高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.1 复数的概念导学案

第四章　数系的扩充与复数的引入

4.1　复数的概念及其几何意义

4.1.1　复数的概念

1.虚数单位

为了使得像方程x2＝－1有解，我们引进一个新数i，叫作________，并规定：

(1)它的平方等于－1，即i2＝－1；

(2)实数与它进行四则运算时，原有的________________仍然成立．

2.复数的概念及表示

形如a＋bi(其中a，b∈R)的数叫作________，通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的________，记作Re z，b称为复数z的________，记作Im z．

3.复数的分类

复数a＋bi(a，b∈R)

4.复数集

全体复数构成的集合称为复数集，记作C.

显然RC.

5.两个复数相等

两个复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即：a＋bi＝c＋di当且仅当a＝c且b＝d.

答案：1.虚数单位　(2)加法、乘法运算律

2.复数　实部　虚部

研习1  复数的概念和分类

[典例1]　(1)下列命题中，正确命题的个数是(　　)

①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；

②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；

③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；

④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；

⑤－1没有平方根；

⑥若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．

A.0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

(2)(2020·重庆高二检测)已知复数z＝＋(a2－1)i是实数，则实数a的值等于________．

[自主记]　

(1)[答案]　A

[解析]　①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，∴②是假命题．

③当z＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，∴③是假命题．因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故④错；因为－1的平方根为±i，故⑤错；当a＝－1时，(a＋1)i是实数0，故⑥错．

(2)[答案]　－1

[解析]　因为复数z＝＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则解得a＝－1.

[巧归纳]　1.判断与复数有关的命题是否正确的方法

(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．

(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．

提醒：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．

2.解决复数分类问题的方法与步骤

(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．

(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(组)或不等式(组)即可．

(3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，

①z为实数⇔b＝0；

②z为虚数⇔b≠0；

③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.

[练习1]　1.已知z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)，若z是虚数，求m的取值范围．

解：∵z是虚数，

∴log(3－m)≠0，且1＋m>0，即

∴－1<m<2或2<m<3.

∴m的取值范围是(－1,2)∪(2,3)．

2.实数m取何值时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是①实数？②虚数？③纯虚数？

解：①当即

即m＝5时，z是实数．

②当即

即m≠5且m≠－3时，z是虚数．

③当即

即m＝－2或m＝3时，z是纯虚数．

研习2  复数相等的充要条件

[典例2]　(1)已知a2＋(m＋2i)a＋2＋mi＝0(m∈R)成立，则实数a＝________.

(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．

[自主记]　

(1)[答案]　±

[解析]　因为a，m∈R，所以由a2＋am＋2＋(2a＋m)i＝0，可得

解得或所以a＝±.

(2)[解]　设方程的实数根为x＝m，

则3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，

∴解得a＝11或a＝－.

[巧归纳]　应用复数相等的充要条件时，要注意：

(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组．

(2)利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要．

[练习2]　(1)复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________.

(2)已知A＝{1,2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．

(3)已知关于实数x，y的方程组

有实数解，则实数a，b的值分别为________．

答案：(1)5　(2)见解析　(3)1,2

解析：(1)因为m∈R，z1＝z2，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.由复数相等的充要条件得解得m＝5.

(2)由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，

所以即所以a＝－1.

(3)由①可得解得　③

把③代入②得5＋4a－(6＋b)i＝9－8i且a，b∈R，

∴解得

1.下列命题中，是假命题的为(　　)

A.自然数集是非负整数集

B.实数集与虚数集的交集为{0}

C.实数集与复数集的交集为实数集

D.纯虚数集与实数集的交集为空集

答案：B　

解析：由复数的分类知选B.

2.以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是　(　　)

A.3－3i B．3＋i

C.－＋i   D.＋i

答案：A　

解析：3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.

3.下列命题中

①若x，y∈C，则x＋yi＝2＋i的充要条件是x＝2，y＝1；

②纯虚数集相对复数集的补集是虚数集；

③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3.

正确的命题个数是(　　)

A.0     B．1 

C．2     D．3

答案：A　

解析：①x，y∈C，x＋yi不一定是代数形式，

故①错．②③错．故选A.

4.若log2(x2－2x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>0，则实数x的值为________．

答案：－2　

解析：由题意得

即即∴x＝－2.

5.若m为实数，z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m＋2＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1<z2的m值的集合又是什么？

解：当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0，

m＝0，－1，－2，z1＝1或2或5.

当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0，

m＝0,1,4，z2＝2或6或18.

上面m的公共值为m＝0，

此时z1与z2同时为实数，

此时z1＝1，z2＝2.

所以z1>z2时m值的集合为空集，

z1<z2时m值的集合为{0}．

 [误区警示]　忽视判别式的使用条件而出错

[典例]　求实数k，使方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0至少有一个实根．

[错解]　判别式Δ＝(k＋2i)2－4(2＋ki)＝k2－12，

由k2－12≥0，解得k≥2或k≤－2，

故当k≥2或k≤－2时，方程至少有一个实根.

[易错分析]　实系数一元二次方程根的情况，可以用判别式来判断，但本题是复系数一元二次方程，判别式就不起作用了，必须遵循复数的运算法则及规律来处理.

[正解]　设方程一实根为a，则有a2＋(k＋2i)a＋2＋ki＝0，

由复数相等的定义可得解得k＝±2，

因此当k＝±2时，原方程至少有一个实根.

[防范措施]　对于复系数的一元二次方程，方程有实根，不能使用Δ≥0，而应设出实根代入，然后利用复数相

等的条件解出，这与实系数一元二次方程的解法是有区别的.

[类题试解]

已知a，b，c，d∈R，方程x2＋(a＋bi)x＋c＋di＝0，当a，b，c，d满足什么条件时，该方程有实数根？

解：原方程可整理为(x2＋ax＋c)＋(bx＋d)i＝0.

(1)当b＝d＝0时，方程变为x2＋ax＋c＝0，

当Δ＝a2－4c≥0时，方程有实数根．

(2)当b，d不全为0时，设x0是方程的实数根，

则(x＋ax0＋c)＋(bx0＋d)i＝0，

∴

当b≠0时，x0＝－存在，则abd＝d2＋b2c.

综上可知，当b＝d＝0，且Δ＝a2－4c≥0或b≠0，且abd＝d2＋b2c时，方程x2＋(a＋bi)x＋c＋di＝0(a，b，c，d∈R)有实数根．