初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式一课一练

专题16.7二次根式材料阅读题大题提升训练

班级：___________________   姓名：_________________   得分：_______________

注意事项：

本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一．解答题（共30小题）

1．（2022秋•驻马店期中）阅读材料：（一）如果我们能找到两个正整数x，y使x+y＝a且xy＝b，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．

例如：．

（二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：1．那么我们称这个过程为分式的分母有理化．根据阅读材料解决下列问题：

（1）化简“和谐二次根式”：①　   　；②　   　．

（2）已知m，n，求的值．

2．（2022秋•长安区期中）求代数式a的值，其中a＝﹣2022．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．

小芳：

解：原式＝aa+1﹣a＝1

小亮：

解：原式＝aa+a﹣1＝﹣4045

（1）　   　的解法是错误的；

（2）求代数式a+2的值，其中a＝4．

3．（2022秋•仪征市期中）阅读下面材料，回答下列问题：

构造法是依据问题的条件和结论给出的信息，把问题做适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而疏通解题思路的方法．构造方程是常用的一种构造方法，它能使得问题被简化，得以迅速解决．

材料：已知，求代数式的值；

分析：这道题如果将代数式化简，再直接将x代入求值比较困难，观察x的值，发现，对比一元二次方程求根公式，不难发现x是方程x2﹣5x+1＝0的根，所以x2＝5x﹣1，x2+1＝5x，所以原式．

（1）以2，﹣3为根的方程可以是 　   　；

（2）已知，请用材料中的方法求代数式的值；

（3）求代数式的值．

4．（2022秋•永安市期中）在解决问题“已知a，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：

∵a

∴a﹣2，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3

∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

（1）化简：；

（2）若a，求2a2+4a﹣1的值．

5．（2022秋•昌平区期中）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式．

（1）下列式子中①，②，③，　   　是根分式（填写序号即可）；

（2）写出根分式中x的取值范围 　   　；

（3）已知两个根分式，．

①若M2﹣N2＝1，求x的值；

②若M2+N2是一个整数，且x为整数，请直接写出x的值：　   　．

6．（2022秋•市中区期中）观察下列一组等式，解答后面的问题：

（1）（1）＝1，（）（）＝1，（）（）＝1，（）（）＝1，

（1）根据上面的规律：

①　   　；

②　   　；

（2）计算：（）×（1）．

（3）若a，则求a3﹣4a2﹣2a+1的值．

7．（2022秋•隆昌市校级月考）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：

①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b＝2，ab＝﹣3，求a2+b2.我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令x＝a+b，y＝ab，则a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝x2﹣2y＝4+6＝10．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．

（1）计算：；

（2）m是正整数，，且2a2+1823ab+2b2＝2019，求m；

（3）已知，求的值．

8．（2022秋•南海区期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：

已知a，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：

∵a2，∴a﹣2，

∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，

∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．

请你根据小明的解析过程，解决如下问题：

（1）　   　；

（2）化简；

（3）若a，求a4﹣10a3+a2﹣20a+5的值．

9．（2022秋•杏花岭区校级月考）小明在解决问题：已知a．求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：

∵a2∴a﹣2

∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1

∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

（1）化简；

（2）比较　   　；（填“＞”或“＜”）

（3）A题：若a1，则a2﹣2a+3＝　   　．

B题：若a，则4a2﹣4a+7＝　   　．

10．（2022秋•高新区校级月考）阅读材料：

黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：（2）（2）＝1，（）（）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，7+4．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．

解决问题：

（1）4的有理化因式可以是 　   　，分母有理化得 　   　．

（2）计算：①．②已知：x，y，求x2+y2的值．

11．（2022秋•揭阳期中）阅读理解题：

已知a，将其分母有理化．

小明同学是这样解答的：

a．

请你参考小明的化简方法，解决如下问题：

（1）计算：；

（2）计算：；

（3）若a，求2a2+8a+1的值．

12．（2022秋•南召县月考）阅读下面的材料，解答后面提出的问题：

在二次根式计算中我们常常遇到这样的情况：，

，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解：

，．

像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．

解决问题：

（1）的一个有理化因式是 　   　．

（2）已知，，则　   　．

（3）利用上面所提供的解法，请化简．

13．（2022秋•新城区校级月考）爱动脑筋的小明在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数是二次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的性质：来进一步化简．

比如：，∴当x+1≥0即x≥﹣1时，原式＝x+1；当x+1＜0即x＜﹣1时，原式＝﹣x﹣1．

（1）仿照上面的例子，请你尝试化简．

（2）判断甲、乙两人在解决问题：“若a＝9，求的值”时谁的答案正确，并说明理由．

甲的答案：原式；

乙的答案：原式．

（3）化简并求值：，其中．

14．（2022秋•清水县校级月考）阅读下列材料，然后回答问题．

①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：1，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b＝2，ab＝−3，求a2+b2．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令x＝a+b，y＝ab，则a2+b2＝（a+b）2−2ab＝x2−2y＝4+6＝10．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．

（1）计算：；

（2）m是正整数，a，b且2a2+1823ab+2b2＝2019．求m．

（3）已知1，求的值．

15．（2022春•东莞市期中）阅读下列材料，再解决问题：

阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．

例如：1．

解决问题：

（1）在括号内填上适当的数：⑤，①：　   　，②：　   　，③　   　，④：　   　，⑤：　   　；

（2）根据上述思路，试将予以化简．

16．（2022春•交城县期中）阅读下面的材料，并解决问题．

1；

；

；

…

（1）观察上式并填空：　   　；

（2）观察上述规律并猜想：当n是正整数时　   　（用含n的式子表示）；

（3）请利用（2）的结论计算：．

17．（2022春•赤坎区校级期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，1与1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，．

（1）请你写出3的有理化因式：　   　；

（2）请仿照上面的方法化简（b≥0且b≠1）；

（3）已知a，b，求的值．

18．（2022春•呼和浩特期末）（1）计算：；

（2）已知，求代数式的值；

（3）先化简，再求值：，其中．

19．（2022春•临汾期末）（1）计算：6+（1）（1）．

（2）下面是夏红同学对题目的计算过程，请认真阅读并完成相应的任务．

题目：已知x，求x+1的值．

原式第一步

第二步

．…第三步

把x代入上式，得

原式第四步

第五步

＝﹣1…第六步

任务一：填空：

①在化简步骤中，第 　   　步是进行分式的通分．

②第 　   　步开始出错，这一错误的原因是 　   　．

任务二：请直接写出该题计算后的正确结果．

20．（2022春•章贡区期末）阅读并完成下面问题：

①1；

②；

③．

试求：

（1）下列各数中，与2的积是有理数的是 　   　．

A．2

B．2

C．

D．2

（2）的倒数为 　   　；

（3）若x，求x2﹣2x的值．

21．（2021秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．

如：3+2．

除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．

如：化简．

解：设x，易知，故x＞0．

由于x2＝（）2＝2222．

解得x，即

根据以上方法，化简：．

22．（2018秋•天河区校级期中）小马在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如3+2（1）2，善于思考的小明进行了如下探索：

设a+b（m+n）2，（其中a、b、m、n均为正整数）则有a+bm2+2mn2n2．

∴a＝m2+2n2，b＝2mn．

这样，小马找到了把部分a+b的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决问题：

（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b得，a＝　   　，b＝　   　．

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：　   　+　   　（　   　+　   　）2．

（3）设x，试用含有x的代数式（各项系数均为有理数）来表示．（要写出必要过程）

23．先阅读下面的材料．再解答下面的问题．

∵（）（）＝a﹣b，

∴a﹣b＝（）（）

特别地．（）×（）＝1，

∴，

当然也可以利用12﹣11＝1得1＝12﹣11，

故

这种变形也是将分母有理化．

利用上述的思路方法解答下列问题：

（1）计算：；

（2）计算：．

24．（2020春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．

比如：．

分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，．

因为，所以，．

再例如，求y的最大值、做法如下：

解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y．

当x＝2时，分母有最小值2．所以y的最大值是2．

利用上面的方法，完成下述两题：

（1）比较和的大小；

（2）求y3的最大值．

25．（2020秋•吴江区期中）像2；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．

（1）；

（2）．

勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．

（3）化简：．

解：设x，易知，∴x＞0．

由：x2＝32．解得x．

即．

请你解决下列问题：

（1）2的有理化因式是　   　；

（2）化简：；

（3）化简：．

26．（2019秋•郫都区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2，善于思考的小明进行了以下探索：

设ab＝（mn）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有ab＝m2+2n2+2mn，

∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分ab的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若ab＝（mn）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　   　，b＝　   　；

（2）若a+4（mn）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；

（3）化简：．

27．（2021春•长兴县月考）阅读下列材料，解答后面的问题：

在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：

①要使二次根式有意义，则需a﹣2≥0，解得：a≥2；

②化简：，则需计算1，而1，

所以11．

（1）根据二次根式的性质，要使成立，求a的取值范围；

（2）利用①中的提示，请解答：如果b1，求a+b的值；

（3）利用②中的结论，计算：．

28．（2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：

我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：

与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：．

分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：

比较和的大小．可以先将它们分子有理化．如下：，．

因为，所以．

再例如：求y的最大值．做法如下：

解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y．

当x＝2时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．

解决下述问题：

（1）比较34和2的大小；

（2）求y的最大值．

29．（2021春•朝阳区校级期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．

材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．

材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若y′，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．

请选择合适的材料解决下面的问题：

（1）点的“横负纵变点”为　   　，

点的“横负纵变点”为　   　；

（2）化简：；

（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点M'是点M的“横负纵变点”，则点M'的坐标是　   　．

30．（2021秋•高州市期末）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2．

设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+bm2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法．

请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　   　，b＝　   　．

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　   　+　   　（　   　+　   　）2；

（3）化简