第1章 平行线辅导讲义3：平行线及其判定(提高) 知识讲解(含答案)

平行线及其判定（提高）知识讲解

撰稿：孙景艳   审稿： 吴婷婷

【学习目标】

1.熟练掌握平行线定义及画法；

2.掌握平行公理及其推论；

3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.

【要点梳理】

要点一、平行线及平行公理

1.平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b.

要点诠释：

（1）同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行.

（2）互相重合的直线通常看作一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行.

2.平行线的画法

用直尺和三角板作平行线的步骤：

①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.

②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.

③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.

④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.

3.平行公理及推论

平行公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

要点诠释：

(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．

(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．

（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.

4. 两条平行线间的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线

间的距离．

要点诠释：

（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．

(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即两条平行线之间的距离处处相等．

要点二、平行线的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠3＝∠2

∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠1＝∠2

∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠4＋∠2＝180°

∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

要点诠释：

（1）平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.

（2）今后我们用符号“∵”表示“因为”，用“∴”表示“所以”.

【典型例题】

类型一、平行公理及推论

1．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行. 其中正确的个数为：(  ) .

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【答案】B

【解析】正确的是：（1）(3).

【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别．

举一反三：

【变式】下列说法正确的个数是 (   ) .

（1）直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则a∥d.

（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.

（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.

（4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行．

A．1个    B .2个    C．3个    D．4个

【答案】B

2.下面两条平行线之间的三个图形，图    ③的面积最大，图      ②的面积最小．
 

【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得出平行四边形面积的大小.

【答案】图3，图2

【解析】

解：因为它们的高相等，三角形的底是8，8÷2=4，梯形的上、下底之和除以2，（2+7）÷2=4.5；5＞4.5＞4；
所以，图3平行四边形的面积最大，图2三角形的面积最小.
【总结升华】根据平行线的性质，得出梯形、三角形、平行四边形的高相等，求出三角形底的一半，梯形上、下底之和的一半，与平行四边形的底进行比较，由此得出正确答案.

举一反三：

【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是       厘米.

【答案】35

类型二、平行线的判定

3. 如图，给出下列四个条件：（1）AC＝BD；（2）∠DAC＝∠BCA；（3）∠ABD＝∠CDB；（4）∠ADB＝∠CBD,其中能使AD∥BC的条件有  （  ）.

A．（1）（2）    B．（3）（4）    C．（2）（4）    D．（1）（3）（4）

【思路点拨】欲证AD∥BC，在图中发现AD、BC被一直线所截，故可按同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行补充条件．

【答案】C

【解析】从分解图形入手，即寻找AD、BC的截线.

【总结升华】从题目的结论出发分析所要说明的结论能成立，必须具备的是哪些条件，再看这些条件成立又需具备什么条件，直到追溯到已知条件为止．

举一反三：

【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是(    )

    A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°

    B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°

    C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°

    D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°

【答案】A

提示：“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图．

    图B显然不同向，因为路线不平行．

    图C中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．

    图D中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．

    只有图A路线平行且同向，故应选A．

4. 如图所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．

【思路点拨】利用辅助线把AB、EF联系起来．

【答案与解析】

  解法1：如图所示，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．

    ∵  ∠B＝25°，∠E＝10°(已知)，

    ∴  ∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN(等量代换)．

    ∴  AB∥CM，EF∥DN(内错角相等，两直线平行)．

    又∵  ∠BCD＝45°，∠CDE＝30°(已知)，

    ∴  ∠DCM＝20°，∠CDN＝20°(等式性质)．

∴  ∠DCM＝∠CDN(等量代换)．

∴  CM∥DN(内错角相等，两直线平行)．

    ∵  AB∥CM，EF∥DN(已证)，

    ∴  AB∥EF(平行线的传递性)．

解法2：如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．

    ∵  ∠BCD＝45°，∴  ∠NCB＝135°．

    ∵  ∠B＝25°，

    ∴  ∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°(三角形的内角和等于180°)．

    又∵∠CDE＝30°，∴∠EDM＝150°．

    又∵∠E＝10°，

    ∴  ∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°(三角形的内角和等于180°)．

    ∴  ∠CNB＝∠EMD(等量代换)．

    所以AB∥EF(内错角相等，两直线平行)．

【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种，选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活选取．

举一反三：

【高清课堂：平行线及判定403102经典例题2  】

【变式】已知，如图，BE平分ABD，DE平分CDB，且1与2互余，试判断直线AB、CD的位置关系，请说明理由．

【答案】

解：AB∥CD，理由如下：

    ∵  BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，

    ∴  ∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2．

  又∵  ∠1+∠2＝90°，

    ∴  ∠ABD+∠CDB＝180°．

    ∴  AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．