北师大版高中数学必修第二册2-2-1向量的加法学案
展开2.2 从位移的合成到向量的加减法
2.2.1 向量的加法
新课程标准 | 学业水平要求 |
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加法运算及运算规则，理解其几何意义. | 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．(数学抽象) 2．了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．(直观想象) 3．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．(数学运算、直观想象) |
课前篇·自主学习预案 |
知识点 向量的加法
定义 | 求________的运算，叫做向量的加法 | ||
向量求和的运算法则 | 三角形法则 | 前提 | 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A |
作法 | 作＝a，＝b，再作向量 | ||
结论 | 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝________＝________ | ||
图形 | |||
向量求和的运算法则 | 平行四边形法则 | 前提 | 已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O |
作法 | 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB | ||
结论 | 对角线________就是a与b的和 | ||
图形 | |||
续表
规定 | 零向量与任一向量a的和都有a＋0＝________＝________ |
向量加法的运算律 | 1.交换律：a＋b＝________； 2．结合律：a＋b＋c＝________＝________ |
答案：两个向量和 ＋ 0＋a a b＋a (a＋b)＋c a＋(b＋c)
课堂篇·研习讨论导案 |
研习1 向量的加法及几何意义
[典例1] 如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b＋c.
[自主记]
[分析] a，b，c不共线中隐含着a，b，c均为非零向量，因为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行四边形法则作图．
[解] 解法一(三角形法则)：如图①所示，作＝a，＝b，则＝a＋b，
再作＝c，则＝＋＝(a＋b)＋c，
即＝a＋b＋c.
解法二(平行四边形法则)：∵a，b，c不共线，如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，
以，为邻边作▱OADB，则对角线＝a＋b，
再作＝c，以，为邻边作▱OCED，
则＝a＋b＋c.
[巧归纳] 利用向量的两种加法法则作图的方法
法则 | 作法 |
三角形 法则 | ①把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示(其中后面向量的起点与其前一个向量的终点重合，即用同一个字母来表示)； ②由第一个向量的起点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和 |
平行四 边形法 则 | ①把两个已知向量的起点平移到同一点 ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形 ③对角线上的向量就是这两个已知向量的和 |
提醒：当两个向量不共线时，两个法则实质上是一致的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半，在多个向量的加法中，利用三角形法则更为简便，如本题解法一比解法二简单．
[练习1] 1.向量a，b都是非零向量，下列说法不正确的是( )
A.向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同
B.向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同
C.向量a与b反向，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同
D.向量a与b反向，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同
答案：C
解析：向量a与b反向，且|a|<|b|时，向量a＋b与b的方向相同.
2.已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝90°，则|a＋b|＝________.
答案：3
解析：∵||＝||且∠AOB＝90°，∴|a＋b|为以，为两邻边的矩形的对角线的长，
∴|a＋b|＝3.
研习2 向量的加法运算
[典例2] (1)化简下列各式：
①＋＋＋＋；
②(＋)＋＋.
(2)在正六边形ABCDEF中，＝a，＝b，则＝________，＝________，＝________.
[自主记]
(1)[分析] 首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量加法的结合律求和．
[解] ①＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0.
②(＋)＋＋＝(＋)＋(＋)
＝＋＝.
(2)[分析] 结合图形，正确运用三角形或平行四边形法则进行求解．
[答案] 2a＋b 2a＋2b a＋2b
[解析] 如下图，连接FC交AD于点O，连接OB，由平面几何知识得到四边形ABOF、四边形ABCO均为平行四边形．
根据向量的平行四边形法则，有＝＋＝a＋b.
在平行四边形ABCO中，＝＋＝a＋a＋b＝2a＋b.＝2 ＝2a＋2b.
而＝＝a＋b，
由三角形法则，得＝＋＝b＋a＋b＝a＋2b.
[巧归纳] 利用向量加法求解及化简的技巧
(1)借助几何图形，根据向量加法的三角形法则、平行四边形法则进行化简．
(2)从代数角度，依据向量加法的三角形法则的实质“首尾顺次连接”，借助向量加法的交换律调换各向量相加的位置，构造“首尾相连”，然后借助结合律调整向量相加的顺序．有时需要灵活地将一个向量拆成两个向量相加．
(3)多个向量相加时，可按照任意的顺序组合进行计算.
[练习2] 1.下列式子不能化简为的是( )
A.(＋)＋
B.(＋)＋(＋)
C.＋＋
D.＋＋
答案：D
解析：对于A，有(＋)＋＝＋＋＝.
对于B，有(＋)＋(＋)
＝＋＋＝＋(＋)＝＋0＝.
对于C，有＋＋＝＋＋＝.
只有D，＋＋不能化为.
2.在平行四边形ABCD中(如图)，对角线AC，BD交于点O，
则①＋＝________；
②＋＋＝________；
③＋＋＝________；
④＋＋＝________.
答案：① ② ③ ④0
解析：①＋＝.
②＋＋＝＋＝.
③＋＋＝＋＝.
④＋＋＝＋＝0.
研习3 向量加法的应用
[典例3] (1)如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小分别是________．
(2)已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且＝，＝.求证：四边形ABCD是平行四边形．
[自主记]
(1)[分析] 结合向量加法的几何意义，利用解三角形的观点进行求解．
[答案] 150 N,150 N
[解析] 如图，作▱OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，
则||＝||cos 30°＝300×＝150(N)，
||＝||·sin 30°＝300×＝150(N)，
即||＝||＝150(N)，
则可得与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N．
(2)[分析] 结合题目给出的已知条件判断＝，进而得出要证明的结论.
[证明] ∵＝＋，＝＋，
又＝，＝，∴＝.
∴∥，且||＝||.
∴四边形ABCD是平行四边形．
[巧归纳]
(1)用向量证明几何问题的一般步骤：
①要把几何问题中的边转化成相应的向量；②通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系．
(2)解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：
―→―→―→―→―→―→
[练习3] 1.在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，分别取点F，E，使BE＝DF(如图)，用向量的方法证明四边形AECF也是平行四边形．
证明：∵＝＋，＝＋，
又＝，＝，
∴＝，即AE，FC平行且相等，
故四边形AECF是平行四边形．
2.在小船过河时，小船沿垂直河岸方向行驶，速度为|v1|＝2 km/h，河水流动的速度|v2|＝2.0 km/h，试求小船过河实际行驶速度的大小和方向．
解：如图，设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，以，为邻边作▱OACB，则就是小船实际航行的速度．
在Rt△OBC中，
||＝|v1|＝2，||＝|v2|＝2.0，
所以||＝＝＝4.
因为tan ∠BOC＝＝，
所以∠BOC＝60°，所以小船实际航行速度的大小约为4 km/h，方向与水流方向夹角约为60°.
达标篇·课堂速测演习 |
1.在平行四边形ABCD中，下列式子：
①＝＋；②＝＋；
③＋＝；④＋＝；
⑤＝＋＋；
⑥＝＋.
其中，不正确的个数是( )
A.1 B．2
C．4 D．6
答案：A
解析：＋＝，故⑥不正确.
2.如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝________.
答案：
解析：由题图，正六边形ABCDEF的中心为O，则△OAB，△OEF，△OAF，△OED都是等边三角形，于是四边形OAFE是菱形，所以＝，＝＝，则＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝.
3.已知|a|＝3，|b|＝2，则|a＋b|的取值范围是________．
答案：[1,5]
解析：|a|－|b|＝3－2＝1，|a|＋|b|＝3＋2＝5，又|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，则有1≤|a＋b|≤5.
4.已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h，问：
(1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？
(2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东30°有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)
解：(1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km/h；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0 km/h，此时小船是静止的．
(2)如图所示，设表示水流的速度，表示小船实际过河的速度．
设MC⊥MA，||＝||＝10，∠CMN＝30°.
∵＋＝，
∴四边形MANB为菱形，则∠AMN＝60°，
∴△AMN为等边三角形．
在△MNB中，||＝||＝||＝10，
∴∠BMN＝60°，而∠CMN＝30°，∴∠CMB＝30°，
所以小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西30°.
[误区警示一] 忽略特殊情形而致误
[示例1] 下列命题：
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；
②在△ABC中，必有＋＋＝0；
③若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；
④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
其中真命题的个数为( )
A.0个 B．1个
C．2个 D．3个
[错解] D(易将①②③判断为真命题)
[错因分析] ①中，当a＋b＝0时，命题不成立，因此①是假命题；②是真命题；③中，当A，B，C三点共线时，也可以有＋＋＝0，因此③是假命题；④中，只有当a与b为同向向量时，|a＋b|与|a|＋|b|才相等，其他情况下均为|a|＋|b|>|a＋b|，因此④是假命题．故真命题的个数为1个．
[正解] B
[题后总结] 在进行向量的加法运算时，应注意一些
特殊情况，如零向量、共线向量等．特别是判断一些相关命题的真假时，一定要考虑到这些特殊的情况，如果忽略这些就容易出现错误.
[误区警示二] 以偏概全而致误
[示例2] 对于任意给定的向量a，b，试判断||a|－|b||，|a＋b|，|a|＋|b|的关系．
[错解] <|a＋b|<|a|＋|b|
[错因分析] 错解没有考虑a，b的所有可能情形，只就a与b不共线时，用三角形的性质得出结论，以偏概全导致错误．
[正解] (1)当a，b中有零向量时，可得
≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
(2)当a，b均为非零向量时，作＝a，＝b，则＝a＋b.
①当a，b共线时，若同向，则|a＋b|＝|a|＋|b|；若反向，则＝|a＋b|.
②若a，b不共线时，结合三角形的有关性质，则有错解中的结论．
综上所述，对于任意给定的向量a，b而言，总有
≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
