1.2任意角-高一数学同步课件+练习（北师大版2019必修第二册）

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第一章 三角函数
1.2 任意角
高中/数学/北师大版（2019）/必修第二册
过去我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？
定义：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角.
顶点
边
边
角的范围：0°～360°
初中定义
问题提出
如：体操运动员表演中的转体10800
跳水运动员后空翻7200
花样滑冰运动员转体12600
这些例子中有的角不仅不在范围：0º至 360º ，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，那么用什么办法才能推广到任意角？ 关键是用运动的观点来看待角的变化。
角可以看做:平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
顶点
始边
终边
o
A
B
1.角的第二定义：
规定： 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．
如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°， γ=660°.
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角即零度角（0º）．此时零角的始边与终边重合。 角的记法：角α或可以简记成∠α，或简记为： α.如∠α=-1500 ， α=00， α=6600 等等……
角的概念推广的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了
① 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660.② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720） 3周（360×3=1080）③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.
巩固提升
2.象限角定义：
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于象限角，或称这个角为轴线角.
那么下列各角：-50°，405°，-250°, 分别是第几象限的角？
-50°
405°
-250°
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。
坐标轴上的角：
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
例如：角的终边落在X轴或Y轴上。
轴线角的定义:终边落在坐标轴上的角叫做轴线角.
巩固练习：
1、锐角是第几象限的角？
2、第一象限的角是否都是锐角？
3、小于90°的角都是锐角吗？
答：锐角是第一象限的角。
答：第一象限的角并不都是锐角。
答：小于90°的角并不都是锐角，它也有可能是零角或负角。
4. 下列命题：①一个角的终边在第几限，就说这个角是第几象限的角；②1400°的角是第四象限的角；③-300°的角与160°的角的终边相同④相等的角的终边一定相同；⑤终边相同的角一定相等.其中正确命题的序号是 .
(1).(2).(4).
 5.在坐标平面内作出下列各角：30°，390°，-330°;它们是 象限的角，可以统一表示为 .
一
α=k·3600+300(k=-1,0.1)
猜想:与300终边相同的角可表示为?
思考：在直角坐标系中，135°角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是135°吗？
135°
-225°
495°
注3：
终边相同的角
巩固练习
例2：在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定是第几象限角。
（3）－950°08 ′．
（1）1110°； （2）－900°；
例3:写出与下列各角的终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式－360°≤β ≤ 720°
元素β的写出来：
（1）60°；（2）－21°；（3）363°14′
解：﹙1﹚与60°终边相同的角的集合是 S=﹛ββ=k·360°+60°,k∈z﹜
在－360°≤β ≤ 720°范围有: －300 °, 60 °, 420 °
﹙2﹚与－21°终边相同的角的集合是 S=﹛β︱β=k·360°－21°,k∈z﹜
在－360°≤β ≤ 720°范围有: －21 °, 339 °, 699 °
﹙3﹚与363°14′终边相同的角的集合是 S=﹛ββ=k·360°+363°14′,k∈z﹜
在－360°≤β ≤ 720°范围有:－356 °46′, 3°14′, 363°14′
例3:写出与下列各角的终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式－360°≤β ≤ 720°
元素β的写出来：
（1）60°；（2）－21°；（3）363°14′
分析：终边落在坐标轴上的情形
00
900
1800
2700
+k· 3600
+k ·3600
+k· 3600
+k· 3600
或3600＋k·3600
例4　写出终边落在y轴上的角的集合。
例4　写出终边落在y轴上的角的集合。
解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
S1={β|β=900+K∙3600,K∈Z}
={β| β=900+2K∙1800,K∈Z}
={β| β=900+1800 的偶数倍}
终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为
S2={β| β=2700+K∙3600,K∈Z}
={β| β=900+1800+2K∙1800,K∈Z}
={β| β=900+（2K+1）1800 ，K∈Z}
={β| β=900+1800 的奇数倍}
　于是，终边落在y轴上的角的集合为
S=s1∪s2
={β| β=900+1800 的偶数倍} ∪
{β| β=900+1800 的奇数倍}
={β| β=900+1800 的整数倍}
={β| β=900+K∙1800,K∈Z}
终边落在x轴上的角的集合;终边落在第一象限内的角的集合;终边落在第二象限内的角的集合。
思考
例5. 写出终边分别落在四个象限的角的集合.
终边落在坐标轴上的情形
0°
90°
180°
270°
+K · 360°
+K ·360°
+K· 360°
+K· 360°
或360°+ K ·360°
第一象限的角表示为 {|k360<< 90 + k360,kZ}；第二象限的角表示为 {| 90 + k360<<180 +k360，kZ}；第三象限的角表示为 {| 180 + k360<< 270 + k360，kZ}第四象限的角表示为 {| 270 + k360<< 360 + k360，kZ}
例：用集合表示顶点在坐标原点，始边重合于x轴的非负半轴终边在阴影部分的角α的集合.
【解】　终边落在射线OA上的角为k3600＋45°(k∈Z),终边落在射线OB上的角为k3600＋300°(k∈Z).所以终边落在图中阴影部分的角α的集合为{α|k3600＋45°≤α≤k3600＋300°,k∈Z}.
区域角的表示
巩固练习
等分象限法
等分象限法
当堂小测
课堂小结：
1.任意角 的概念
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角
负角：射线按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
1)置角的顶点于原点
2)始边重合于X轴的非负半轴
2.象限角
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
α＋K·3600，K∈Z
4：在0到360度内找与已知角终边相同的角，方法是：用所给角除以3600.所给角是正的：按通常的除法进行；所给角是负的：角度除以3600，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以便使余数为正值。
5：判断一个角是第几象限角，方法是：所给角ａ改写成α0+k ·3600 ( K∈Z,00≤α0＜3600)的形式，α0在第几象限α就是第几象限角
成功的花，人们只惊慕她现时的明艳！然而当初它的芽儿，浸透了奋斗的泪泉，洒遍了牺牲的血雨。
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