2023年广东省汕头市金平区汕樟中学中考一模数学试题（含解析）

2023年广东省汕头市金平区汕樟中学中考一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的绝对值是（    ）

A． B． C． D．

2．要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

4．甲型流感病毒的直径是，将用科学记数法表示是（    ）

A． B． C． D．

5．如图，足球的表面是由正五边形和正六边形拼接而成，其中黑皮的正五边形有12块，白皮的正六边形有20块．如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是（    ）

A．180° B．360° C．540° D．720°

6．不透明袋子中装有无差别的两个小球，分别写有“问天”和“梦天”．随机取出一个小球后，放回并摇匀，再随机取出一个小球，则两次都取到写有“问天”的小球的概率为（    ）

A． B． C． D．

7．下列运算中，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

8．下列命题是真命题的是（    ）

A．每个内角都相等的多边形是正多边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形

C．两直线平行，同位角互补 D．过线段中点的直线是线段的垂直平分线

9．把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则（    ）

A．2 B．2.5 C．4 D．5

10．如图，在正方形中，，为中点，为上的一点，且，，连接，延长交于点，交于点，则以下结论；①②③④；中正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

11．分解因式：=__________．

12．化简分式：__________；

13．一副三角板如图摆放，直线，则的度数是______．

14．如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位的培训中心参加学习，图中，分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图像，以下说法：①乙比甲提前分钟到达；②甲、乙相遇时，乙走了6千米；③乙出发6分钟后追上甲．其中正确的是______________．（填序号）

15．如图，的直径，点C为中点，弦经过点C，且．点F为上一动点，连接．于点G．若，在点F运动过程中，线段的长度的最小值为______________．

三、解答题

16．解不等式组，并写出不等式组的整数解．

17．先化简：，然后从2，0，中选一个合适的数代入求值．

18．如图，在中，．

(1)尺规作图：作边AB的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点E，连接AE；（保留作图痕迹，不写作法）

(2)若，，求CE的长．

19．中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务.成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加.为了解参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图.

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)在这次调查中，一共抽取了____________名学生；

(2)补全条形统计图；

(3)若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；

(4)小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率.

20．为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.

(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？

(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

21．如图，在中，，，线段为边向外作等边，点E是线段的中点，连接并延长交线段于点F．

(1)求证：四边形为平行四边形；

(2)若，求平行四边形的面积．

22．如图1，在等腰三角形中，，为底边的中点，过点作，垂足为，以点为圆心，为半径作圆，交于点M，N．

(1)与的位置关系为 ___________；

(2)求证：是的切线；

(3)如图2，连接，，，求的直径．（结果保留小数点后一位．参考数据：，，）

23．如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C．

(1)求抛物线的表达式；

(2)D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标；

(3)P为抛物线上一点，连接，过点P作交抛物线对称轴于点Q，当时，请直接写出点P的横坐标．

参考答案：

1．B

【分析】根据绝对值的意义求解即可．

【详解】解：∵>1，

∴｜｜＝，

故选：B．

【点睛】本题考查绝对值，估算无理数，熟练掌握一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反相数，0的绝对值中0是解题的关键．

2．C

【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可．

【详解】∵二次根式在实数范围内有意义，

∴，

∴．

故选：C．

【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．

3．C

【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一进行判断即可得到答案．

【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意，

故选：C．

【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握相关定义是解题关键．

4．C

【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此可得出结果．

【详解】解：，

故选：C．

【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定的值以及的值是本题的关键．

5．C

【分析】根据多边形内角和公式进行求解即可．

【详解】解：，

∴足球图片中的一块黑色皮块的内角和是540°，

故选C．

【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，熟知多边形内角和计算公式是解题的关键．

6．D

【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，两次都取到写有“问天”的小球的结果有1种，再由概率公式求解即可．

【详解】解：设“问天”为1，“梦天”为2，画树状图如图：

共有4种等可能的结果，两次都取到写有“问天”的小球的结果有1种，

∴两次都取到写有“问天”的小球的概率为，

故选：D．

【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

7．D

【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式分别判断即可．

【详解】解：A、，故选项错误；

B、，故选项错误；

C、，故选项错误；

D、，故选项正确；

故选D．

【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，解题的关键是掌握各自的运算法则．

8．B

【分析】根据正多边形的定义、矩形的判定方法、平行线的性质、垂直平分线定义分析判断即可．

【详解】解：A、每个内角都相等，每条边都相等的多边形是正多边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意；

C、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

D、过线段中点的垂直于线段的直线是线段的垂直平分线，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查命题与定理的知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的定义、矩形的判定方法、平行线的性质、垂直平分线定义．

9．C

【分析】作于点H，连接OF．由垂径定理知，由题意OF为圆的半径，OH为CD与半径的差，利用勾股定理求出HF，进而求出EF．

【详解】解：作于点H，连接OF．

∵ 是圆的弦， ，

∴，

∵ 圆的半径为2.5，，

∴，，

∵ 在中，，

∴，

∴．

故选C．

【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理的实际应用，熟练掌握垂径定理——“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”是解题的关键．

10．C

【分析】延长至H，使，证明，推出，，利用证明，可判断①；利用三角形外角的性质求出，然后利用三角形内角和求出，可判断②；在中，由勾股定理计算可判断③；证明，利用相似三角形的性质可判断④．

【详解】解：延长至H，使，

∵四边形是正方形，

∴，，

∴，

∴，，，

∵，

∴，即，

又，

∴，

∴，①正确；

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，②正确；

设，

∵为中点，

∴，

∴，，

在中，由勾股定理得，

解得，即，③不正确；

∵，，

∴，

又，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，④正确；

综上，正确的有①②④，

故选：C．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

11．/

【分析】先提取公因式a，再用平方差公式分解．

【详解】解：．

故答案为：．

【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．

12．m

【分析】根据同分母分式运算法则进行计算即可．

【详解】解：．

故答案为：m．

【点睛】本题主要考查了同分母分式加减运算，解题的关键是熟练掌握同分母分式运算法则，准确计算．

13．/15度

【分析】根据题意可得：，，，然后利用平行线的性质可得，从而进行计算即可解答．

【详解】解：如图：

由题意得：

，，，

，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

14．①②③

【分析】观察函数图像可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图像上特殊点的意义进行解答．

【详解】解：①乙在分时到达，甲在分时到达，

所以乙比甲提前了分钟到达，

故①正确；

③设乙出发x分钟后追上甲，则有：，

解得，

故③正确；

②由③知：乙遇到甲时，所走的距离为：，

故②正确．

所以正确的结论有三个：①②③，

故答案为：①②③．

【点睛】本题考查了从函数图像获取信息，关键是理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，通常根据路程、速度、时间三者之间的关系求解．

15．/

【分析】如图，连接，，取的中点，由．可得在以R为圆心，为直径的圆上运动，（圆的一部分）当，O，G三点共线时，最小，再求解，，可得，，则，可得，从而可得答案．

【详解】解：如图，连接，，取的中点，

∵．

∴在以R为圆心，为直径的圆上运动，（圆的一部分）

当，O，G三点共线时，最小，

∵，点C为中点，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理的应用，圆的确定，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，证明在以R为圆心，为直径的圆上运动是解本题的关键．

16．，该不等式组的整数解为2、3、4

【分析】根据一元一次不等式组的解法可进行求解．

【详解】解：

由①可得：，

由②可得：，

∴原不等式组的解集为，

∴该不等式组的整数解为2、3、4．

【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．

17．，当时，原式

【分析】先根据分式的混合计算法则化简，再根据分式有意义的条件选取合适的值代值计算即可．

【详解】解：

，

∵，

∴当时，原式．

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟知分式的混合计算法则是解题的关键．

18．(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法画出图形即可；

（2）根据勾股定理得出BC=8，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可．

【详解】（1）如图，直线DE为所求的垂直平分线．

（2）在中。∵，

∴，

∵DE垂直平分AB

∴，

设，则

∴，

在中，∵，

∴

解得，即CE的长为．

【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知线段垂直平分线的作法以及线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．

19．(1)200；

(2)见解析；

(3)估计参加B项活动的学生数有512名；

(4)画树状图见解析，他们参加同一项活动的概率为．

【分析】（1）根据D项活动所占圆心角度数和D项活动的人数计算即可；

（2）根据总人数求出参加C项活动的人数，进而可补全条形统计图；

（3）用该校总学生人数乘以抽查的学生中参加B项活动所占的比例即可；

（4）画出树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，然后根据概率公式计算即可．

【详解】（1）解：（名），

即在这次调查中，一共抽取了200名学生，

故答案为：200；

（2）参加C项活动的人数为：200－20－80－40＝60（名），

补全条形统计图如图：

（3）（名），

答：估计参加B项活动的学生数有512名；

（4）画树状图如图：

由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，

所以他们参加同一项活动的概率为．

【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，能够从不同的统计图中获取有用信息是解题的关键．

20．(1)甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；

(2)水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．

【分析】（1）设乙种水果的进价是x元/千克，根据“甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程检验后可得出答案；

（2）设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，根据利润＝（售价－进价）×数量列出y关于a的一次函数解析式，求出a的取值范围，然后利用一次函数的性质解答．

【详解】（1）解：设乙种水果的进价是x元/千克，

由题意得：，

解得：，

经检验，是分式方程的解且符合题意，

则，

答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；

（2）解：设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，

由题意得：，

∵－1＜0，

∴y随a的增大而减小，

∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，

∴，

解得：，

∴当时，y取最大值，此时，，

答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系列出方程和解析式是解题的关键．

21．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据三角形内角和定理和等边三角形的性质，得到，再证明是等边三角形，推出，即可证明四边形为平行四边形；

（2）根据直角三角形的性质和特殊角的三角函数，求出和的长，即可求出平行四边形的面积．

【详解】（1）证明：，，

，，

是等边三角形，

，，

，

，

点E是线段的中点，

，

，

是等边三角形，

，

，

四边形为平行四边形；

（2）解：在中，，，

，，

．

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数等知识，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题关键．

22．(1)相切

(2)见解析

(3)9.8

【分析】（1）利用直线与圆的相切的定义解答即可；

（2）过点作于点，连接，通过证明，利用直线与圆相切的定义解答即可；

（3）过点作于点，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，再利用垂径定理和直角三角形的边角关系定理求得圆的半径，则圆的直径可求．

【详解】（1）解：，点为圆心，为半径，

直线到圆心的距离等于圆的半径，

为的切线，

与的位置关系为相切，

故答案为：相切；

（2）证明：过点作于点，连接，如图，

，为底边的中点，

为的平分线，

，，

，

为的半径，

为的半径，

这样，直线到圆心的距离等于圆的半径，

是的切线；

（3）解：过点作于点，如图，

，，

，

，

．

，

，

，，

为的平分线，

．

在中，

，

，

，

的直径．

【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，圆的切线的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，三角形的内角和定理，过圆心作直线的垂线段是解决此类问题常添加的辅助线．

23．(1)

(2)

(3)点P的横坐标为或或或

【分析】（1）把点和代入解析式求解即可；

（2）过点D作DH∥y轴，交AC于点H，由（1）设，直线AC的解析式为，然后可求出直线AC的解析式，则有，进而可得，最后根据可进行求解；

（3）由题意可作出图象，设，然后根据题意及k型相似可进行求解．

【详解】（1）解：把点和代入得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为；

（2）解：过点D作DH∥y轴，交AC于点H，如图所示：

设，直线AC的解析式为，

由（1）可得：，

∴，解得：，

∴直线AC的解析式为，

∴，

∴，

∵DH∥y轴，

∴，

∴，

∵，

∴当时，的值最大，

∴；

（3）解：由题意可得如图所示：

分别过点C、Q作垂线，交过点P作y轴的平行线于点G、H，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

设点，由题意可知：抛物线的对称轴为直线，，

∴，

∴，

当时，解得：，

当时，解得：

综上：点P的横坐标为或或或．

【点睛】本题主要考查二次函数的综合、三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综合、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键．