2023年广东省汕头市金平区爱华中学中考数学一模试卷(含答案)

这是一份2023年广东省汕头市金平区爱华中学中考数学一模试卷(含答案)，共17页。

2023年广东省汕头市金平区爱华中学中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B．
C． D．3.3030030003
2．（3分）如右图，AB∥CD，则下列式子一定成立的是（　　）

A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠2+∠3 D．∠3＝∠1+∠2
3．（3分）如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，随机对居住在该小区的40名居民一周的体育锻炼时间进行了统计，结果如表：
锻炼时间（时）
3
4
5
6
7
人数（人）
6
13
14
5
2
这40名居民一周体育锻炼时间的众数和中位数是（　　）
A．14，5 B．14，6 C．5，5 D．5，6
5．（3分）若a、b为实数，且满足|a﹣2|+＝0，则b﹣a的值为（　　）
A．2 B．0 C．﹣2 D．以上都不对
6．（3分）已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（　　）

A．ab＞0 B．a﹣b＜0 C．a＞﹣b D．|a|＜|b|
7．（3分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点D的坐标为（　　）

A．（2，2） B．（2，1） C．（3，2） D．（3，1）
8．（3分）若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣5x﹣14＝0的两个根，则α﹣β的值为（　　）
A．﹣9 B．9 C．﹣9或9 D．﹣5或5
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为（0，3），∠D＝60°，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．13 B．14 C．15 D．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A、B两点，顶点P（m，n）．给出下列结论，正确的有（　　）
①abc＞0；
②9a﹣3b+c＜0；
③若点（﹣，y1），（，y2），（，y3）在抛物线上，则y2＜y1＜y3；
④关于x的ax2+bx+k＝0有实数解，则k≥c﹣n；
⑤当n＝﹣时，△ABP为等边三角形．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）＝　 　．
12．（3分）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠1＝55°，则∠2＝　 　度．

13．（3分）若不等式组的解集为1＜x＜3，则a＝　 　．
14．（3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B＝60°，AC＝6，那么CD的长为　 　．

15．（3分）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则n＝　 　．

三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：[（x+2y）2+（x+2y）（x﹣2y）]÷2x，其中x＝﹣2，y＝﹣3．
17．（8分）某校对八年级600名学生本学期参加艺术学习活动的情况进行评价，其中1班学生本学期参观美术馆的次数以及艺术评价等级和艺术赋分的统计情况，如下表所示：
艺术评价等级
参观次数（x）
艺术赋分
人数
A级
x≥6
10分
10人
B级
4≤x≤5
8分
20人
C级
2≤x≤3
6分
m人
D级
x≤1
4分
5人
（1）1班学生总数为 　 　人，表格中m的值为 　 　．
（2）1班学生艺术赋分的平均分是多少？
（3）根据统计结果，估计八年级600名学生艺术评价等级为A级的人数是多少？

18．（8分）已知：如图，△ABC，AB＝AC，∠A＝120°．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）求证：CM＝2BM．

19．（9分）已知每本甲图书的进价比每本乙图书的进价少20元，花540元购进甲图书的数量与花780元购进乙图书的数量相同．
（1）求甲乙两种图书每本的进价分别是多少元？
（2）某中学计划购进甲、乙两种图书共70本，总购书费用不超过3550元，则至少购进甲图书多少本？
20．（9分）如图，直线AB与双曲线交于A（1，m）、B（n，1）两点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C为线段AB上的一个动点（不与A、B重合），作CD⊥x轴于点D，求△ACD面积S的最大值．

21．（9分）如图，E为长方形ABCD的边AB上一点，将长方形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若BE＝1，BC＝3，求CD的长．

22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接BD．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AB•（AB﹣AE）＝AC•BF
（3）若AB＝10，AC＝6，求AD的长．

23．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


2023年广东省汕头市金平区爱华中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A．＝3，是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
B．＝2，是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
C．是无理数，故本选项符合题意；
D．3.3030030003是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
故选：C．
2． 解：∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠3，
∵∠DEF＝∠1+∠2，
∴∠3＝∠1+∠2．
故选：D．

3． 解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，
故选：B．
4． 解：一周锻炼5小时出现的次数最多，是14人次，因此众数是5小时；
将这40人的锻炼时间从小到大排列后，处在第20、21位的两个数都是5小时，因此中位数是5小时；
故选：C．
5． 解：∵|a﹣2|+＝0，
∴a＝2，b＝0
∴b﹣a＝0﹣2＝﹣2．
故选：C．
6． 解：由图可知，a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，
A、ab＜0，故本选项错误，不合题意；
B、a﹣b＞0，故本选项错误，不符合题意；
C、a＞﹣b，故本选项正确，符合题意；
D、|a|＞|b|，故本选项错误，不合题意．
故选：C．
7． 解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），
以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点D的坐标为：（3，1）．
故选：D．
8． 解：∵α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣5x﹣14＝0的两个根，
∴α+β＝5，α•β＝﹣14，
∴（α﹣β）2＝（α+β）2﹣4α•β＝52﹣4×（﹣14）＝81，
∴α﹣β＝±9．
故选：C．
9． 解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝60°，
∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝CD＝BC＝AD，
∵点A的坐标为（0，3），
∴OA＝3，
在Rt△ABO中，，
∴菱形ABCD的周长为，
故选：D．
10． 解：∵抛物线对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜0，
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴abc＞0，故①正确，；
由图象可知，当x＝﹣3时，y＞0，
∴9a﹣3b+c＞0，故②错误；
若点（﹣，y1），（，y2），（，y3）在抛物线上，
由图象法可知，y2＜y1＜y3，故③正确，
∵抛物线与直线y＝t有交点时，方程ax2+bx+c＝t有解，t≥n，
∴ax2+bx+c﹣t＝0有实数解
要使得ax2+bx+k＝0有实数解，则k＝c﹣t≤c﹣n；故④错误，
设抛物线的对称轴交x轴于H．
∵＝﹣，
∴b2﹣4ac＝12，
∴x＝，
∴|x1﹣x2|＝，
∴AB＝PH，
∵BH＝AH，
∴BH＝PH，
∴∠PBH＝60°，
∵PA＝PB，
∴△PAB是等边三角形．故⑤正确．
综上，结论正确的是①③⑤，
故选：B．

二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：．
故答案为：1．
12． 解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠1＝55°，
∵沿EF折叠D到D′，
∴∠FEG＝∠DEF＝55°，
∴∠AEG＝180°﹣55°﹣55°＝70°，
故答案为：70．
13． 解：由6﹣2x＞0得x＜3，
又1＜x＜3，
∴a﹣1＝1，
解得a＝2，
故答案为：2．
14． 解：连接AD，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，
∴AD＝AC，
∵∠B＝60°，AC＝6，
∴CD＝AC＝6．
故答案为：6．

15． 解：因为第1个图形中一共有1×（1+1）+2＝4个圆，
第2个图形中一共有2×（2+1）+2＝8个圆，
第3个图形中一共有3×（3+1）+2＝14个圆，
第4个图形中一共有4×（4+1）+2＝22个圆；
可得第n个图形中圆的个数是n（n+1）+2；
n（n+1）+2＝134，
解得n＝﹣12（舍），n＝11，
故答案为：11．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：[（x+2y）2+（x+2y）（x﹣2y）]÷2x
＝（x2+4xy+4y2+x2﹣4y2）÷2x
＝（2x2+4xy）÷2x
＝x+2y，
当x＝﹣2，y＝﹣3时，原式＝﹣2+2×（﹣3）＝﹣2﹣6＝﹣8．
17． 解：（1）20÷40%＝50（人）；50﹣10﹣20﹣15＝5（人）；
∴1班学生总数为50人，表格中m＝50﹣10﹣20﹣5＝15（人）；
故答案为：50，15；
（2）解：设1班学生艺术赋分的平均分是，
，
∴甲班学生艺术赋分的平均分是 7.4 分．
（3）由题可知，A级占 ，
∴估计全校 600 名学生艺术评价等级为A级的人数是 600×20%＝120（人）．
18． （1）解：如图，直线MN为所求；

（2）证明：连接AM，如图，
∵直线MN是线段AB的垂直平分线
∴BM＝AM，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠MAB＝∠B＝30°，∠MAC＝90°，
∴AM＝CM，
∴BM＝CM，
即CM＝2BM．
19． 解：（1）设甲乙两种图书每本的进价分别是x元、（x+20）元，
则，
∴540（x+20）＝780x，
∴x＝45，
检验：当x＝45时，x（x+20）≠0，
∴x＝45是该方程的解，
∵x+20＝65，
∴甲乙两种图书每本的进价分别是45元、65元．
（2）设购进甲图书m本，45m+65（70﹣m）≤3550，m≥50，
∴至少购进甲图书50本．
20． 解：（1）∵A（1，m）、B（n，1）在双曲线上，
∴，
∴m＝3，n＝3，
∴A（1，3）、B（3，1）．
设直线AB解析式为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4；
（2）点C为线段AB上的一个动点，直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
∴可设C（t，﹣t+4）（1＜t＜3）．
∵CD⊥x轴于点D，
∴CD＝﹣t+4，
＝＝，
∴当时，S有最大值，最大值为．
21． 解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴AD＝BC，∠A＝90°，AB∥CD，
∴∠AED＝∠CDF，
由折叠可知：AD＝BC＝CF，
在△ADE和△FCD中，
，
∴△ADE≌△FCD（AAS），
∴AE＝DF；
（2）设CD＝x，则AE＝x﹣1，
由折叠得：AD＝CF＝BC＝3，
∵△ADE≌△FCD，
∴ED＝CD＝x，
Rt△AED中，AE2+AD2＝ED2，
∴（x﹣1）2+32＝x2，
∴x＝5，
∴CD＝5．
22． （1）证明：如图，连接OD．
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠EAD，
∴OD∥AE，
∴∠ODF＝∠E＝90°，
∴半径OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）证明：如图，连接CD．
由（1）知∠FDB+∠ODB＝90°，AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠FDB＝∠CAD，
∵∠ACD+∠ABD＝180°，∠ABD+∠FBD＝180°，
∴∠FBD＝∠DCA，
∴△FBD∽△DCA，
∴，
∵∠CAD＝∠DAB，
∴BD＝CD，
∴BD2＝AC•BF，
又△AED∽△ADB，
∴，
∴AD2＝AE•AB，
∵AB2＝AD2+BD2，
∴AB2＝AE•AB+AC•BF，
∴AB•（AB﹣AE）＝AC•BF．
（3）解：如图，连接BC，交OD于点H．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝8，
∵CD＝BD，
∴OD⊥BC，
∴CH＝BH＝＝4，
∵OA＝OB，
∴，
∴DH＝2，
∴BD2＝DH2+BH2＝22+42＝20，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝102﹣20＝80，
∴AD＝＝4．


23． 解：（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+4；
（2）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴S△OAC＝×3×4＝6，
∵S△BOP＝2S△AOC，
∴S△BOP＝12，
设P（t，﹣t2+t+4），
∵B（4，0），
∴OB＝4，
∴×4×|﹣t2+t+4|＝12，
解得t＝6或t＝﹣5，
∴P（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）；
（3）存在点Q，使得∠QBA＝75°，理由如下：
∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为x＝，
在对称轴上取点M使QM＝MB，
∴∠EMB＝2∠MQB，
∵∠QBA＝75°，
∴∠MQB＝15°，
∴∠EMB＝30°，
∴MB＝2BE，
∵B（4，0），E（，0），
∴BE＝，
∴BM＝QM＝7，ME＝，
∴QE＝7+，
∴Q（，7+）；
Q点关于x轴对称的点为（，﹣7﹣）；
综上所述：点Q的坐标为（，7+）或（，﹣7﹣）．