还剩28页未读，
继续阅读
初中北师大版1 两条直线的位置关系精练
展开
这是一份初中北师大版1 两条直线的位置关系精练，共31页。试卷主要包含了下列说法正确的是，下列结论，平面内有n条直线等内容，欢迎下载使用。
2.1两条直线的位置关系同步练习
一．余角和补角（共7小题）
1．如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠1＝∠3﹣90° C．∠1＝∠3+90° D．以上都不对
2．下列说法正确的是（ ）
A．若AC＝BC，则点C为线段AB的中点
B．若，则射线OC为∠AOB平分线
C．若∠1+∠2+∠3＝180°，则这三个角互补
D．若∠α与∠β互余，则∠α的补角比∠β大90°
3．如图，是一副三角板的摆放图，将一个三角板60°的角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠BAE＝20°，则∠CAD的大小是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
4．将一副三角板按不同位置摆放，图中∠α与∠β互余的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知∠α与∠β满足2∠α+3∠β＝180°，下列式子表示的角：①90°﹣∠β；②30°+∠α；③∠α+∠β；④2∠α+∠β中，其中是∠β的余角的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
6．如图，已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝120°，∠AOF＝∠AOE．
（1）当∠BOE＝15°时，∠COA的度数为 ；
（2）当∠FOE比∠BOE的余角大40°，∠COF的度数为 ．
7．如图，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC．
（1）计算求值：若∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，求∠MON的度数；
（2）拓展探究：若∠AOB＝90°，则∠MON＝ °；
（3）问题解决：若∠AOB＝x°，∠MON＝y°，
①用含x的代数式表示y＝ ；
②如果∠AOB+∠MON＝156°，试求∠MON的度数．
二．相交线（共4小题）
8．平面内有4条直线，这4条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．下列结论：①平面内3条直线两两相交，共有3个交点；②在平面内，若∠AOB＝40°，∠AOC＝∠BOC，则∠AOC的度数为20°；③若线段AB＝3，BC＝2，则线段AC的长为1或5；④若∠α+∠β＝180°，且∠α＜∠β，则∠α的余角为（∠β﹣∠α）．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．平面内有n条直线（n≥2），这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（ ）
A．n（n﹣1） B．n2﹣n+1 C． D．
11．在平面内，若两条直线的最多交点数记为a1，三条直线的最多交点数记为a2，四条直线的最多交点数记为a3，…，依此类推，则＝ ．
三．对顶角、邻补角（共6小题）
12．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
13．如图，∠C＝88°＝∠D，AD与BE相交于点E，若∠DBC＝23°，则∠CAE的度数是（ ）
A．23° B．25° C．27° D．无法确定
14．如图，三条直线a、b、c相交于一点，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．360° B．180° C．120° D．90°
15．如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，∠MON＝90°．若∠MOC＝35°，则∠BON的度数为 ．
16．已知：如图，直线AB、CD相交于点O，∠EOC＝90°，OF平分∠AOE．
（1）若∠BOC＝40°，求∠AOF的大小．
（2）若∠COF＝x°，求∠BOC的大小．
17．平面内两条直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，OB平分∠COF．
（1）如图1：
①若∠AOE＝20°，则∠DOF＝ °；
②请写出∠DOF和∠AOE的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，∠DOF与∠AOE的数量关系是 ．
四．垂线（共8小题）
18．如图，E是直线CA上一点，∠AEF＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF，则∠GEB的度数为（ ）
A．20° B．10° C．25° D．15°
19．如图，直线AB和CD相交于O点，OE⊥CD，∠EOF＝142°，∠BOD：∠BOF＝1：3，则∠AOF的度数为（ ）
A．138° B．128° C．117° D．102°
20．如图，点C在直线AB上（A、C、B三点在一条直线上），若CE⊥CD，已知∠1＝50°，则∠2＝ °．
21．过平面上一点O作三条射线OA、OB和OC，已知OA⊥OB，∠AOC：∠AOB＝1：2，则∠BOC＝ °．
22．在同一平面内，∠BOC＝50°，OA⊥OB，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是 ．
23．已知OA⊥OC，∠AOB与∠AOC的度数之比为3：5，则∠BOC等于 ．
24．如图，点O在直线AB上，OC平分∠BOD，OE⊥OC．
（1）已知∠DOC＝26°，求∠AOE的大小；
（2）若∠BOC＝α，请判断OE是否平分∠AOD，并说明理由．
25．补充下列证明，并在括号内填上推理依据．
已知：如图，∠AOB+∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．
求证：OE⊥OF．
证明：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，（ ）
∴∠1＝∠AOB，∠2＝∠BOC． （ ）
又∵∠AOB+∠BOC＝180°，（ ）
∴∠1+∠2＝（∠AOB+∠BOC）＝ °． （ ）
∴OE⊥OF． （ ）
五．垂线段最短（共6小题）
26．如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方案中，最节省材料的是（ ）
A． B．
C． D．
27．如图，点A是直线l外一点，过点A作AB⊥l于点B．在直线l上取一点C，连结AC，使AC＝AB，点P在线段BC上，连结AP．若AB＝3，则线段AP的长不可能是（ ）
A．3.5 B．4 C．5 D．5.5
28．已知点M在∠AOB的平分线上，点M到OA边的距等于8，点N是OB边上的任意一点，则下列选项中正确的是（ ）
A．MN≥8 B．MN≤8 C．MN＞8 D．MN＜8
29．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，BC＝5．点P为边BC上一动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
30．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，AB＝13，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是 ．
31．如图所示，在△ABC中，AC＝5，BC＝6，BC边上高AD＝4，若点P在边AC上（不含端点）移动，求BP最短时的值．
六．点到直线的距离（共8小题）
32．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则点B到直线CD的距离是指（ ）
A．线段BC的长度 B．线段CD的长度
C．线段BE的长度 D．线段BD的长度
33．如图，点C到直线AB的距离是（ ）
A．线段CA的长度 B．线段CB的长度
C．线段AD的长度 D．线段CD的长度
34．点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线l的距离（ ）
A．小于2cm B．等于2cm C．不大于2cm D．等于4cm
35．如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，则点A到BC的距离是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．cm
36．下列图形中线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A． B．
C． D．
37．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，有以下描述：
①线段AB是点A、B之间的距离；
②垂线段CD的长是点C到直线AB的距离；
③图中∠CAB的余角只有两个；
④若∠ACD＝α，则∠CBE＝180°﹣α；
则判断正确的是 （填写序号）．
38．（1）已知A、B、C三点如图所示，画直线AB、线段AC、射线BC，过点C画AB的垂线段CD；
（2）已知线段AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝3cm，AC⊥BC，求C点到AB的距离．
39．如图，点M，N分别在直线AB，CD上．
（1）请在图中作出表示M，N两点间的距离的线段a，和表示点N到直线AB的距离的线段b；
（2）请比较（1）中线段a，b的大小，并说明理由．
七．平行线（共3小题）
40．下列说法中正确的是（ ）
A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
B．在同一平面内，不相交的两条线段必平行
C．两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等
D．两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行
41．（原创题）如图所示，在∠AOB内有一点P．
（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；
（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？
42．如图，在长方体中，与棱AB平行的棱有 条．
2.1两条直线的位置关系同步练习
参考答案与试题解析
一．余角和补角（共7小题）
1．如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠1＝∠3﹣90° C．∠1＝∠3+90° D．以上都不对
【解答】解：由题意得，①∠1+∠2＝90°，②∠2+∠3＝180°
②﹣①得，∠3﹣∠1＝180°﹣90°＝90°，
变形为：∠1＝∠3﹣90°，
故选：B．
2．下列说法正确的是（ ）
A．若AC＝BC，则点C为线段AB的中点
B．若，则射线OC为∠AOB平分线
C．若∠1+∠2+∠3＝180°，则这三个角互补
D．若∠α与∠β互余，则∠α的补角比∠β大90°
【解答】解：A、前提条件是点A、B、C在同一条直线上，∴不符合题意；
B、前提条件是射线OC在∠AOB的内部，∴不符合题意；
C、两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，而不是三个角，∴不符合题意；
D、∵∠α+∠β＝90°，
∴∠β＝90°﹣∠α，
∵∠α的补角：180°﹣∠α，
∴∠α的补角比∠β大：180°﹣∠α﹣（90°﹣∠α）＝90°，
∴符合题意；
故选：D．
3．如图，是一副三角板的摆放图，将一个三角板60°的角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠BAE＝20°，则∠CAD的大小是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【解答】解：由题意得：∠DAE＝90°，∠BAC＝60°，
∵∠BAE＝20°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝40°，
∵∠CAE+∠CAD＝∠DAE＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠CAE＝50°，
故选：B．
4．将一副三角板按不同位置摆放，图中∠α与∠β互余的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．图中∠α+∠β＝90°，即∠α与∠β互余，故本选项符合题意；
B．图中∠α＝∠β，不一定互余，故本选项不符合题意；
C．图中∠α+∠β＞90°，故本选项不符合题意；
D．图中∠α+∠β＝180°﹣45°+180°﹣45°＝270°，故本选项不符合题意．
故选：A．
5．已知∠α与∠β满足2∠α+3∠β＝180°，下列式子表示的角：①90°﹣∠β；②30°+∠α；③∠α+∠β；④2∠α+∠β中，其中是∠β的余角的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【解答】解：∠β的余角是90°﹣∠β，故①正确；
∵∠α与∠β满足2∠α+3∠β＝180°，
∴3∠β＝180°﹣2∠α，
∴∠β＝60°﹣∠α，
∴∠β的余角是90°﹣（60∠α）＝30°+∠α，故②错误；
∵∠α+β＝∠α+（60°﹣∠α）＝∠α+30°﹣＝30°+∠α，
∴∠α+∠β是∠β的余角，故③正确；
∵2∠α+∠β＝2∠α+60°﹣∠α＝60°+∠α≠30°+∠α，故④错误；
即正确的是①③，
故选：B．
6．如图，已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝120°，∠AOF＝∠AOE．
（1）当∠BOE＝15°时，∠COA的度数为 45° ；
（2）当∠FOE比∠BOE的余角大40°，∠COF的度数为 32° ．
【解答】解：（1）∵∠BOE＝15°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣15°＝165°．
又∵∠AOF＝∠AOE，
∴∠COA＝∠AOE﹣∠COE＝165°﹣120°＝45°．
故答案为：45°．
（2）由题意得，∠FOE＝∠BOE+40°．
∵∠AOF＝∠AOE，
∴180°﹣∠BOF＝．
∴180°﹣（∠EOF+∠BOE）＝60°﹣．
∴180°﹣（∠BOE+40°+∠BEO）＝60°﹣．
∴∠BOE＝48°．
∴∠EOF＝48°+40°＝88°．
∴∠COF＝∠COE﹣∠EOF＝120°﹣88°＝32°．
故答案为：32°．
7．如图，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC．
（1）计算求值：若∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，求∠MON的度数；
（2）拓展探究：若∠AOB＝90°，则∠MON＝ 45 °；
（3）问题解决：若∠AOB＝x°，∠MON＝y°，
①用含x的代数式表示y＝ x° ；
②如果∠AOB+∠MON＝156°，试求∠MON的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+60°＝150°，
∵ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，
∴，
∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝75°﹣30°＝45°，
（2）设∠AOC＝a°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝90°+a°，
∵ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，
∴∠NOC＝∠AOC＝a°，
∠MON＝∠BOC＝（90°+a°）＝45°+a°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝45°，
故答案为：45°；
（3）①∵∠AOB＝x°，∠MON＝y°，
∴∠BOC＝x°+y°，
∵ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，
∴∠NOC＝∠AOC＝x°，
∠MON＝∠BOC＝（x°+y°），
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝x°，
故答案为：x°；
②根据题意得，，
解，得 x＝104
∴．
二．相交线（共4小题）
8．平面内有4条直线，这4条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：如图所示：
4条直线两两相交，有3种情况：4条直线经过同一点，有一个交点；3条直线经过同一点，被第4条直线所截，有4个交点；4条直线不经过同一点，有6个交点．
故平面内两两相交的4条直线，最多有6个交点，最少有1个交点；即a＝6，b＝1，则a+b＝7．
故选：C．
9．下列结论：①平面内3条直线两两相交，共有3个交点；②在平面内，若∠AOB＝40°，∠AOC＝∠BOC，则∠AOC的度数为20°；③若线段AB＝3，BC＝2，则线段AC的长为1或5；④若∠α+∠β＝180°，且∠α＜∠β，则∠α的余角为（∠β﹣∠α）．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①平面内3条直线两两相交，有1个或3个交点；故错误；
②在平面内，若∠AOB＝40°，∠AOC＝∠BOC，则∠AOC的度数为20°或160°；故错误；
③若线段AB＝3，BC＝2，则线段AC的长为1或5；点C不一定在直线AB上，故错误；
④若∠α+∠β＝180°，且∠α＜∠β，则∠α的余角为（∠β﹣∠α），故正确．
故选：A．
10．平面内有n条直线（n≥2），这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（ ）
A．n（n﹣1） B．n2﹣n+1 C． D．
【解答】解：如图：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交有1+2个交点；
4条直线相交有1+2+3个交点；
5条直线相交有1+2+3+4个交点；
6条直线相交有1+2+3+4+5个交点；
…
n条直线相交有1+2+3+4+5+…+（n﹣1）＝个交点．
所以a＝，而b＝1，
∴a+b＝．
故选：D．
11．在平面内，若两条直线的最多交点数记为a1，三条直线的最多交点数记为a2，四条直线的最多交点数记为a3，…，依此类推，则＝ ．
【解答】如图：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交有1+2个交点；
4条直线相交有1+2+3个交点；
5条直线相交有1+2+3+4个交点；
6条直线相交有1+2+3+4+5个交点；
…
n条直线相交有
1+2+3+…+n﹣1＝．
则＝2+++…+
＝2[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
＝2×（1﹣）
＝．
故答案是：．
三．对顶角、邻补角（共6小题）
12．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据对顶角的定义（具有共同顶点，两边互为反向延长线的两个角互为对顶角），选项C符合题意．
故选：C．
13．如图，∠C＝88°＝∠D，AD与BE相交于点E，若∠DBC＝23°，则∠CAE的度数是（ ）
A．23° B．25° C．27° D．无法确定
【解答】解：在△ACE和△BDE中，由三角形内角和定理可知，
∠CAE+∠AEC+∠C＝180°＝∠DBE+∠BED+∠D，
∵∠C＝88°＝∠D，∠AEC＝∠BED，
∴∠CAE＝∠DBE＝23°，
故选：A．
14．如图，三条直线a、b、c相交于一点，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．360° B．180° C．120° D．90°
【解答】解：因为对顶角相等，所以∠1+∠2+∠3＝×360°＝180°．
故选：B．
15．如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，∠MON＝90°．若∠MOC＝35°，则∠BON的度数为 55° ．
【解答】解：∵射线OM平分∠AOC，∠MOC＝35°，
∴∠MOA＝∠MOC＝35°，
∵∠MON＝90°，
∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠MOA＝180°﹣90°﹣35°＝55°．
故选：55°．
16．已知：如图，直线AB、CD相交于点O，∠EOC＝90°，OF平分∠AOE．
（1）若∠BOC＝40°，求∠AOF的大小．
（2）若∠COF＝x°，求∠BOC的大小．
【解答】解：∵∠AOD＝∠BOC＝40°，
∵OE⊥OC于点O，
∴∠DOE＝90°，
∴∠AOE＝50°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠AOE＝25°．
（2）∵OE⊥OC于点O，
∴∠COE＝∠DOE＝90°，
∵∠COF＝x°，
∴∠EOF＝x°﹣90°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝2x°﹣180°，
∴∠AOD＝90°﹣∠AOE＝270°﹣2x°，
∴∠BOC＝∠AOD＝270°﹣2x°．
17．平面内两条直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，OB平分∠COF．
（1）如图1：
①若∠AOE＝20°，则∠DOF＝ 40° °；
②请写出∠DOF和∠AOE的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，∠DOF与∠AOE的数量关系是 ∠DOF＝2∠AOE ．
【解答】解：（1）①∵∠EOF＝90°，∠AOE＝20°，
∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝70°，
∵OB平分∠COF，
∴∠COF＝2∠BOF＝140°，
∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝40°，
故答案为：40°，
②∠DOF＝2∠AOE，
理由是：设∠AOE＝x，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝90°﹣x，
∵OB平分∠COF，
∴∠COF＝2∠BOF＝180°﹣2x，
∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝2x，
∴∠DOF＝2∠AOE；
（2）∠DOF＝2∠AOE，
理由是：设∠AOE＝y，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝90°﹣y，
∵OB平分∠COF，
∴∠COF＝2∠BOF＝180°﹣2y，
∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝2y，
∴∠DOF＝2∠AOE．
四．垂线（共8小题）
18．如图，E是直线CA上一点，∠AEF＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF，则∠GEB的度数为（ ）
A．20° B．10° C．25° D．15°
【解答】解：∵∠FEA＝40°．
∴∠CEF＝140°．
∵EB平分∠CEF．
∴，
∵GE⊥EF．
∴∠GEF＝90°．
∴∠GBE＝∠GEF﹣∠BEF＝20°．
故选：A．
19．如图，直线AB和CD相交于O点，OE⊥CD，∠EOF＝142°，∠BOD：∠BOF＝1：3，则∠AOF的度数为（ ）
A．138° B．128° C．117° D．102°
【解答】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∵∠EOF＝142°，
∴∠DOF＝142°﹣90°＝52°．
∵∠BOD：∠BOF＝1：3，
∴∠BOD＝∠DOF＝26°，
∴∠BOF＝∠BOD+∠DOF＝78°，
∵∠AOF+∠BOF＝180°，
∴∠AOF＝180°﹣∠BOF＝180°﹣78°＝102°．
故选：D．
20．如图，点C在直线AB上（A、C、B三点在一条直线上），若CE⊥CD，已知∠1＝50°，则∠2＝ 40 °．
【解答】解：∵CE⊥CD，
∴∠ECD＝90°，
∵∠1＝50°，
∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠ECD＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
故答案为：40°．
21．过平面上一点O作三条射线OA、OB和OC，已知OA⊥OB，∠AOC：∠AOB＝1：2，则∠BOC＝ 135或45 °．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵∠AOC：∠AOB＝1：2，
∴∠AOC＝45°，
如图1：∠BOC＝90°+45°＝135°，
如图2：∠BOC＝90°﹣45°＝45°，
故答案为：135或45．
22．在同一平面内，∠BOC＝50°，OA⊥OB，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是 20°或70° ．
【解答】解：∵OA⊥OB
∴∠AOB＝90°，
如图1，∵∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝90°﹣∠BOC＝40°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD＝∠COA＝20°，
∴∠BOD＝50°+20°＝70°，
如图2，∵∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝90°+∠BOC＝140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD＝∠COA＝70°，
∴∠BOD＝70°﹣50°＝20°．
故答案为：20°或70°．
23．已知OA⊥OC，∠AOB与∠AOC的度数之比为3：5，则∠BOC等于 36°或144° ．
【解答】解：∵OA⊥OC，
∴∠AOC＝90°，
∵∠AOB：∠AOC＝3：5，
∴∠AOB＝54°．
因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．
①当在∠AOC内时，∠BOC＝90°﹣54°＝36°；
②当在∠AOC外时，∠BOC＝90°+54°＝144°．
故答案是：36°或144°．
24．如图，点O在直线AB上，OC平分∠BOD，OE⊥OC．
（1）已知∠DOC＝26°，求∠AOE的大小；
（2）若∠BOC＝α，请判断OE是否平分∠AOD，并说明理由．
【解答】解：（1）∵OC平分∠BOD，
∴∠DOC＝∠BOC，
∵OE⊥OC，
∴∠DOE+∠DOC＝90°，∠BOC+∠AOE＝90°，
∴∠DOC+∠AOE＝90°，
∴∠AOE＝90°﹣∠DOC＝90°﹣26°＝64°．
（2）由（1）得：∠DOC+∠AOE＝90°，
∴∠DOE＝∠AOE，
∴OE平分∠AOD．
25．补充下列证明，并在括号内填上推理依据．
已知：如图，∠AOB+∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．
求证：OE⊥OF．
证明：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，（ 已知 ）
∴∠1＝∠AOB，∠2＝∠BOC． （ 角平分线的定义 ）
又∵∠AOB+∠BOC＝180°，（ 已知 ）
∴∠1+∠2＝（∠AOB+∠BOC）＝ 90 °． （ 等式性质 ）
∴OE⊥OF． （ 垂直的定义 ）
【解答】证明：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，（ 已知 ）
∴∠1＝∠AOB，∠2＝∠BOC．（ 角平分线的定义 ）
又∵∠AOB+∠BOC＝180°，（ 已知 ）
∴∠1+∠2＝（∠AOB+∠BOC）
＝90°． （ 等式性质 ）
∴OE⊥OF．（ 垂直的定义 ）
故答案为：已知，角平分线的定义，已知，90，等式的性质，垂直的定义．
五．垂线段最短（共6小题）
26．如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方案中，最节省材料的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的方案是：
故选：D．
27．如图，点A是直线l外一点，过点A作AB⊥l于点B．在直线l上取一点C，连结AC，使AC＝AB，点P在线段BC上，连结AP．若AB＝3，则线段AP的长不可能是（ ）
A．3.5 B．4 C．5 D．5.5
【解答】解：∵过点A作AB⊥l于点B，在直线l上取一点C，连接AC，使AC＝AB，P在线段BC上连接AP．若AB＝3，
∴AC＝5，
∴3≤AP≤5，
故AP不可能是5.5，
故选：D．
28．已知点M在∠AOB的平分线上，点M到OA边的距等于8，点N是OB边上的任意一点，则下列选项中正确的是（ ）
A．MN≥8 B．MN≤8 C．MN＞8 D．MN＜8
【解答】解：∵点M在∠AOB的平分线上，点M到OA边的距离等于8，
∴点M到OB的距离为8，
∵点N是OB边上的任意一点，
∴MN≥8．
故选：A．
29．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，BC＝5．点P为边BC上一动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
【解答】解：如图所示，当AP⊥BC时，AP最短，
∵＝，
∴AP＝＝＝，
∴AP的最小值是．
故答案为：．
30．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，AB＝13，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，AB＝13，
当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时：△ABC的面积＝•AB•PC＝•AC•BC，
∴13PC＝5×12，
∴PC＝，
故答案为：．
31．如图所示，在△ABC中，AC＝5，BC＝6，BC边上高AD＝4，若点P在边AC上（不含端点）移动，求BP最短时的值．
【解答】解：根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP最短，
∵S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BP，
∴6×4＝5BP，
∴PB＝，
即BP最短时的值为：．
六．点到直线的距离（共8小题）
32．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则点B到直线CD的距离是指（ ）
A．线段BC的长度 B．线段CD的长度
C．线段BE的长度 D．线段BD的长度
【解答】解：∵BD⊥CD于D，
∴点B到直线CD的距离是指线段BD的长度．
故选：D．
33．如图，点C到直线AB的距离是（ ）
A．线段CA的长度 B．线段CB的长度
C．线段AD的长度 D．线段CD的长度
【解答】解：因为CD⊥AB，
所以点C到直线AB的距离是线段CD的长度．
故选：D．
34．点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线l的距离（ ）
A．小于2cm B．等于2cm C．不大于2cm D．等于4cm
【解答】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离≤PA，
即点P到直线l的距离不大于2．
故选：C．
35．如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，则点A到BC的距离是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．cm
【解答】解：过D点作BC的垂线，垂足为D，由“面积法”可知，
AD×BC＝AB×AC，即AD×5＝3×4，
∴AD＝，
故选：D．
36．下列图形中线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．AD⊥BC于D，则线段AD的长表示点A到直线BC的距离，符合题意；
B．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
C．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
D．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意．
故选：A．
37．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，有以下描述：
①线段AB是点A、B之间的距离；
②垂线段CD的长是点C到直线AB的距离；
③图中∠CAB的余角只有两个；
④若∠ACD＝α，则∠CBE＝180°﹣α；
则判断正确的是 ②③④ （填写序号）．
【解答】解：①线段AB的长度是点A、B之间的距离，故①错误；
②∵CD⊥AB，
∴垂线段CD的长是点C到直线AB的距离，
故②正确；
③∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ACD＝90°，
∴图中∠CAB的余角只有两个，
故③正确；
④∵∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠DBC＝90°，
∴∠ACD＝∠DBC＝α，
∴∠CBE＝180°﹣α，
故④正确；
故答案为：②③④．
38．（1）已知A、B、C三点如图所示，画直线AB、线段AC、射线BC，过点C画AB的垂线段CD；
（2）已知线段AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝3cm，AC⊥BC，求C点到AB的距离．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵，
∴DC＝＝．
∴点C到AB的距离是．
39．如图，点M，N分别在直线AB，CD上．
（1）请在图中作出表示M，N两点间的距离的线段a，和表示点N到直线AB的距离的线段b；
（2）请比较（1）中线段a，b的大小，并说明理由．
【解答】解：（1）连接MN，过N作NE⊥AB，如图，
（2）由垂线段最短，得
MN＞NE，
即a＞b，
理由是垂线段最短．
七．平行线（共3小题）
40．下列说法中正确的是（ ）
A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
B．在同一平面内，不相交的两条线段必平行
C．两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等
D．两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行
【解答】解：（1）∵a⊥b，b⊥c，∴a∥c，故A选项错误；
（2）两条不相交的直线必平行，但是线段的长是有限的，故不相交的两条线段不一定平行，故B选项错误；
（3）只有两条平行的直线被第三条直线所截，所得的同位角才相等，故C选项错误；
（4）如图：
∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠CFE．
∵EN平分∠BEF，FM平分∠CFE，
∴∠NEF＝∠BEF，∠MFE＝∠CFE，
∴∠NEF＝∠MFE，∴EN∥FM．故D选项正确；
故选：D．
41．（原创题）如图所示，在∠AOB内有一点P．
（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；
（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？
【解答】解：（1）（2）如图所示，
（3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．
42．如图，在长方体中，与棱AB平行的棱有 3 条．
【解答】解：由图可得，长方体中所有与棱AB平行的棱有3条：EF、CD、GH．
故答案为：3．
2.1两条直线的位置关系同步练习
一．余角和补角（共7小题）
1．如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠1＝∠3﹣90° C．∠1＝∠3+90° D．以上都不对
2．下列说法正确的是（ ）
A．若AC＝BC，则点C为线段AB的中点
B．若，则射线OC为∠AOB平分线
C．若∠1+∠2+∠3＝180°，则这三个角互补
D．若∠α与∠β互余，则∠α的补角比∠β大90°
3．如图，是一副三角板的摆放图，将一个三角板60°的角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠BAE＝20°，则∠CAD的大小是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
4．将一副三角板按不同位置摆放，图中∠α与∠β互余的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知∠α与∠β满足2∠α+3∠β＝180°，下列式子表示的角：①90°﹣∠β；②30°+∠α；③∠α+∠β；④2∠α+∠β中，其中是∠β的余角的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
6．如图，已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝120°，∠AOF＝∠AOE．
（1）当∠BOE＝15°时，∠COA的度数为 ；
（2）当∠FOE比∠BOE的余角大40°，∠COF的度数为 ．
7．如图，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC．
（1）计算求值：若∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，求∠MON的度数；
（2）拓展探究：若∠AOB＝90°，则∠MON＝ °；
（3）问题解决：若∠AOB＝x°，∠MON＝y°，
①用含x的代数式表示y＝ ；
②如果∠AOB+∠MON＝156°，试求∠MON的度数．
二．相交线（共4小题）
8．平面内有4条直线，这4条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．下列结论：①平面内3条直线两两相交，共有3个交点；②在平面内，若∠AOB＝40°，∠AOC＝∠BOC，则∠AOC的度数为20°；③若线段AB＝3，BC＝2，则线段AC的长为1或5；④若∠α+∠β＝180°，且∠α＜∠β，则∠α的余角为（∠β﹣∠α）．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．平面内有n条直线（n≥2），这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（ ）
A．n（n﹣1） B．n2﹣n+1 C． D．
11．在平面内，若两条直线的最多交点数记为a1，三条直线的最多交点数记为a2，四条直线的最多交点数记为a3，…，依此类推，则＝ ．
三．对顶角、邻补角（共6小题）
12．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
13．如图，∠C＝88°＝∠D，AD与BE相交于点E，若∠DBC＝23°，则∠CAE的度数是（ ）
A．23° B．25° C．27° D．无法确定
14．如图，三条直线a、b、c相交于一点，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．360° B．180° C．120° D．90°
15．如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，∠MON＝90°．若∠MOC＝35°，则∠BON的度数为 ．
16．已知：如图，直线AB、CD相交于点O，∠EOC＝90°，OF平分∠AOE．
（1）若∠BOC＝40°，求∠AOF的大小．
（2）若∠COF＝x°，求∠BOC的大小．
17．平面内两条直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，OB平分∠COF．
（1）如图1：
①若∠AOE＝20°，则∠DOF＝ °；
②请写出∠DOF和∠AOE的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，∠DOF与∠AOE的数量关系是 ．
四．垂线（共8小题）
18．如图，E是直线CA上一点，∠AEF＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF，则∠GEB的度数为（ ）
A．20° B．10° C．25° D．15°
19．如图，直线AB和CD相交于O点，OE⊥CD，∠EOF＝142°，∠BOD：∠BOF＝1：3，则∠AOF的度数为（ ）
A．138° B．128° C．117° D．102°
20．如图，点C在直线AB上（A、C、B三点在一条直线上），若CE⊥CD，已知∠1＝50°，则∠2＝ °．
21．过平面上一点O作三条射线OA、OB和OC，已知OA⊥OB，∠AOC：∠AOB＝1：2，则∠BOC＝ °．
22．在同一平面内，∠BOC＝50°，OA⊥OB，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是 ．
23．已知OA⊥OC，∠AOB与∠AOC的度数之比为3：5，则∠BOC等于 ．
24．如图，点O在直线AB上，OC平分∠BOD，OE⊥OC．
（1）已知∠DOC＝26°，求∠AOE的大小；
（2）若∠BOC＝α，请判断OE是否平分∠AOD，并说明理由．
25．补充下列证明，并在括号内填上推理依据．
已知：如图，∠AOB+∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．
求证：OE⊥OF．
证明：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，（ ）
∴∠1＝∠AOB，∠2＝∠BOC． （ ）
又∵∠AOB+∠BOC＝180°，（ ）
∴∠1+∠2＝（∠AOB+∠BOC）＝ °． （ ）
∴OE⊥OF． （ ）
五．垂线段最短（共6小题）
26．如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方案中，最节省材料的是（ ）
A． B．
C． D．
27．如图，点A是直线l外一点，过点A作AB⊥l于点B．在直线l上取一点C，连结AC，使AC＝AB，点P在线段BC上，连结AP．若AB＝3，则线段AP的长不可能是（ ）
A．3.5 B．4 C．5 D．5.5
28．已知点M在∠AOB的平分线上，点M到OA边的距等于8，点N是OB边上的任意一点，则下列选项中正确的是（ ）
A．MN≥8 B．MN≤8 C．MN＞8 D．MN＜8
29．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，BC＝5．点P为边BC上一动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
30．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，AB＝13，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是 ．
31．如图所示，在△ABC中，AC＝5，BC＝6，BC边上高AD＝4，若点P在边AC上（不含端点）移动，求BP最短时的值．
六．点到直线的距离（共8小题）
32．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则点B到直线CD的距离是指（ ）
A．线段BC的长度 B．线段CD的长度
C．线段BE的长度 D．线段BD的长度
33．如图，点C到直线AB的距离是（ ）
A．线段CA的长度 B．线段CB的长度
C．线段AD的长度 D．线段CD的长度
34．点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线l的距离（ ）
A．小于2cm B．等于2cm C．不大于2cm D．等于4cm
35．如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，则点A到BC的距离是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．cm
36．下列图形中线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A． B．
C． D．
37．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，有以下描述：
①线段AB是点A、B之间的距离；
②垂线段CD的长是点C到直线AB的距离；
③图中∠CAB的余角只有两个；
④若∠ACD＝α，则∠CBE＝180°﹣α；
则判断正确的是 （填写序号）．
38．（1）已知A、B、C三点如图所示，画直线AB、线段AC、射线BC，过点C画AB的垂线段CD；
（2）已知线段AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝3cm，AC⊥BC，求C点到AB的距离．
39．如图，点M，N分别在直线AB，CD上．
（1）请在图中作出表示M，N两点间的距离的线段a，和表示点N到直线AB的距离的线段b；
（2）请比较（1）中线段a，b的大小，并说明理由．
七．平行线（共3小题）
40．下列说法中正确的是（ ）
A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
B．在同一平面内，不相交的两条线段必平行
C．两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等
D．两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行
41．（原创题）如图所示，在∠AOB内有一点P．
（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；
（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？
42．如图，在长方体中，与棱AB平行的棱有 条．
2.1两条直线的位置关系同步练习
参考答案与试题解析
一．余角和补角（共7小题）
1．如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠1＝∠3﹣90° C．∠1＝∠3+90° D．以上都不对
【解答】解：由题意得，①∠1+∠2＝90°，②∠2+∠3＝180°
②﹣①得，∠3﹣∠1＝180°﹣90°＝90°，
变形为：∠1＝∠3﹣90°，
故选：B．
2．下列说法正确的是（ ）
A．若AC＝BC，则点C为线段AB的中点
B．若，则射线OC为∠AOB平分线
C．若∠1+∠2+∠3＝180°，则这三个角互补
D．若∠α与∠β互余，则∠α的补角比∠β大90°
【解答】解：A、前提条件是点A、B、C在同一条直线上，∴不符合题意；
B、前提条件是射线OC在∠AOB的内部，∴不符合题意；
C、两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，而不是三个角，∴不符合题意；
D、∵∠α+∠β＝90°，
∴∠β＝90°﹣∠α，
∵∠α的补角：180°﹣∠α，
∴∠α的补角比∠β大：180°﹣∠α﹣（90°﹣∠α）＝90°，
∴符合题意；
故选：D．
3．如图，是一副三角板的摆放图，将一个三角板60°的角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠BAE＝20°，则∠CAD的大小是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【解答】解：由题意得：∠DAE＝90°，∠BAC＝60°，
∵∠BAE＝20°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝40°，
∵∠CAE+∠CAD＝∠DAE＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠CAE＝50°，
故选：B．
4．将一副三角板按不同位置摆放，图中∠α与∠β互余的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．图中∠α+∠β＝90°，即∠α与∠β互余，故本选项符合题意；
B．图中∠α＝∠β，不一定互余，故本选项不符合题意；
C．图中∠α+∠β＞90°，故本选项不符合题意；
D．图中∠α+∠β＝180°﹣45°+180°﹣45°＝270°，故本选项不符合题意．
故选：A．
5．已知∠α与∠β满足2∠α+3∠β＝180°，下列式子表示的角：①90°﹣∠β；②30°+∠α；③∠α+∠β；④2∠α+∠β中，其中是∠β的余角的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【解答】解：∠β的余角是90°﹣∠β，故①正确；
∵∠α与∠β满足2∠α+3∠β＝180°，
∴3∠β＝180°﹣2∠α，
∴∠β＝60°﹣∠α，
∴∠β的余角是90°﹣（60∠α）＝30°+∠α，故②错误；
∵∠α+β＝∠α+（60°﹣∠α）＝∠α+30°﹣＝30°+∠α，
∴∠α+∠β是∠β的余角，故③正确；
∵2∠α+∠β＝2∠α+60°﹣∠α＝60°+∠α≠30°+∠α，故④错误；
即正确的是①③，
故选：B．
6．如图，已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝120°，∠AOF＝∠AOE．
（1）当∠BOE＝15°时，∠COA的度数为 45° ；
（2）当∠FOE比∠BOE的余角大40°，∠COF的度数为 32° ．
【解答】解：（1）∵∠BOE＝15°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣15°＝165°．
又∵∠AOF＝∠AOE，
∴∠COA＝∠AOE﹣∠COE＝165°﹣120°＝45°．
故答案为：45°．
（2）由题意得，∠FOE＝∠BOE+40°．
∵∠AOF＝∠AOE，
∴180°﹣∠BOF＝．
∴180°﹣（∠EOF+∠BOE）＝60°﹣．
∴180°﹣（∠BOE+40°+∠BEO）＝60°﹣．
∴∠BOE＝48°．
∴∠EOF＝48°+40°＝88°．
∴∠COF＝∠COE﹣∠EOF＝120°﹣88°＝32°．
故答案为：32°．
7．如图，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC．
（1）计算求值：若∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，求∠MON的度数；
（2）拓展探究：若∠AOB＝90°，则∠MON＝ 45 °；
（3）问题解决：若∠AOB＝x°，∠MON＝y°，
①用含x的代数式表示y＝ x° ；
②如果∠AOB+∠MON＝156°，试求∠MON的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+60°＝150°，
∵ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，
∴，
∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝75°﹣30°＝45°，
（2）设∠AOC＝a°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝90°+a°，
∵ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，
∴∠NOC＝∠AOC＝a°，
∠MON＝∠BOC＝（90°+a°）＝45°+a°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝45°，
故答案为：45°；
（3）①∵∠AOB＝x°，∠MON＝y°，
∴∠BOC＝x°+y°，
∵ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，
∴∠NOC＝∠AOC＝x°，
∠MON＝∠BOC＝（x°+y°），
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝x°，
故答案为：x°；
②根据题意得，，
解，得 x＝104
∴．
二．相交线（共4小题）
8．平面内有4条直线，这4条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：如图所示：
4条直线两两相交，有3种情况：4条直线经过同一点，有一个交点；3条直线经过同一点，被第4条直线所截，有4个交点；4条直线不经过同一点，有6个交点．
故平面内两两相交的4条直线，最多有6个交点，最少有1个交点；即a＝6，b＝1，则a+b＝7．
故选：C．
9．下列结论：①平面内3条直线两两相交，共有3个交点；②在平面内，若∠AOB＝40°，∠AOC＝∠BOC，则∠AOC的度数为20°；③若线段AB＝3，BC＝2，则线段AC的长为1或5；④若∠α+∠β＝180°，且∠α＜∠β，则∠α的余角为（∠β﹣∠α）．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①平面内3条直线两两相交，有1个或3个交点；故错误；
②在平面内，若∠AOB＝40°，∠AOC＝∠BOC，则∠AOC的度数为20°或160°；故错误；
③若线段AB＝3，BC＝2，则线段AC的长为1或5；点C不一定在直线AB上，故错误；
④若∠α+∠β＝180°，且∠α＜∠β，则∠α的余角为（∠β﹣∠α），故正确．
故选：A．
10．平面内有n条直线（n≥2），这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（ ）
A．n（n﹣1） B．n2﹣n+1 C． D．
【解答】解：如图：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交有1+2个交点；
4条直线相交有1+2+3个交点；
5条直线相交有1+2+3+4个交点；
6条直线相交有1+2+3+4+5个交点；
…
n条直线相交有1+2+3+4+5+…+（n﹣1）＝个交点．
所以a＝，而b＝1，
∴a+b＝．
故选：D．
11．在平面内，若两条直线的最多交点数记为a1，三条直线的最多交点数记为a2，四条直线的最多交点数记为a3，…，依此类推，则＝ ．
【解答】如图：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交有1+2个交点；
4条直线相交有1+2+3个交点；
5条直线相交有1+2+3+4个交点；
6条直线相交有1+2+3+4+5个交点；
…
n条直线相交有
1+2+3+…+n﹣1＝．
则＝2+++…+
＝2[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
＝2×（1﹣）
＝．
故答案是：．
三．对顶角、邻补角（共6小题）
12．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据对顶角的定义（具有共同顶点，两边互为反向延长线的两个角互为对顶角），选项C符合题意．
故选：C．
13．如图，∠C＝88°＝∠D，AD与BE相交于点E，若∠DBC＝23°，则∠CAE的度数是（ ）
A．23° B．25° C．27° D．无法确定
【解答】解：在△ACE和△BDE中，由三角形内角和定理可知，
∠CAE+∠AEC+∠C＝180°＝∠DBE+∠BED+∠D，
∵∠C＝88°＝∠D，∠AEC＝∠BED，
∴∠CAE＝∠DBE＝23°，
故选：A．
14．如图，三条直线a、b、c相交于一点，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．360° B．180° C．120° D．90°
【解答】解：因为对顶角相等，所以∠1+∠2+∠3＝×360°＝180°．
故选：B．
15．如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，∠MON＝90°．若∠MOC＝35°，则∠BON的度数为 55° ．
【解答】解：∵射线OM平分∠AOC，∠MOC＝35°，
∴∠MOA＝∠MOC＝35°，
∵∠MON＝90°，
∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠MOA＝180°﹣90°﹣35°＝55°．
故选：55°．
16．已知：如图，直线AB、CD相交于点O，∠EOC＝90°，OF平分∠AOE．
（1）若∠BOC＝40°，求∠AOF的大小．
（2）若∠COF＝x°，求∠BOC的大小．
【解答】解：∵∠AOD＝∠BOC＝40°，
∵OE⊥OC于点O，
∴∠DOE＝90°，
∴∠AOE＝50°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠AOE＝25°．
（2）∵OE⊥OC于点O，
∴∠COE＝∠DOE＝90°，
∵∠COF＝x°，
∴∠EOF＝x°﹣90°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝2x°﹣180°，
∴∠AOD＝90°﹣∠AOE＝270°﹣2x°，
∴∠BOC＝∠AOD＝270°﹣2x°．
17．平面内两条直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，OB平分∠COF．
（1）如图1：
①若∠AOE＝20°，则∠DOF＝ 40° °；
②请写出∠DOF和∠AOE的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，∠DOF与∠AOE的数量关系是 ∠DOF＝2∠AOE ．
【解答】解：（1）①∵∠EOF＝90°，∠AOE＝20°，
∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝70°，
∵OB平分∠COF，
∴∠COF＝2∠BOF＝140°，
∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝40°，
故答案为：40°，
②∠DOF＝2∠AOE，
理由是：设∠AOE＝x，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝90°﹣x，
∵OB平分∠COF，
∴∠COF＝2∠BOF＝180°﹣2x，
∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝2x，
∴∠DOF＝2∠AOE；
（2）∠DOF＝2∠AOE，
理由是：设∠AOE＝y，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝90°﹣y，
∵OB平分∠COF，
∴∠COF＝2∠BOF＝180°﹣2y，
∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝2y，
∴∠DOF＝2∠AOE．
四．垂线（共8小题）
18．如图，E是直线CA上一点，∠AEF＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF，则∠GEB的度数为（ ）
A．20° B．10° C．25° D．15°
【解答】解：∵∠FEA＝40°．
∴∠CEF＝140°．
∵EB平分∠CEF．
∴，
∵GE⊥EF．
∴∠GEF＝90°．
∴∠GBE＝∠GEF﹣∠BEF＝20°．
故选：A．
19．如图，直线AB和CD相交于O点，OE⊥CD，∠EOF＝142°，∠BOD：∠BOF＝1：3，则∠AOF的度数为（ ）
A．138° B．128° C．117° D．102°
【解答】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∵∠EOF＝142°，
∴∠DOF＝142°﹣90°＝52°．
∵∠BOD：∠BOF＝1：3，
∴∠BOD＝∠DOF＝26°，
∴∠BOF＝∠BOD+∠DOF＝78°，
∵∠AOF+∠BOF＝180°，
∴∠AOF＝180°﹣∠BOF＝180°﹣78°＝102°．
故选：D．
20．如图，点C在直线AB上（A、C、B三点在一条直线上），若CE⊥CD，已知∠1＝50°，则∠2＝ 40 °．
【解答】解：∵CE⊥CD，
∴∠ECD＝90°，
∵∠1＝50°，
∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠ECD＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
故答案为：40°．
21．过平面上一点O作三条射线OA、OB和OC，已知OA⊥OB，∠AOC：∠AOB＝1：2，则∠BOC＝ 135或45 °．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵∠AOC：∠AOB＝1：2，
∴∠AOC＝45°，
如图1：∠BOC＝90°+45°＝135°，
如图2：∠BOC＝90°﹣45°＝45°，
故答案为：135或45．
22．在同一平面内，∠BOC＝50°，OA⊥OB，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是 20°或70° ．
【解答】解：∵OA⊥OB
∴∠AOB＝90°，
如图1，∵∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝90°﹣∠BOC＝40°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD＝∠COA＝20°，
∴∠BOD＝50°+20°＝70°，
如图2，∵∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝90°+∠BOC＝140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD＝∠COA＝70°，
∴∠BOD＝70°﹣50°＝20°．
故答案为：20°或70°．
23．已知OA⊥OC，∠AOB与∠AOC的度数之比为3：5，则∠BOC等于 36°或144° ．
【解答】解：∵OA⊥OC，
∴∠AOC＝90°，
∵∠AOB：∠AOC＝3：5，
∴∠AOB＝54°．
因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．
①当在∠AOC内时，∠BOC＝90°﹣54°＝36°；
②当在∠AOC外时，∠BOC＝90°+54°＝144°．
故答案是：36°或144°．
24．如图，点O在直线AB上，OC平分∠BOD，OE⊥OC．
（1）已知∠DOC＝26°，求∠AOE的大小；
（2）若∠BOC＝α，请判断OE是否平分∠AOD，并说明理由．
【解答】解：（1）∵OC平分∠BOD，
∴∠DOC＝∠BOC，
∵OE⊥OC，
∴∠DOE+∠DOC＝90°，∠BOC+∠AOE＝90°，
∴∠DOC+∠AOE＝90°，
∴∠AOE＝90°﹣∠DOC＝90°﹣26°＝64°．
（2）由（1）得：∠DOC+∠AOE＝90°，
∴∠DOE＝∠AOE，
∴OE平分∠AOD．
25．补充下列证明，并在括号内填上推理依据．
已知：如图，∠AOB+∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．
求证：OE⊥OF．
证明：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，（ 已知 ）
∴∠1＝∠AOB，∠2＝∠BOC． （ 角平分线的定义 ）
又∵∠AOB+∠BOC＝180°，（ 已知 ）
∴∠1+∠2＝（∠AOB+∠BOC）＝ 90 °． （ 等式性质 ）
∴OE⊥OF． （ 垂直的定义 ）
【解答】证明：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，（ 已知 ）
∴∠1＝∠AOB，∠2＝∠BOC．（ 角平分线的定义 ）
又∵∠AOB+∠BOC＝180°，（ 已知 ）
∴∠1+∠2＝（∠AOB+∠BOC）
＝90°． （ 等式性质 ）
∴OE⊥OF．（ 垂直的定义 ）
故答案为：已知，角平分线的定义，已知，90，等式的性质，垂直的定义．
五．垂线段最短（共6小题）
26．如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方案中，最节省材料的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的方案是：
故选：D．
27．如图，点A是直线l外一点，过点A作AB⊥l于点B．在直线l上取一点C，连结AC，使AC＝AB，点P在线段BC上，连结AP．若AB＝3，则线段AP的长不可能是（ ）
A．3.5 B．4 C．5 D．5.5
【解答】解：∵过点A作AB⊥l于点B，在直线l上取一点C，连接AC，使AC＝AB，P在线段BC上连接AP．若AB＝3，
∴AC＝5，
∴3≤AP≤5，
故AP不可能是5.5，
故选：D．
28．已知点M在∠AOB的平分线上，点M到OA边的距等于8，点N是OB边上的任意一点，则下列选项中正确的是（ ）
A．MN≥8 B．MN≤8 C．MN＞8 D．MN＜8
【解答】解：∵点M在∠AOB的平分线上，点M到OA边的距离等于8，
∴点M到OB的距离为8，
∵点N是OB边上的任意一点，
∴MN≥8．
故选：A．
29．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，BC＝5．点P为边BC上一动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
【解答】解：如图所示，当AP⊥BC时，AP最短，
∵＝，
∴AP＝＝＝，
∴AP的最小值是．
故答案为：．
30．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，AB＝13，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，AB＝13，
当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时：△ABC的面积＝•AB•PC＝•AC•BC，
∴13PC＝5×12，
∴PC＝，
故答案为：．
31．如图所示，在△ABC中，AC＝5，BC＝6，BC边上高AD＝4，若点P在边AC上（不含端点）移动，求BP最短时的值．
【解答】解：根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP最短，
∵S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BP，
∴6×4＝5BP，
∴PB＝，
即BP最短时的值为：．
六．点到直线的距离（共8小题）
32．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则点B到直线CD的距离是指（ ）
A．线段BC的长度 B．线段CD的长度
C．线段BE的长度 D．线段BD的长度
【解答】解：∵BD⊥CD于D，
∴点B到直线CD的距离是指线段BD的长度．
故选：D．
33．如图，点C到直线AB的距离是（ ）
A．线段CA的长度 B．线段CB的长度
C．线段AD的长度 D．线段CD的长度
【解答】解：因为CD⊥AB，
所以点C到直线AB的距离是线段CD的长度．
故选：D．
34．点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线l的距离（ ）
A．小于2cm B．等于2cm C．不大于2cm D．等于4cm
【解答】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离≤PA，
即点P到直线l的距离不大于2．
故选：C．
35．如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，则点A到BC的距离是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．cm
【解答】解：过D点作BC的垂线，垂足为D，由“面积法”可知，
AD×BC＝AB×AC，即AD×5＝3×4，
∴AD＝，
故选：D．
36．下列图形中线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．AD⊥BC于D，则线段AD的长表示点A到直线BC的距离，符合题意；
B．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
C．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
D．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意．
故选：A．
37．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，有以下描述：
①线段AB是点A、B之间的距离；
②垂线段CD的长是点C到直线AB的距离；
③图中∠CAB的余角只有两个；
④若∠ACD＝α，则∠CBE＝180°﹣α；
则判断正确的是 ②③④ （填写序号）．
【解答】解：①线段AB的长度是点A、B之间的距离，故①错误；
②∵CD⊥AB，
∴垂线段CD的长是点C到直线AB的距离，
故②正确；
③∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ACD＝90°，
∴图中∠CAB的余角只有两个，
故③正确；
④∵∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠DBC＝90°，
∴∠ACD＝∠DBC＝α，
∴∠CBE＝180°﹣α，
故④正确；
故答案为：②③④．
38．（1）已知A、B、C三点如图所示，画直线AB、线段AC、射线BC，过点C画AB的垂线段CD；
（2）已知线段AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝3cm，AC⊥BC，求C点到AB的距离．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵，
∴DC＝＝．
∴点C到AB的距离是．
39．如图，点M，N分别在直线AB，CD上．
（1）请在图中作出表示M，N两点间的距离的线段a，和表示点N到直线AB的距离的线段b；
（2）请比较（1）中线段a，b的大小，并说明理由．
【解答】解：（1）连接MN，过N作NE⊥AB，如图，
（2）由垂线段最短，得
MN＞NE，
即a＞b，
理由是垂线段最短．
七．平行线（共3小题）
40．下列说法中正确的是（ ）
A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
B．在同一平面内，不相交的两条线段必平行
C．两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等
D．两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行
【解答】解：（1）∵a⊥b，b⊥c，∴a∥c，故A选项错误；
（2）两条不相交的直线必平行，但是线段的长是有限的，故不相交的两条线段不一定平行，故B选项错误；
（3）只有两条平行的直线被第三条直线所截，所得的同位角才相等，故C选项错误；
（4）如图：
∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠CFE．
∵EN平分∠BEF，FM平分∠CFE，
∴∠NEF＝∠BEF，∠MFE＝∠CFE，
∴∠NEF＝∠MFE，∴EN∥FM．故D选项正确；
故选：D．
41．（原创题）如图所示，在∠AOB内有一点P．
（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；
（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？
【解答】解：（1）（2）如图所示，
（3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．
42．如图，在长方体中，与棱AB平行的棱有 3 条．
【解答】解：由图可得，长方体中所有与棱AB平行的棱有3条：EF、CD、GH．
故答案为：3．
