18.2.1 第2课时 矩形的判定 人教版八年级数学下册课件

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第十八章 平行四边形18.2.1 矩 形第2课时 矩形的判定复习引入问题1 矩形的定义是什么？有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.问题2 矩形有哪些性质？矩形边：角：对角线：对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等思考 工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具(卷尺和量角器)，他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？这节课我们一起探讨矩形的判定吧.对角线相等的平行四边形是矩形类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.矩形是特殊的平行四边形.问题2 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？思考 你能证明这一猜想吗？我猜想：对角线相等的四边形是矩形.不对，等腰梯形的对角线也相等.不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.已知：如图,在□ABCD中，AC， DB是它的两条对角线， AC=DB.求证：□ABCD是矩形.证明：∵AB = DC，BC = CB，AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC = ∠DCB. ∵ AB∥CD， ∴∠ABC + ∠DCB = 180°. ∴ ∠ABC = 90°. ∴ □ ABCD 是矩形（矩形的定义）.证一证矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.归纳总结几何语言描述：在平行四边形ABCD中，∵ AC = BD，∴ 平行四边形 ABCD 是矩形.思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，那么窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？对角线相等的平行四边形是矩形.　例1 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数．解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，又∵ OA = OD，∴ AC = BD.∴四边形 ABCD 是矩形.∴∠BAD = 90°.又∵∠OAD = 50°，∴∠OAB = 40°.典例精析例2 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F、G、H 分别是 AO、BO、CO、DO 上的一点，且 AE = BF = CG = DH. 求证：四边形 EFGH 是矩形.证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AC = BD（矩形的对角线相等)，AO = BO = CO = DO（矩形的对角线互相平分）.∵ AE = BF = CG = DH，∴ OE = OF = OG = OH.∴ 四边形 EFGH 是平行四边形，且 EG = FH. ∴ 四边形 EFGH 是矩形.练一练1.如图，在▱ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，则下面条件能判定 ▱ABCD 是矩形的是 （　　）A．AC = BD B．AC = BCC．AD = BC D．AB = AD A2. 如图，□ABCD 中，∠1 = ∠2，此时四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？12解：四边形 ABCD 是矩形.理由如下：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AO = CO，DO = BO.又∵∠1 = ∠2，∴ AO = BO.∴ AC = BD.∴ □ABCD 是矩形.问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.成立.问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°.求证：四边形 ABCD 是矩形.证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°，∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°.∴ AD∥BC，AB∥CD.∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.∴ 四边形 ABCD 是矩形.证一证矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.归纳总结几何语言描述：在四边形 ABCD 中，∵∠A =∠B =∠C = 90°，∴ 四边形 ABCD 是矩形.思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？有三个角是直角的四边形是矩形.例3 如图，□ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E、F、G、H，求证：四边形 EFGH 为矩形．证明：在□ ABCD 中，AD∥BC，∴∠DAB +∠ABC = 180°.∵ AE 与 BG 分别为∠DAB、 ∠ABC 的平分线，∴ 四边形 EFGH 为矩形．同理可得∠FEH =∠EHG = 90°，∴∠AFB = 90°.∴∠GFE = 90°.例4 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为 D，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E，求证：四边形 ADCE 为矩形．证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，又∵ AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°.∴ 四边形 ADCE 为矩形．练一练在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的 4 位同学分别拟定了如下的方案，其中合理的是 （　　）A．测量对角线是否相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角 D1.下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（5）有三个角是直角的四边形是矩形；（6）四个角都相等的四边形是矩形；（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有三个角都相等的四边形是矩形；××××√√√√（8）一组对角互补的平行四边形是矩形.2.如图，直线 EF∥MN，PQ 交 EF、MN 于 A、C 两点，AB、CB、CD、AD 分别是∠EAC、∠MCA、∠ ACN、∠CAF 的平分线，则四边形 ABCD 是 （ ）A. 梯形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 不能确定C3.如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°，AB = 5，BC = 12，AC = 13．求证：四边形 ABCD 是矩形．证明：四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°，∴∠ADC = 90°.在△ABC 中，∵ AB = 5，BC = 12，AC = 13，∴ AB2 + BC2 = AC2.∴△ABC 是直角三角形，且∠B = 90°.∴ 四边形 ABCD 是矩形．4.如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，延长 OA 到 N，使 ON＝OB，再延长 OC 至 M，使 CM＝AN. 求证：四边形 NDMB 为矩形．证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ OA＝OC，OD＝OB.∵ AN＝CM，ON＝OB，∴ ON＝OM＝OD＝OB.∴ 四边形 NDMB 为平行四边形，且 MN＝BD. ∴ 平行四边形 NDMB 为矩形．5.如图，△ABC 中，AB＝AC，AD 是BC 边上的高，AE 是外角的平分线，DE∥AB 交 AE 于点 E，求证：四边形 ADCE 是矩形．证明：∵ AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.∵ AE 是△ABC 的外角平分线，∴∠FAE＝∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC， ∴ AE∥BC. 又∵DE∥AB，∴ 四边形 AEDB 是平行四边形.∴ AE 平行且等于 BD.又∵ BD＝DC，∴ AE 平行且等于 DC.故四边形 ADCE 是平行四边形.又∵∠ADC＝90°，∴ 平行四边形 ADCE 是矩形． 6. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24 cm，BC＝26 cm，动点 P 从点 A 出发沿 AD 方向向点 D 以 1 cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿 CB 方向向点 B 以 3 cm/s 的速度运动．点 P、Q 分别从点 A和点 C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．(1) 经过多长时间，四边形 PQCD 是平行四边形？解：设经过 x s 时四边形 PQCD 是平行四边形，则 PD＝CQ，所以 24－x ＝3x，解得 x＝6.即经过 6 s 时四边形 PQCD 是平行四边形.能力提升：(2)经过多长时间，四边形 PQBA 是矩形？解：设经过 y s，四边形 PQBA 为矩形，则 AP＝BQ，∴ y ＝26－3y，解得 y ＝ 6.5.即经过 6.5 s 时四边形 PQBA 是矩形．有一个角是直角的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形运用定理进行计算和证明矩形的判定定义判定定理