 千克，利润为w元，
由题意得：w＝（6﹣4）m+（8﹣5）（150﹣m）＝﹣m+450，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴m≥2 （150﹣m），
解得：m≥100，
∵﹣1＜0，则w随m的增大而减小，
∴当m＝100时，w最大，最大值＝﹣100+450＝350，
则150﹣m＝50，
答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为350元．
21． （1）证明：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴BC＝AB，∠ABC＝60°，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠BAD＝60°，AB＝AD，
∴∠ABC＝∠BAD，
∴BC∥DA，
∵点E是线段AB的中点，
∴CE＝AB＝BE＝AE，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BEC＝60°＝∠ABD，
∴BD∥CF，且BC∥DA
∴四边形BCFD为平行四边形；
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AB＝4，
∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∴S平行四边形BCFD＝2×2＝4．
22． （1）解：∵OD⊥AB，点O为圆心，OD为半径，
∴直线AB到圆心O的距离等于圆的半径，
∴AB为⊙O的切线，
∴AB与⊙O的位置关系为相切，
故答案为：相切；
（2）证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，如图，

∵AB＝AC，O为底边BC的中点，
∴AO为∠BAC的平分线，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD＝OE，
∵OD为⊙O的半径，
∴OE为⊙O的半径，
这样，直线AC到圆心O的距离等于圆的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（3）解：过点O作OF⊥DM于点F，如图，

∵AB＝AC，∠A＝96°，
∴∠B＝∠C＝＝42°，
∵OD⊥AB，
∴∠BOD＝90°﹣∠B＝48°．
∵OF⊥DM，
∴DF＝MF＝DM＝2，
∵OD＝OM，OF⊥DM，
∴OF为∠DOM的平分线，
∴∠DOF＝∠BOD＝24°．
在Rt△ODF中，
∵sin∠DOF＝，
∴sin24°＝，
∴OD＝≈≈4.9，
∴⊙O的直径＝2OD＝2×4.9＝9.8．
23． 解：（1）把点A（3，0）和B（﹣1，0）代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点D作DH∥y轴，交AC于点H，如图所示：

设D（m，﹣m2+2m+3），直线AC的解析式为y＝kx+b，
由（1）可得：C（0，3），
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
∴H（m，﹣m+3），
∴DH＝﹣m2+3m，
∵DH∥y轴，
∴△OCN∽△DHN，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，
∴；
（3）由题意可得如图所示：

过点P作y轴的平行线PH，分别过点C、Q作CG⊥PH于G，QH⊥PH于H，
∵PQ⊥CP，
∴∠CPQ＝∠CGP＝∠PHQ＝90°，
∴∠CPG+∠PCG＝∠CPG+∠QPH＝90°，
∴∠PCG＝∠QPH，
∴△PCG∽△QPH，
∴，
∵，
∴，
设点P（n，﹣n2+2n+3），
由题意可知：抛物线的对称轴为直线x＝1，C（0，3），
∴QH＝|n﹣1|，PG＝|﹣n2+2n|，
∴，
当时，解得：，
当时，解得：
综上：点P的横坐标为或或或．