高中数学3.2 半角公式多媒体教学ppt课件

4.3.2　半角公式

[教材要点]

要点　半角公式

　 巧记“半角公式”

无理半角常戴帽，象限确定帽前号；

数1余弦加减连，角小值大用加号．

“角小值大用加号”即y＝1＋cosα(α是锐角)是减函数，角小值大，因此用“＋”号，而y＝1－cosα为增函数，角大值大，因此用“ －”号．

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)cos＝.(　　)

(2)存在α∈R，使得cos＝cos α.(　　)

(3)对于任意α∈R，sin＝sin α都不成立．(　　)

(4)若α是第一象限角，则tan＝ .(　　)

2．若cos α＝，且α∈(0，π)，则cos 的值为(　　)

A.　　　　　　　　　　B．－

C．±  D．±

3．已知cos α＝，α∈，则cos的值为(　　)

A.  B.

C．－  D．－

4．设5π<θ<6π，cos＝，则sin＝________.

题型一　求值——自主完成

1．设α是第二象限角，tan α＝－，且sin<cos，则cos＝(　　)

A．－　　　B.　　　C.　　　D．－

2．已知tan＝，则cos α＝________.

3．已知sin α＝－，π<α<，则sin＝________，cos＝________.

方法归纳

利用半角公式求值的思路

(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．

(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．

(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常利用tan＝＝计算，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2＝，cos2＝计算．

(4)下结论：结合(2)求值．

题型二　三角恒等式的证明——师生共研

例1　若π<α<.

证明：＋＝－cos.

方法归纳

三角恒等式证明的思路

通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一；或消除等式两端的差异，达到形式上的统一．

跟踪训练1　求证：＝sin 2α.

题型三　三角恒等变换与三角函数的综合——师生共研

例2　设函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x＋a.

利用降幂公式和辅助角公式，化简函数f(x)．(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；

(2)当x∈时，函数f(x)的最大值与最小值的和为，求实数a的值．

方法归纳

破解此类题的关键：一是“会化简”，即利用相关的三角函数公式，将三角函数变形为f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＋h的形式，再利用辅助角公式把三角函数f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＋h化为f(x)＝sin(ωx＋φ)＋h的形式，三角恒等变换常用的方法是弦切互换法、角的拆变法、辅助角法、升幂与降幂法．二是“用性质”，判断三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b后的周期性、单调性、对称性等．此时需要熟记y＝sin x的周期性、单调性、对称性等，以及整体视角“ωx＋φ”．三是“得结论”，解出相关的结果，从而得所求的结论．

跟踪训练2　已知函数f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x，x∈R，

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)求函数f(x)在区间上的值域．

温馨提示：请完成课时作业33

章末质量检测(三)

3．2　半角公式

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点

1－2sin2α　2cos2α－1　2α　α　1－2sin2　2cos2－1　

± 　±

[基础自测]

1．(1)×

(2)√　解析：当cos α＝1－时上式成立．

(3)×　解析：当a＝2kπ(k∈Z)时，上式成立．

(4)√

2．解析：因为α∈(0，π)，所以∈.

所以cos＝ ＝＝.

答案：A

3．解析：∵α∈，∴∈，

∴cos＞0.

∴cos＝ ＝ ＝.故选B.

答案：B

4．解析：∵<<，∴sin<0.

∴sin＝－ ＝－ ＝－.

答案：－

题型探究·课堂解透

题型一

1．解析：∵α是第二象限角，且sin<cos，∴为第三象限，∴cos<0，∵tan α＝－，∴cos α＝－，∴cos＝－＝－.

答案：A

2．解析：∵tan＝± ，∴tan2＝，

∴＝，解得cos α＝.

答案：

3．解析：∵π<α<，sin α＝－，∴cos α＝－，且<<，∴sin＝＝，cos＝－＝－.

答案：　－

题型二

例1　证明：左边＝＋

＝＋

因为π<α<，所以<<，所以sin>0>cos.

所以左边＝＋

＝＋＝－cos＝右边．所以原等式成立．

跟踪训练1　证明：方法一　左边＝

＝＝＝cos αsincos

＝sin αcos α＝sin 2α＝右边．所以原式成立．

方法二　左边＝＝cos2α·＝

cos2αtan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边．

所以原式成立．

题型三

例2　解析：(1)∵f(x)＝sin xcos x＋cos2x＋a，

∴f(x)＝sin 2x＋(1＋cos 2x)＋a＝sin＋a＋.

∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.

令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，

解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，

故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

(2)∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，

当2x＋＝－时，函数f(x)取最小值，即f(x)min＝－＋a＋＝a；

当2x＋＝时，函数f(x)取最大值，即f(x)max＝1＋a＋＝a＋.

∴a＋a＋＝，解得a＝0.

所以实数a的值为0.

跟踪训练2　解析：(1)f(x)＝＋sin 2x＋＝2＋sin 2x＋cos 2x＝2sin＋2，

所以最小正周期T＝＝π，因为－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，f(x)为单调递增函数，

所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

(2)由(1)知f(x)＝2＋2sin，由于－≤x≤，所以2x＋∈，

所以sin∈，所以f(x)∈[1,4]，所以f(x)在区间上的值域为[1,4]．