北师大版 (2019)必修 第二册3.2 半角公式多媒体教学课件ppt

半角公式

【学习目标】

1．了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程．

2．掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．

【学习重难点】

掌握半角的正弦、余弦和正切公式.

【学习过程】

一、初试身手

1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为(    )

A．   B．－

C． D．－

2．下列各式与tan α相等的是(    )

A．     B．

C．   D．

3．设α∈(π，2π)，则等于________．

二、合作探究

1．化简问题

【例1】  已知π<α<，求＋

的值．

[思路探究]  解答本题可先用二倍角公式“升幂”，再根据的范围开方化筒．

[解]  原式＝＋

∵π<α<，∴<<，∴cos <0，sin >0.

∴原式＝＋

＝－＋＝－cos .

2．求值问题

【例2】  已知|cos θ|＝，且<θ<3π，求sin ，cos ，tan 的值．

[思路探究] 

―→

―→―→求

[解]  由<θ<3π，且|cos θ|＝可知，

cos θ＝－，∈.

由sin2＝＝＝得，

sin ＝－＝－.

由cos2＝＝＝得，

cos ＝－.

∴tan ＝＝＝2．

3．三角恒等式的证明

【例3】  （1）求证：1＋2cos2θ－cos 2θ＝2；

（2）求证：＝.

[思路探究]  （1）可由左向右证：先把左边cos2 θ降幂化为同角后整理可证．

（2）可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化．

[解]  （1）左边＝1＋2×－cos 2θ＝2＝右边．

所以原等式成立．

（2）左边＝

＝＝＝＝＝＝右边．

所以原等式成立．

【学习小结】

半角公式

sin＝±，cos＝±，

tan＝±＝＝.

【精炼反馈】

1．已知cos α＝，α∈，则sin 等于(    )

A．     B．－

C．   D．

A  [由题知∈，

∴sin >0，sin ＝＝.]

2．已知sin α－cos α＝－，则sin 2α的值等于(    )

A． B．－

C．－   D．

C  [由sin α－cos α＝－，(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－sin 2α＝，所以sin 2α＝－.]

3．函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．

π  [∵y＝sin 2x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，∴函数的最小正周期T＝＝π.]

4．求证：＝.

[证明]  原式可变形为

1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)， ①

①式右边＝(1＋2cos22θ－1＋2sin 2θcos 2θ)

＝(2cos22θ＋2sin 2θcos 2θ)＝2sin 2θ(cos2θ＋sin2θ)

＝2sin 2θcos2θ＋2sin22θ＝sin4θ＋1－cos4θ＝左边．

∴①式成立，即原式得证．

＝.