2022年广东省汕头市金平区东厦中学九年级数学一模试卷（含答案）

这是一份2022年广东省汕头市金平区东厦中学九年级数学一模试卷（含答案），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年广东省汕头市金平区东厦中学九年级数学一模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．计算的结果是（    ）
A．1 B． C．2 D．4
2．下列图形中具有稳定性的是（    ）
A．平行四边形 B．三角形 C．长方形 D．正方形
3．如图，直线，，则（　　）

A． B． C． D．
4．如图，在中，，点D，E分别为，的中点，则（    ）

A． B． C．1 D．2
5．将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　）
A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+3
6．如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“迎”字一面的相对面上的字是（    ）

A．百 B．党 C．年 D．喜
7．已知点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函数y的图象上，那么x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＞x2＞x3 B．x1＞x3＞x2 C．x3＞x2＞x1 D．x2＞x3＞x1
8．如图，四边形ABCD为一长方形纸带，AD∥BC，将四边形ABCD沿EF折叠，C、D两点分别与C′、D′对应，若∠1=2∠2，则∠3的度数为（   ）

A．50° B．54° C．58° D．62°
9．在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（  ）
A． B． C． D．
10．如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根；⑤．其中，正确结论的个数是（    ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题
11．单项式的系数为___________．
12．菱形的边长为5，则它的周长为____________．
13．若是方程的根，则____________．
14．人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若，的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度为__________．（参考数据：，，）

15．如图，的顶点的坐标分别是，且，则顶点A的坐标是_____．

16．已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，则的值为___
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留）


三、解答题
18．先化简，再求值：，其中
19．先化简，再求值：，其中．
20．为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位：cm），并绘制了如下两幅不完整的统计图．

(1)填空：样本容量为 ，a= ；
(2)把频数分布直方图补充完整；
(3)老师准备从E类学生中随机抽取2人担任广播体操领队．已知E类学生中有2名男生，1名女生，求恰好选中1名男生和1名女生的概率．
21．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O的直线DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．

(1)求证：DE=BD+CE；
(2)若AD=3，BD=CE=2，求BC的值．
22．图，在平面直角坐标系中，直线与y轴正半轴交于A点，与反比例函数交于点B（，4）和点C，且AC＝4AB，动点D在第四象限内的该反比例函数上，且点D在点C左侧，连接BD、CD．

(1)求点C的坐标；
(2)若，求点D的坐标．
23．冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小李在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售，两款玩偶的进货价和销售价如表：

A款玩偶
B款玩偶
进货价（元/个）
20
15
销售价（元/个）
25
18

(1)第一次小李以1650元购进了A，B两款玩偶共100个，求两款玩偶各购进多少个？
(2)第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，小李计划购进两款玩偶共100个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
24．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，且AD=DE，以AB为半径作⊙A，交AD边于点F，连接EF．

(1)求证：DE是⊙A的切线；
(2)若AB＝2，BE＝1，求AD的长；
(3)在（2）的条件下，求tan∠FED．
25．已知二次函数．

(1)对于任意m，二次函数都会经过一个定点，求此定点的坐标；
(2)当时，如图，二次函数与y轴的交点为M，顶点为N．
①若点P是x轴上的动点，求的最大值及对应的点P的坐标；
②设点Q是二次函数上的动点，点H是直线MN上的动点，是否存在点Q，使得△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．D
【分析】利用乘方的意义计算即可．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解答本题的关键．
2．B
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性可得结论．
【详解】解：三角形具有稳定性；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，比较简单．
3．B
【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的有关性质．
4．D
【分析】利用中位线的性质：平行三角形的第三边且等于第三边的一半即可求解．
【详解】∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴，
∵BC=4，
∴DE=2，
故选：D．
【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，掌握中位线的判定与性质是解答本题的关键．
5．A
【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．
【详解】将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=-5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，
所得到的抛物线为：y=-5（x+1）2-1．
故选A．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
6．B
【分析】正方体的表面展开图“一四一”型，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点解答．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方体，“迎”与“党”是相对面，“建”与“百”是相对面，“喜”与“年”是相对面．
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
7．B
【分析】根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．
【详解】解：∵点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函数y的图象上，
∴x1＝﹣1÷（﹣1）＝1，x2＝﹣1÷2，x3＝﹣1÷3．
∴x1＞x3＞x2，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握根据函数析式，求点坐标．
8．B
【分析】根据AD∥BC以及平角求出∠1与∠2，再利用四边形内角和求出即可求出∠3．
【详解】解：由折叠可知：，
，
，
，
，
，，
设交BC于点H，
由四边形内角和可知：，
．

故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及轴对称的性质，掌握平行线性质以及轴对称的性质是解题关键．
9．A
【分析】方法一：先求出∠C，根据题目所给的定理， , 利用圆的面积公式S圆=．
方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，由三角形内角和可求∠C=60°，由圆周角定理可求∠AOB=2∠C=120°，由等腰三角形性质，∠OAB=∠OBA=，由垂径定理可求AD=BD=，利用三角函数可求OA=，利用圆的面积公式S圆=．
【详解】解:方法一：∵∠A=75°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，
有题意可知，
∴，
∴S圆=．
方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，
∵∠A=75°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，
∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=，
∵OD⊥AB，AB为弦，
∴AD=BD=，
∴AD=OAcos30°，
∴OA=，
∴S圆=．
故答案为A．

【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键．
10．C
【分析】根据二次函数图象，依次判断、、，可判断①；根据抛物线的对称性与过点（3，0），可得抛物线与x轴的另一个交点为(−1，0)，可判断②；根据图象，可知y是有最大值，但不一定是3，可判断③；由函数与的图象有两个交点，可判断④；由于抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），可知，再根据、推导，可判断⑤；从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴，故②正确；
根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误；
由可得，
根据图象，抛物线与直线有交点，
∴有实数根，故④正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，即，故⑤正确．
综上所述，正确的为②④⑤．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
11．3
【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，从而可得出答案．
【详解】的系数是3，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式系数的定义．
12．20
【分析】根据菱形的四条边相等，即可求出．
【详解】∵菱形的四条边相等．
∴周长：，
故答案为：20．
【点睛】本题考查菱形的性质；熟练掌握菱形的性质是本题解题关键．
13．1
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值．
【详解】把x=1代入方程，得1−2+a=0，
解得a=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
14．2.05
【分析】在Rt△ADC中，求出AD即可．
【详解】解：∵AB=AC=2.5m，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴AD=AC•sin55°=2.5×0.82≈2.05（m），
故答案为2.05．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．
【分析】根据的坐标求得的长度,， 利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得的长度，即点的横坐标，易得轴，则的纵坐标即的纵坐标．
【详解】的坐标分别是





轴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关键．
16．1
【分析】根据非负数的性质得出a=2，b=-3，根据根与系数的关系可得，，整体代入即可求得．
【详解】解：，
，，
，，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为，
，，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了非负数的性质以及一元二次方程的根与系数的关系，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．
17．
【分析】先根据勾股定理求得AC＝1，将求不规则的阴影部分面积转化为求规则图形的面积，，再将数据代入公式求解即可．
【详解】解：∵在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝，BC＝2
∴AC= = =1
由题意可得：AC=AD=BE=BF
设∠A=m°，∠B=n°
∵∠ACB＝90°
∴∠A+∠B= m°+ n°=90°
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了不规则的阴影部分面积的计算、扇形的面积计算、勾股定理．要将求不规则的阴影部分面积转化为求规则图形的面积进行求解，扇形的面积公式要牢记．
18．，
【分析】将括号里通分，除法化为乘法，因式分解，约分，再代值计算即可．
【详解】解：原式=


当时，原式．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
19．，11
【分析】利用平方差公式约分，再合并同类项即可；
【详解】解：原式=，
将a=5代入得：原式=2×5+1=11.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握平方差公式是解题关键．
20．(1)100，32；
(2)见解析；
(3)

【分析】（1）用A组的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算B组所占的百分比得到a的值；
（2）利用B组的频数为30补全频数分布直方图；
（3）先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出恰好选中1名男生和1名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1））15÷ =100，
所以样本容量为100；
B组的人数为100-15-35-15-5=30，
所以a%=×100%=30%，则a=30；
故答案为100，30；
（2）补全频数分布直方图为：

（3）画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中“1男1女”的结果数为4，所以恰好选中“1男1女”的概率
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
21．(1)见解析；
(2)

【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质证明、是等腰三角形即可；
（2）求出DE长，证明△ADE∽△ABC即可求出BC．
【详解】（1）证明：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，
∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，
∴DB=DO，OE=EC，
∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC；
（2）∵BD=CE=2，
∴由（1）可知，DE=BD+EC=4，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质以及相似三角形的判定以及性质．准确掌握角平分线，平行线，相似的性质是解题关键．
22．(1)C坐标为
(2)

【分析】（1）先利用B点坐标求出反比例函数的解析式，再利用相似三角形的判定与性质求出C点的横坐标，再代入反比例函数解析式当中求出纵坐标即可；
（2）先求出直线BC的解析式，再设出D点坐标，利用面积关系列出方程求解即可．
【详解】（1）解:如图， 过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F
∵反比例函数经过点B（，4），
∴，
解得，
∴反比例函数为
∵BE⊥y轴，CF⊥y轴，
∴BE∥CF，
∴△BEA∽△CFA
∵AC＝4AB ，
∴
∴CF＝4
∵反比例函数经过点C
∴当时，，即点C坐标为（4，）
（2）过点D作DG∥y轴，交AC于点G.
将点B（，4）,点C（4，）代入,解得
∴直线的函数解析式为
设点D（t，），点G（t，）
∵，
∴
解得，，，
∵，
∴
此时，点D的坐标为．

【点睛】本题考查了反比例函数的相关概念、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等，解题的关键是正确作出辅助线，构造相似三角形或建立方程进行求解等．
23．(1)购进A款玩偶30个，则购进B款玩偶70个；
(2)购进A款玩偶33个，购进B款玩偶67个时才能获得最大利润，最大利润是366元．

【分析】（1）设购进A款玩偶x个，则购进B款玩偶（100-x）个，根据“小李以1650元购进了A，B两款玩偶共100个”列出一元一次方程求解即可；
（2）设购进A款玩偶a个，则购进B款玩偶（100-a）个，利润为w元，根据表格列出关于利润的一次函数，根据“网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半”求出a的取值范围，再考虑其为整数即可求出答案．
【详解】（1）（1）设购进A款玩偶x个，则购进B款玩偶（100-x）个，
由题意可得：20x+15（100-x）=1650，解得x=30，∴100-x=70，
答：购进A款玩偶30个，则购进B款玩偶70个；
（2）设购进A款玩偶a个，则购进B款玩偶（100-a）个，利润为w元，
由题意可得：w=（25-20）a+（18-15）（100-a）=2a+300，
∵k=2>0，
∴w随a的增大而增大，
∵网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，∴a≤，
解得a≤，
∵a为整数，∴a≤33
∴当a=33时，w取得最大值，此时w=366，100-a=67，
答：购进A款玩偶33个，购进B款玩偶67个时才能获得最大利润，最大利润是366元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用以及不等式的应用．根据“网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半”求出a的取值范围以及考虑a为整数是解题关键．
24．(1)见解析；
(2)；
(3)

【分析】(1)过点A作AG⊥DE，只要证得AG为⊙A的半径即可；
(2) 先证得△ABE≌△AGE（HL），得到BE=EG ，设DG=EC=x，在Rt△DEC中，利用勾股定理即可求得AD=DE=；
(3) 过点F作FH⊥DE，证得△DFH∽△DAG，求得，在中利用正切函数即可求解．
【详解】（1）证明：过点A作AG⊥DE，
∴∠AGD=90°
在矩形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，
∴∠AGD=∠C，∠ADG=∠DEC
∵AD=DE，
∴△ADG≌△DEC
∴AG=DC，DG=EC，
∵AB=DC，
∴AG=AB，即AG为⊙A的半径
∴DE是⊙A的切线
（2）解：连接AE，
由（1）可知，AG=AB，∠ABE=∠AGE=90°，AE=AE，
∴△ABE≌△AGE（HL），
∴BE=EG ，
设DG=EC=x，
∵AB=2，BE=1，
∴DE=x+1，DC=AB=2，
在Rt△DEC中，
由勾股定理可得，
解得，，
∴AD=DE=

（3）过点F作FH⊥DE，
∵，，
∴，
∵FH⊥DE，，
∴，
∴△DFH∽△DAG，
∴，即，
解得，
∵，，
∴
∴tan∠FED，
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质等，作出适当的辅助线是解题的关键．
25．(1)（，21）；
(2)①PN-PM的最大值为，点P坐标为（，0）；②存在，（，）或（，）或（，）

【分析】（1）根据二次函数解析式化为y= x2+x+m（x+4）+9，当x=-4时，y与m无关，将x=-4代入取出y的值即可．
（2）①当时，二次函数的解析式为，当点P，M，N三点在一条直线上时，取得最大值，求得直线MN的解析式，再求得点P的坐标，利用勾股定理即可求解；
②分两种情况，利用全等三角形的判定和性质以及函数图象上点的特征，即可求解．
【详解】（1）解：∵=x2+x+m（x+4）+9，
∴当x=-4时，m（x+4）=0，
∴y=（-4）2+（-4）+9=16+5=21．
∴对于任意m，抛物线都会经过一个定点（-4，21）；
（2）解：①当时，二次函数的解析式为，   
∴点M坐标为（0，），顶点N坐标为（1，），
∵，
∴当点P，M，N三点在一条直线上时，取得最大值，
如图，连接MN并延长，交x轴于点P，

设直线MN的函数解析式为，将M（0，），N（1，）代入，得
，解得，即直线MN的解析式为y=-x-3，
当时，，
∴点P的坐标为（，0），
∴的最大值为，点P坐标为（，0）；
②设点H为（t，），∵△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH
当△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH，且点Q在x轴上方时，
过点Q作QF⊥y轴于点F，过点H作HE∥y轴交直线QF于点E，如图：

设QF=m，OF=n，则点Q的坐标为（-m，n），
∵△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH，即∠OQH=90°，OQ=QH，
∴∠EQH+∠FQO=90°，∠FOQ+∠FQO=90°，
∴∠EQH=∠FOQ，
∴Rt△EQH≌Rt△FOQ，
∴EQ=OF=n，EH= QF=m，
∴点H的坐标为（-m-n，n-m），
∵点H在直线直线MN上，
∴n-m=m+n -3，
解得：m=，
当x=-时，，
∴点Q的坐标为（-，）；
当△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH，且点Q在x轴下方时，
过点Q作QD⊥x轴于点D，过点H作HC∥x轴交直线QD于点C，如图：

设QF=p，OF=q，则点Q的坐标为（p，-q），
同理：Rt△CQH≌Rt△DOQ，
∴CQ=OD=p，CH= QD=q，
∴点H的坐标为（p-q，-p-q），
∵点H在直线直线MN上，
∴-p-q=-p+q -3，
解得：q=，
此时点Q的坐标为（，-）或（，-）；
综上，点Q坐标为（，）或（，）或（，）．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．