第1章 平行线辅导讲义2：平行线及其判定(基础) 知识讲解(含答案)
展开平行线及其判定（基础）知识讲解
撰稿：孙景艳 审稿： 吴婷婷
【学习目标】
1.熟练掌握平行线定义及画法；
2.掌握平行公理及其推论；
3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.
【要点梳理】
要点一、平行线及平行公理
1.平行线的定义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b.
要点诠释：
（1）同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行.
（2）互相重合的直线通常看作一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行.
2.平行线的画法
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
3.平行公理及推论
平行公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
4. 两条平行线间的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线
间的距离．
要点诠释：
（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．
(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即两条平行线之间的距离处处相等．
要点二、平行线的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
要点诠释：
（1）平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
（2）今后我们有符号“∵”表示“因为”，用“∴”表示“所以”.
【典型例题】
类型一、平行线及平行公理
1．下列说法中正确的有 ( ) ．
①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为a∥b，c∥d，所以a∥d；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B 2个 C．3个 D．4个
【答案】 A
【解析】一条直线的平行线有无数条，故①错；②中的点在直线外还是在直线上位置不明确，所以②错，③中b与c的位置关系不明确，所以③也是错误的；根据平行公理可知④正确，故选A．
【总结升华】本题主要考察的是“平行公理及推论”的内容，要正确理解必须要抓住关键字词及其重要特征，在理解的基础上记忆，在比较中理解．
举一反三：
【变式】如图，在正方体中：
（1）与线段平行的线段_________；
（2）与线段相交的线段______；
（3）与线段既不平行也不相交的线段______．
【答案】
（1）CD、A1B1、C1D1；
（2）BC、BB1、A1A、AD；
（2）A1D1、D1D 、B1C1、CC1．
2．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则( ) ．
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不确定
【答案】B
【解析】因为l1∥l2，所以C、D两点到l2的距离相等．同时△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它们的面积相等．
【总结升华】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合．
举一反三：
【变式】如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为 平方厘米．
【答案】5 提示：连接BF，则得AC∥BF，进而有S阴影＝S△ABC ．
类型二、平行线的判定
3.(江苏)如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：
①∠1＝∠5； ②∠1＝∠7； ③∠2＋∠3＝180°； ④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是 ( ).
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【思路点拨】根据平行线的判定方法进行判断．
【答案】A
【解析】①由∠1＝∠5可推出a∥b，理由是同位角相等，两直线平行．
②∵ ∠1＝∠7，又∠7＝∠5，
∴ ∠1＝∠5，可推出a∥b．
③∠2＋∠3＝180°不能推出a∥b．
④∠4＝∠7不能推出a∥b．
【总结升华】从题目的结论出发分析所要说明的结论能成立，必须具备的是哪些条件，再看这些条件成立又需具备什么条件，直到追溯到已知条件为止．
举一反三：
【变式1】如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）.
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2＋∠4＝180°
【答案】B
【高清课堂：平行线及判定 例1】
【变式2】已知，如图，BE平分ABC，CF平分BCD，1＝2，求证：AB//CD．
【答案】
证明：∵ 1＝2
∴ 21＝22 ，即∠ABC＝∠BCD
∴ AB//CD （内错角相等，两直线平行）
4.如图所示，由(1)∠1＝∠3，(2)∠BAD＝∠DCB，可以判定哪两条直线平行．
【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”．
【答案与解析】
解：(1)由∠1＝∠3，
可判定AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
(2)由∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3得：
∠2＝∠BAD-∠1＝∠DCB-∠3＝∠4（等式性质），即∠2＝∠4
可以判定AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
综上，由（1）（2）可判定：AD∥BC，AB∥CD.
【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法．即在条件下探索由这些条件可推导出哪些结论，再由这些结论推导出新的结论，直到得出结果．
5.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
【答案与解析】
解：这两条直线平行.理由如下：
如图：
∵ b⊥a, c⊥a
∴ ∠1＝∠2＝90°
∴ b∥c (同位角相等，两直线平行) ．
【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判定方法.
举一反三：
【变式】已知，如图，EFEG，GMEG，1＝2，AB与CD平行吗？请说明理由．
【答案】
解：AB∥CD．理由如下：如图：
∵ EFEG，GMEG (已知)，
∴ ∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．
又∵ ∠1＝∠2(已知)，
∴ ∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性质)，
即∠3＝∠4．
∴ AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．
