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    2022年广东省惠州市惠州中学九年级中考数学一模试卷(含答案)

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    这是一份2022年广东省惠州市惠州中学九年级中考数学一模试卷(含答案),共24页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022年广东省惠州市惠州中学九年级中考数学一模试卷
    学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

    一、单选题
    1.的绝对值是(      )
    A. B. C.2021 D.
    2.如图的展开图中,能围成三棱柱的是(    )
    A. B. C. D.
    3.下列运算中,结果正确的是(    )
    A. B.
    C. D.
    4.学校歌咏比赛,共有11位评委分别给出参赛选手的原始评分,评定参赛选手的成绩时,从11个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分,得到9个有效评分.9个有效评分与11个原始评分相比,一定不变的特征数据是(    )
    A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差
    5.如图,在矩形中,对角线相交于点O,点E,F分别是的中点,连接,若.则EF的长是(  )

    A. B. C. D.
    6.在△ABC中,AB<AC.用尺规在BC边上找一点D,使AD+DC=BC的是(    )
    A. B. C. D.
    7.下列命题是真命题的是(    ).
    A.正六边形的外角和大于正五边形的外角和 B.正六边形的每一个内角为
    C.有一个角是的三角形是等边三角形 D.对角线相等的四边形是矩形
    8.某班级开展活动共花费2300元,但有4位同学因时间冲突缺席,若总费用由实际参加的同学平均分摊,则每人比原来多支付4元,设原来有x人参加活动,由题意可列方程(  )
    A. B.
    C. D.
    9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(m,0),B(n,0)两点,已知m+n=4,且﹣4≤m≤﹣2.图象与y轴的正半轴交点在(0,3)与(0,4)之间(含端点).给出以下结论:①6≤n≤8;②对称轴是直线x=2;③当时,抛物线的开口最大;④二次函数的最大值可取到6.其中正确结论的个数为(  )个

    A.1 B.2 C.3 D.4
    10.如图,正方形中,E、F分别为边上的点,且,过F作,交于G,过H作于M,若,则下列结论中:
    ①;②;③,其中结论正确的是(   )

    A.只有①② B.只有①③ C.只有②③ D.①②③

    二、填空题
    11.分解因式:=_______.
    12.若是关于的方程的解,则的值为________.
    13.抛物线向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到抛物线的顶点坐标是______.
    14.如图,在的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,的顶点均在格点(网格线的交点)上,则的值为______.

    15.如图,是的直径,点M是内的一定点,是内过点M的一条弦,连接,若的半径为4,,则的最大值为 _____.


    三、解答题
    16.计算:.
    17.先化简,再求值,其中.
    18.小欣研究了函数的图象与性质,其研究过程如下:
    (1)绘制函数图象①列表:下表是与的几组对应值,其中______;









    0
    1
    2








    3
    2





    ②描点:根据表中的数值描点;③连线:用平滑的曲线顺次连接各点,请把图象补充完整.

    (2)探究函数性质:下列说法不正确的是(    )
    A.函数值随的增大而减小    B.函数图象不经过第四象限.
    C.函数图象与直线没有交点    D.函数图象对称中心
    (3)如果点、在函数图像上,如果,则______.
    19.如图,BC是⊙O的直径,点A是⊙O上一点,点D是CB延长线上一点,连接AB,AC,AD,且∠DAB=∠C.

    (1)求证:AD是⊙O的切线;
    (2)若BD=OB=1,求(弧AB)的弧长.
    20.九(1)班同学在社会实践调研活动中发现,某服装店销售A,B两种款式的衬衫,进价和售价如表所示:
    项目
    进价(元/件)
    售价(元/件)
    A
    100
    120
    B
    150
    200

    已知该服装店购进A,B两种款式的衬衫共花费6000元,销售完成后共获得利润1600元.
    (1)服装店购进A,B两种款式的衬衫各多少件?
    (2)若服装店再次购进A,B两种款式的衬衫共30件,其中B款式的数量不多于A款式数量的2倍,且两种衬衫总利润不低于1140元.问共有几种购进方案?请写出利润最大的购进方案.
    21.在平面直角坐标系中,如果一个点的横坐标与纵坐标相等,则称该点为“不动点”
    例如、、都是“不动点”,已知双曲线
    (1)下列说法不正确的是(    )
    A.直线的图象上有无数个“不动点”
    B.函数的图象上没有“不动点”
    C.直线的图象上有无数个“不动点”
    D.函数的图象上有两个“不动点”
    (2)求双曲线上的“不动点”;
    (3)若抛物线(、为常数)上有且只有一个“不动点”,
    ①当时,求的取值范围.
    ②如果,过双曲线图象上第一象限的“不动点”作平行于轴的直线,若抛物线上有四个点到的距离为,直接写出的取值范围.
    22.(1)如图1, 中,,是上一点,,,垂足为,求的长.
    (2)类比探究:如图2,中,,点,分别在线段上,.求的长.
    (3)拓展延伸:如图3,中,点,点分别在线段上,.延长交于点,,   ;   .


    参考答案:
    1.C
    【分析】利用绝对值的性质计算后判断即可.
    【详解】解:,
    故答案为:C.
    【点睛】本题考查了绝对值,掌握绝对值的性质是解题的关键.
    2.D
    【分析】一般三棱柱展开后,侧面是三个长方形,上下底各是一个三角形,进而得出答案.
    【详解】解:把选项中的平面展开图经过折叠后.
    A选项展开图能围成四棱锥.
    B选项展开图能围成圆柱体.
    C选项展开图能围成圆锥
    因此A、B、C都不能围成三棱柱.
    选项展开图能围成三棱柱.
    故选:D.
    【点睛】此题主要考查了几何图形初步,涉及到三棱柱表面展开图,需注意上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧,其中具备一定的空间想象能力是解决本题的关键.
    3.C
    【详解】解:A.,此选项错误;
    B.,此选项错误;
    C.,此选项正确;
    D.,此选项错误;
    故选:C.
    4.B
    【分析】根据题意,由数据的数字特征的定义,分析可得答案.
    【详解】解:根据题意,从11个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到9个有效评分,9个有效评分,与11个原始评分相比,最中间的一个数不变,即中位数不变,
    不变的特征数据是:中位数.
    故选:B.
    【点睛】此题考查了数据分析初步,涉及到平均数、众数、中位数以及方差,熟知相关数据特征代表的意义是解决本题的关键.
    5.D
    【分析】根据矩形性质得出,根据勾股定理求出,进而求出,最后根据三角形中位线求出的长即可.
    【详解】解:∵四边形是矩形,
    ∴,
    ∵,
    ∴由勾股定理得: ,
    ∴,
    ∵点E、F分别是的中点,
    ∴是的中位线,
    ∴,
    故选:D.
    【点睛】本题考查了勾股定理,矩形性质,三角形中位线的应用,三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
    6.C
    【分析】由于AD=BD,则点D为AB的垂直平分线与BC的交点,然后根据基本作图对各选项进行判断.
    【详解】解:∵BD+DC=BC,
    ∴当AD=BD时,AD+DC=BC,
    ∴点D为AB的垂直平分线与BC的交点.
    故选:C.
    【点睛】本题考查了作图-复杂作图:解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了垂直平分线的性质.
    7.B
    【分析】根据多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质,对各个选项逐个分析,即可得到答案.
    【详解】正六边形的外角和,和正五边形的外角和相等,均为
    ∴选项A不符合题意;
    正六边形的内角和为:
    ∴每一个内角为,即选项B正确;
    三个角均为的三角形是等边三角形
    ∴选项C不符合题意;
    对角线相等的平行四边形是矩形
    ∴选项D不正确;
    故选:B.
    【点睛】本题考查了多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的知识;解题的关键是熟练掌握多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质,从而完成求解.
    8.D
    【分析】设原来有x人参加聚餐,则实际有(x-4)人参加聚餐,根据“总费用由实际参加的同学平均分摊,则每人比原来多支付4元”,列出方程即可解答.
    【详解】解:设原来有x人参加聚餐,则实际有(x-4)人参加聚餐,
    根据题意得,
    故选:D.
    【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程,是重要考点,掌握相关知识是解题关键.
    9.C
    【分析】先根据可得,再根据即可判断①;根据二次函数的对称轴是直线即可判断②;先求出的取值范围,再根据二次函数的图象与轴的交点位置可得的取值范围,从而可得的取值范围,然后根据二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程的根与系数的关系可得,从而可得的取值范围,最后根据抛物线的开口大小与的值的关系即可判断③;先求出当时,二次函数取得最大值,最大值为,再根据的取值范围求出的取值范围,由此即可判断④.
    【详解】解:由得:,



    ,结论①正确;
    二次函数的图象与轴交于两点,且,
    此二次函数的对称轴是直线,结论②正确;



    二次函数的图象与轴的正半轴交点在与之间(含端点),



    又二次函数的图象与轴交于两点,
    是关于的一元二次方程的两个实数根,



    由二次函数图象的开口向下得:,
    则的值越大,抛物线的开口越大,
    所以当时,抛物线的开口最小;当时,抛物线的开口最大,结论③正确;
    此二次函数的对称轴是直线,
    当时,为最大值,且,
    最大值,
    由得:,
    又,

    则二次函数的最大值不可取到6,结论④错误;
    综上,正确结论的个数为3个,
    故选:C.
    【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程的根与系数的关系等知识点,熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键.
    10.D
    【分析】①根据∠ABE的余角是∠BGF和∠AEB,得到∠BGF=∠AEB,根据SAS证明△ABE≌△CBF,得到∠AEB=∠CFB,即可得到∠BGF=∠CFB;②将△DFH绕点D顺时针旋转90°,得到△DEN,证明N,E,H三点共线,根据DH=HN即可得到答案;③连接EF,证明EF=,BE=BF= ,根据求出,根据求出,即可得到答案.
    【详解】①∵正方形ABCD中,AB=BC=9,∠A=∠C=90°,且AE=CF=3,
    ∴△ABE≌△CBF(SAS),
    ∴∠CFB=∠AEB,
    ∵FG⊥BE,
    ∴∠BHG=90°,
    ∴∠BGH+∠ABE=90°,
    ∵∠AEB+∠ABE=90°,
    ∴∠BGH=∠AEB,
    ∴,正确;
    ②∵AD=CD,AE=CF,
    ∴DE=DF,
    将△DFH绕点D顺时针旋转90°,得到△DEN,点F的对应点为点E,
    则∠HDN=90°,∠DFH=∠DEN,DH=DN,FH=EN,
    ∵∠EDF+∠EHF=180°,
    ∴∠DEH+∠DFH==180°,
    ∴∠DEH+∠DEN=180°,
    ∴N,E,H三点在同一条直线上,
    ∴∠N=∠DHN= (180°-∠HDN)=45°,
    ∴DH=HN=EH+EN=EH+FH,
    ∴,正确;

    ③连接EF,
    ∵AD=CD=9,AE=CF=3,,
    ∴DE=DF=6,
    ∴EF=,
    ∵,
    ∴,
    设BH=x,则EH=BE-BH=,
    ∵,
    ∴,
    ∴,即,
    ∵HM⊥AB,
    ∴,
    ∴,
    ∴,

    故正确.

    ∴正确的结论为①②③,
    故选D.
    【点睛】本题综合考查了正方形和三角形,解决问题的关键是添加辅助线,熟练掌握正方形的边角性质,三角形全等的判定定理和性质定理,勾股定理,旋转的性质,锐角三角函数定义.
    11.4(x+2)(x-2)
    【分析】先提公因式4,然后使用平方差公式因式分解即可.
    【详解】解:原式=4(x2-4)
    =4(x+2)(x-2).
    【点睛】本题考查了提公因式法和公式法,熟练掌握平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)是解题的关键.
    12.
    【分析】把代入方程,得到关于的一元一次方程,再解方程即可.
    【详解】解:是关于的方程的解,


    解得:,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了分式方程的解的定义,理解分式方程的解的定义是解题的关键.使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解.
    13.(3,5)
    【分析】先求出抛物线的顶点坐标,再根据向右平移横坐标加,向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可.
    【详解】解:抛物线的顶点坐标为(1,2),
    ∵将抛物线y=(x-1)2+2再向右平移2个单位长度,向上平移3个单位长度,
    ∴平移后的抛物线的顶点坐标为(3,5).
    故答案为:(3,5).
    【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.并用规律求函数解析式.
    14.
    【分析】在Rt△ABD中,利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.
    【详解】解:如图,

    在中,,,

    故答案为:
    【点睛】本题考查了解直角三角形,熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
    15.
    【分析】如图,连接,过点A作交于点H,根据圆周角定理得到,,则可判断,利用相似比得到,然后利用的最大值为,确定的最大值.
    【详解】解:如图,连接,过点A作交于点H.

    ∵是的直径,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵的半径为4,
    ∴,
    ∴,
    ∴当点H与点M重合时,有最大值,
    即时,有最大值,最大值为.
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半;半圆(或直径)所对的圆周角是直角,的圆周角所对的弦是直径.也考查了相似三角形的判定与性质.
    16.
    【分析】根据零次幂,特殊角的三角函数值,负整数指数幂,化简绝对值,进行实数的混合运算即可.
    【详解】解:原式=


    【点睛】本题考查了实数的混合运算,掌握零次幂,特殊角的三角函数值,负整数指数幂,化简绝对值是解题的关键.
    17.
    【分析】首先对括号内的式子进行通分相加,把除法转化为乘法,进行约分,最后代入数值计算即可.
    【详解】原式,
    当 时,原式
    【点睛】本题考查了分式的混合运算以及化简求值,熟练掌握因式分解,通分约分是解题的关键.
    18.(1)①1;②描点见解析;③补充图象见解析;
    (2)A
    (3)0

    【分析】(1)①将代入即得m的值;②描出即可;③把描出的点用平滑的曲线顺次连接即可;
    (2)根据图象,数形结合即可判断.
    (3)由得,从而有, 于是即可得.
    【详解】(1)解∶①时,,
    故答案为:1;
    ②如图∶

    ∵,
    ∴A即为补充描出的点;
    ③补充图象如图∶

    (2)解:根据函数图象可得∶
    A.每一个分支上,函数值y随x的增大而减小,故A错误;
    B.图像不经过第四象限,故B正确;
    C.当时,无意义,所以函数图象与直线没有交点,故C正确;
    D.图象关于对称,故D正确.
    故选A.
    (3)解:∵,
    ∴,
    ∵点、在函数图像上,
    ∴,,
    ∴,
    故答案为:0.
    【点睛】本题考查函数的图形及性质分式的加减,解题的关键是熟练掌握研究函数的方法∶用列表、描点、连线作出图象,再数形结合研究函数性质.
    19.(1)见解析
    (2)

    【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角,可得,由,可得,结合已知条件可得,继而可得,即可证明,进而证明AD是⊙O的切线;
    (2)根据已知条件求得,进而求得,根据弧长公式求解.
    【详解】(1)证明:如图,连接,
    BC是⊙O的直径,




    ∠DAB=∠C.




    是半径
    是的切线

    (2),BD=OB=1,
    在中,





    【点睛】本题考查了切线的性质与判定,求弧长,根据特殊角的三角函数值求角度,掌握以上知识是解题的关键.
    20.(1)服装店购进种款式的衬衫30件,购进种款式的衬衫20件
    (2)共有3种购进方案,利润最大的购进方案是购进种款式的衬衫10件,购进种款式的衬衫20件

    【分析】(1)设服装店购进种款式的衬衫件,购进种款式的衬衫件,根据“该服装店购进两种款式的衬衫共花费6000元,销售完成后共获得利润1600元”建立方程组,解方程组即可得;
    (2)设服装店购进种款式的衬衫件,则购进种款式的衬衫件,根据“款式的数量不多于款式数量的2倍,且两种衬衫总利润不低于1140元”建立不等式组,结合为正整数,解不等式求出的所有可能的取值,再分别求出总利润,由此即可得出答案.
    【详解】(1)解:设服装店购进种款式的衬衫件,购进种款式的衬衫件,
    由题意得:,
    解得,
    答:服装店购进种款式的衬衫30件,购进种款式的衬衫20件.
    (2)解:设服装店购进种款式的衬衫件,则购进种款式的衬衫件,
    由题意得:,
    解得,
    因为为正整数,
    所以的所有可能取值为,
    当时,总利润为(元),
    当时,总利润为(元),
    当时,总利润为(元),
    答:共有3种购进方案,利润最大的购进方案是购进种款式的衬衫10件,购进种款式的衬衫20件.
    【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用,正确建立方程组和不等式组是解题关键.
    21.(1)C
    (2)和
    (3)①;②

    【分析】(1)首先根据“不动点”的定义,可知,据此再根据方程的解的性质,即可一一判定;
    (2)首先根据“不动点”的定义,可知,据此再解方程,即可求得;
    (3)①根据“不动点”的定义,可知,可得方程,再根据该函数图象上有且只有一个“不动点”,利用一元二次方程根的判别式可得,再根据a的范围即可求解;
    ②首先由,,可求得,据此即可求得该二次函数的顶点坐标,再由(2)可知:双曲线图象上第一象限的“不动点”为,可得抛物线与直线有两个交点,据此即可解答.
    【详解】(1)解:A.直线的图象上有无数个“不动点”,故该说法正确,不符合题意;
    B.当时,可得,此方程无解,故函数的图象上没有“不动点”, 故该说法正确,不符合题意;
    C.当时,可得,此方程无解,故直线的图象上没有“不动点”,故该说法不正确,符合题意;
    D.当时,可得,解得,,故函数的图象上有两个“不动点”, 故该说法正确,不符合题意;
    故选:C;
    (2)解:根据题意得:,
    解得或,
    故双曲线上的“不动点”为和;
    (3)解:①抛物线(、为常数)上有且只有一个“不动点”,
    方程组只有一组解,

    方程有两个相等的实数根,

    解得,


    故的取值范围为;
    ②,,


    该抛物线的开口向上,顶点坐标为,
    由(2)知:双曲线图象上第一象限的“不动点”为,
    过双曲线图象上第一象限的“不动点”做平行于轴的直线,且,
    抛物线与直线有两个交点,
    如图:

    抛物线上有四个点到的距离为,
    的取值范围为.
    【点睛】本题考查二次函数的图象及性质,新定义,一元二次方程根的判别式,熟练掌握二次函数的图象及性质,理解定义,并与二次函数的性质结合解题是关键.
    22.(1)4;(2);(3),
    【分析】(1)根据题目条件易证,再利用相似三角形的性质求边即可.
    (2)通过添加辅助线构造相似三角形,然后利用相似三角形的性质求解边的长度即可.
    (3)通过添加辅助线,结合勾股定理以及含角的直角三角形证明与相似,然后依据相似的三角形的性质列方程求出的值,进而求出的值,再利用求出的值.
    【详解】解:(1),
    ∴,
    ∴,

    ∴,
    解得:,
    故答案为:4;
    (2)如图2,在上截取,连接,

    为等边三角形,







    ,即
    解得:;

    (3)过点作于点,过点作于点,


    ∴,
    ∴,
    则,
    ∴,
    设,



    ∴,
    ∵,


    ∴,
    ∴,
    ∴,即,
    解得:,
    ∴,



    故答案为:,.

    【点睛】本题主要考查勾股定理,相似三角形的性质及判定,熟练掌握勾股定理计算以及相似三角形的判定和性质是解决本题的关键.

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