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初中数学第二章 相交线与平行线1 两条直线的位置关系巩固练习
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这是一份初中数学第二章 相交线与平行线1 两条直线的位置关系巩固练习，共23页。
【知识点1 对顶角与邻补角】
1.对顶角
①定义一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.
②对顶角的性质：对顶角相等.
2.邻补角
①定义有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，并且互补的两个角称为邻补角.
②邻补角的性质：邻补角互补.
【题型1 对顶角与邻补角的性质】
【例1】（2021春•甘井子区期末）如图，两条直线a，b相交，若2∠3＝3∠1，则以下各角度数正确的是（ ）
A．∠1＝72°B．∠2＝120°C．∠3＝144°D．∠4＝36°
【变式1-1】（2021春•松江区期中）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠AOE+∠DOB+∠COF等于（ ）
A．150°B．180°C．210°D．120°
【变式1-2】（2021春•雨花区校级期末）已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3是邻补角，则∠2+∠3的度数为（ ）
A．90°B．180°C．270°D．360°
【变式1-3】（2021春•莱阳市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝78°，∠DOF：∠AOD＝1：2，射线OE平分∠BOF，则∠BOC的度数为（ ）
A．30°B．40°C．45°D．48°
【知识点2 垂线】
①两条直线相交所成的四个角内有一个角是90°称这两条直线 互相垂直.
②垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的 垂线.
③它们的交点叫做 垂足.
④垂线的性质：
性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
性质2：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短.
【题型2 垂线的唯一性及画法】
【例2】（2021春•围场县期末）P为直线l上的一点，Q为l外一点，下列说法不正确的是（ ）
A．过P可画直线垂直于lB．过Q可画直线l的垂线
C．连接PQ使PQ⊥lD．过Q可画直线与l垂直
【变式2-1】（2021春•西城区校级期末）下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】（2021春•讷河市期末）在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q，并折出过点Q且与l垂直的直线．这样的直线能折出（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【变式2-3】（2021春•沈阳月考）如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两点之间，线段最短
【题型3 垂线段最短】
【例3】（2021春•白碱滩区期末）直线l外有一点P，直线l上有三点A、B、C，若PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm，那么点P到直线l的距离（ ）
A．不小于2cmB．大于2cmC．不大于2cmD．小于2cm
【变式3-1】（2021春•济阳区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（ ）
A．3B．2.5C．2.4D．2
【变式3-2】（2020秋•海淀区校级期末）如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，那么体育陈老师测量小明同学的体育成绩，应该选取线段 的长度，其依据是 ．
【变式3-3】（2020秋•通州区期末）如图，点A在直线m上，点B在直线l上，点A到直线l的距离为a，点B到直线m的距离为b，线段AB的长度为c，通过测量等方法可以判断在a，b，c三个数据中，最大的是 c ．
【知识点3 点到直线的距离】
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【题型4 点到直线的距离】
【例4】（2021春•锦江区校级期末）如图，∠ACD＝90°，CE⊥AB，垂足为E，则下面的结论中，不正确的是（ ）
A．点C到AB的垂线段是线段CD
B．CD与AC互相垂直
C．AB与CE互相垂直
D．线段CD的长度是点D到AC的距离
【变式4-1】（2021春•饶平县校级期末）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，则下面的结论中，正确的有（ ）
①BC与AC互相垂直；②AC与CD互相垂直；③点A到BC的垂线段是线段BC；④点C到AB的垂线段是线段CD；⑤线段BC是点B到AC的距离；⑥线段AC的长度是点A到BC的距离．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式4-2】（2020春•思明区校级期末）如图，AC⊥BF，CD⊥AB于点D，点E在线段BF上，则下列说法错误的是（ ）
A．线段CD的长度是点C到直线AB的距离
B．线段CF的长度是点C到直线BF的距离
C．线段EF的长度是点E到直线AC的距离
D．线段BE的长度是点B到直线CD的距离
【变式4-3】（2021春•潜山市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，AB＝3，BC＝4，AC＝5．下列结论正确的有 ．（写出所有正确结论的序号）
①∠BDC＝90°；②∠C＝∠ABD；③点A到直线BD的距离为线段AB的长度；④点B到直线AC的距离为125．
【知识点4 余角和补角】
（1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．
类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
（2）性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．
【题型5 余角与补角的定义】
【例5】（2021春•金山区期末）如果一个角的补角的2倍减去这个角的余角恰好等于这个角的4倍，求这个角的度数．
【变式5-1】（2021•寻乌县模拟）已知∠A是锐角，∠A与∠B互补，∠A与∠C互余，则∠B﹣∠C的值等于（ ）
A．45°B．60°C．90°D．180°
【变式5-2】（2020秋•麦积区期末）一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，求这个角以及它的余角和补角的度数．
【变式5-3】（2021秋•沂水县期末）如图，已知∠AOB＝130°，画∠AOB的平分线OC，画射线OD，使∠COD和∠AOC互余，并求∠BOD的度数．
【题型6 相交线中的角度计算】
【例6】（2021秋•双阳区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OC平分∠BOE，OF⊥CD，垂足为点O．
（1）写出∠AOF的一个余角和一个补角．
（2）若∠BOE＝60°，求∠AOD的度数．
（3）∠AOF与∠EOF相等吗？说明理由．
【变式6-1】（2020秋•和平区期末）平面内两条直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，OB平分∠COF．
（1）如图1：
①若∠AOE＝20°，则∠DOF＝ °；
②请写出∠DOF和∠AOE的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，∠DOF与∠AOE的数量关系是 ．
【变式6-2】（2021秋•南岗区校级月考）已知，O是直线AB上的一点，OC⊥OE．
（1）如图1，若∠COA＝34°，求∠BOE的度数．
（2）如图2，当射线OC在直线AB下方时，OF平分∠AOE，∠BOE＝130°，求∠COF的度数．
（3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE内部作射线OM，使∠COM+1710∠AOE＝2∠BOM+∠FOM，求∠BOM的度数．
【变式6-3】（2020秋•滨海县期末）已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠BOC＝110°．
（1）如图1，求∠AOC的度数；
（2）如图2，过点O在直线AB下方作射线OD，使OD⊥OC，作∠AOC的角平分线OM，求∠MOD的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，作射线OP，若∠BOP与∠AOM互余，求∠COP的度数．
专题2.1 两条直线的位置关系-重难点题型
【北师大版】
【知识点1 对顶角与邻补角】
1.对顶角
①定义一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.
②对顶角的性质：对顶角相等.
2.邻补角
①定义有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，并且互补的两个角称为邻补角.
②邻补角的性质：邻补角互补.
【题型1 对顶角与邻补角的性质】
【例1】（2021春•甘井子区期末）如图，两条直线a，b相交，若2∠3＝3∠1，则以下各角度数正确的是（ ）
A．∠1＝72°B．∠2＝120°C．∠3＝144°D．∠4＝36°
【分析】先用∠1表示∠3，再根据平角定义得∠1的度数，然后根据对顶角和邻补角得其它几个角的度数可得答案．
【解答】解：∵2∠3＝3∠1，
∴∠3=32∠1，
∵∠3+∠1＝180°，
∴32∠1+∠1＝180°，
∴∠1＝72°，
∴∠3＝∠2＝180°﹣72°＝108°，
∠1＝∠4＝72°，
故选：A．
【变式1-1】（2021春•松江区期中）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠AOE+∠DOB+∠COF等于（ ）
A．150°B．180°C．210°D．120°
【分析】根据对顶角相等和周角的定义求三个角的和．
【解答】解：∵∠COF与∠DOE是对顶角，
∴∠COF＝∠DOE，
∴∠AOE+∠DOB+∠COF＝∠AOE+∠DOB+∠COF=12×360°＝180°．
故选：B．
【变式1-2】（2021春•雨花区校级期末）已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3是邻补角，则∠2+∠3的度数为（ ）
A．90°B．180°C．270°D．360°
【分析】根据对顶角、邻补角的概念和性质进行判断即可．
【解答】解：∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
∵∠1与∠3是邻补角，
∴∠1+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝180°．
故选：B．
【变式1-3】（2021春•莱阳市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝78°，∠DOF：∠AOD＝1：2，射线OE平分∠BOF，则∠BOC的度数为（ ）
A．30°B．40°C．45°D．48°
【分析】设∠DOF＝x，根据邻补角的概念用x表示出∠BOF，根据角平分线的定义求出∠FOE，根据题意列式求出x，根据对顶角相等解答即可．
【解答】解：设∠DOF＝x，则∠AOD＝2x，
∴∠AOF＝3x，
∴∠BOF＝180°﹣3x，
∵OE平分∠BOF，
∴∠FOE=12∠BOF＝90°−32x，
∵∠DOE＝78°，
∴∠DOF+∠FOE＝78°，
即x+90°−32x＝78°，
解得：x＝24°，
则∠AOD＝2x＝48°，
∴∠BOC＝∠AOD＝48°，
故选：D．
【知识点2 垂线】
①两条直线相交所成的四个角内有一个角是90°称这两条直线 互相垂直.
②垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的 垂线.
③它们的交点叫做 垂足.
④垂线的性质：
性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
性质2：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短.
【题型2 垂线的唯一性及画法】
【例2】（2021春•围场县期末）P为直线l上的一点，Q为l外一点，下列说法不正确的是（ ）
A．过P可画直线垂直于lB．过Q可画直线l的垂线
C．连接PQ使PQ⊥lD．过Q可画直线与l垂直
【分析】直接利用垂线的定义结合垂线作法得出答案．
【解答】解：A、∵P为直线l上的一点，Q为l外一点，∴过P可画直线垂直于l，正确，不合题意；
B、∵P为直线l上的一点，Q为l外一点，∴过Q可画直线l的垂线，正确，不合题意；
C、连接PQ不能保证PQ⊥l，故错误，符合题意；
D、∵Q为l外一点，∴可以过Q可画直线与l垂直，正确，不合题意；
故选：C．
【变式2-1】（2021春•西城区校级期末）下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可．
【解答】解：根据分析可得D的画法正确，
故选：D．
【变式2-2】（2021春•讷河市期末）在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q，并折出过点Q且与l垂直的直线．这样的直线能折出（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【分析】根据垂线的基本性质：过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直，容易判断．
【解答】解：根据垂线的性质，这样的直线只能作一条，
故选：B．
【变式2-3】（2021春•沈阳月考）如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两点之间，线段最短
【分析】利用垂线的性质解答．
【解答】解：如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：C．
【题型3 垂线段最短】
【例3】（2021春•白碱滩区期末）直线l外有一点P，直线l上有三点A、B、C，若PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm，那么点P到直线l的距离（ ）
A．不小于2cmB．大于2cmC．不大于2cmD．小于2cm
【分析】由点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离，由垂线段最短可知点P到直线l的距离不大于2cm，进而求解．
【解答】解：∵PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm，
∴PB最短，
∵直线外一点与直线上点的连线中，垂线段最短，
∴P到直线l的距离不大于2cm，
故选：C．
【变式3-1】（2021春•济阳区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（ ）
A．3B．2.5C．2.4D．2
【分析】当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时：△ABC的面积=12•AB•PC=12•AC•BC，
∴5PC＝3×4，
∴PC＝2.4，
故选：C．
【变式3-2】（2020秋•海淀区校级期末）如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，那么体育陈老师测量小明同学的体育成绩，应该选取线段 CD 的长度，其依据是 垂线段最短 ．
【分析】利用垂线段最短及跳远比赛的规则即可求解．
【解答】解：小明同学的体育成绩，应该选取线段CD的长度．依据为：垂线段最短．
故答案为：CD，垂线段最短．
【变式3-3】（2020秋•通州区期末）如图，点A在直线m上，点B在直线l上，点A到直线l的距离为a，点B到直线m的距离为b，线段AB的长度为c，通过测量等方法可以判断在a，b，c三个数据中，最大的是 c ．
【分析】根据垂线段的性质，即可得到AC＜AB，BD＜AB，进而得出a＜c，b＜c．
【解答】解：如图所示，∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴AC＜AB，BD＜AB，
即a＜c，b＜c，
∴在a，b，c三个数据中，最大的是c，
故答案为：c．
【知识点3 点到直线的距离】
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【题型4 点到直线的距离】
【例4】（2021春•锦江区校级期末）如图，∠ACD＝90°，CE⊥AB，垂足为E，则下面的结论中，不正确的是（ ）
A．点C到AB的垂线段是线段CD
B．CD与AC互相垂直
C．AB与CE互相垂直
D．线段CD的长度是点D到AC的距离
【分析】根据点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵CE⊥AB，
∴点C到AB的垂线段是线段CE，原说法错误，故本选项符合题意；
B、∵∠ACD＝90°，
∴CD⊥AC，
即CD与AC互相垂直，原说法正确，故本选项不符合题意；
C、∵CE⊥AB，垂足为E，
∴AB与CE互相垂直，原说法正确，故本选项不符合题意；
D、∵∠ACD＝90°，
∴CD⊥AC，
∴线段CD的长度是点D到AC的距离，原说法正确，故本选项不符合题意．
故选：A．
【变式4-1】（2021春•饶平县校级期末）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，则下面的结论中，正确的有（ ）
①BC与AC互相垂直；②AC与CD互相垂直；③点A到BC的垂线段是线段BC；④点C到AB的垂线段是线段CD；⑤线段BC是点B到AC的距离；⑥线段AC的长度是点A到BC的距离．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，故①正确；
AC与DC相交不垂直，故②错误；
点A到BC的垂线段是线段AC，故③错误；
点C到AB的垂线段是线段CD，故④正确；
线段BC的长度是点B到AC的距离，故⑤错误；
线段AC的长度是点A到BC的距离，故⑥正确．
故选：B．
【变式4-2】（2020春•思明区校级期末）如图，AC⊥BF，CD⊥AB于点D，点E在线段BF上，则下列说法错误的是（ ）
A．线段CD的长度是点C到直线AB的距离
B．线段CF的长度是点C到直线BF的距离
C．线段EF的长度是点E到直线AC的距离
D．线段BE的长度是点B到直线CD的距离
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
【解答】解：A．线段CD的长度是点C到直线AB的距离，故本选项正确；
B．线段CF的长度是点C到直线BF的距离，故本选项正确；
C．线段EF的长度是点E到直线AC的距离，故本选项正确；
D．线段BD的长度是点B到直线CD的距离，故本选项错误；
故选：D．
【变式4-3】（2021春•潜山市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，AB＝3，BC＝4，AC＝5．下列结论正确的有 ．（写出所有正确结论的序号）
①∠BDC＝90°；②∠C＝∠ABD；③点A到直线BD的距离为线段AB的长度；④点B到直线AC的距离为125．
【分析】①根据垂直的定义即可求解；
②根据余角的性质即可求解；
③根据点到直线的距离的定义即可求解；
④根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：①∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，故①正确；
②∵∠ABD+∠A＝90°，∠A+∠C＝90°，
∴∠C＝∠ABD，故②正确；
③点A到直线BD的距离为线段AD的长度，故③错误；
④点B到直线AC的距离为12×3×4×2÷5=125，故④正确．
故答案为：①②④．
【知识点4 余角和补角】
（1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．
类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
（2）性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．
【题型5 余角与补角的定义】
【例5】（2021春•金山区期末）如果一个角的补角的2倍减去这个角的余角恰好等于这个角的4倍，求这个角的度数．
【解题思路】利用题中的关系“一个角的补角的2倍减去这个角的余角恰好等于这个角的4倍”，作为相等关系列方程求解即可．
【解答过程】解：设这个角的度数为x°，
2（180﹣x）﹣（90﹣x）＝4x．
解得x＝54．
所以这个角的度数是54°．
【变式5-1】（2021•寻乌县模拟）已知∠A是锐角，∠A与∠B互补，∠A与∠C互余，则∠B﹣∠C的值等于（ ）
A．45°B．60°C．90°D．180°
【解题思路】根据互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，结合题意即可得出答案．
【解答过程】解：由题意得：
∠A+∠B＝180°，∠A+∠C＝90°，
两式相减可得：∠B﹣∠C＝90°．
故选：C．
【变式5-2】（2020秋•麦积区期末）一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，求这个角以及它的余角和补角的度数．
【解题思路】设这个角为x°，则得出方程180﹣x+10＝3（90﹣x），求出即可．
【解答过程】解：设这个角为x°，
则180﹣x+10＝3（90﹣x），
解得：x＝40，
即这个角的度数是40°，
即这个角的余角是90°﹣40°＝50°，补角是180°﹣40°＝140°．
【变式5-3】（2021秋•沂水县期末）如图，已知∠AOB＝130°，画∠AOB的平分线OC，画射线OD，使∠COD和∠AOC互余，并求∠BOD的度数．
【解题思路】先画∠AOB的平分线OC，及满足条件的射线OD，而射线OD有两个位置，如图1，图2，由角平分线的定义及余角的定义可求解∠COD的度数，图1可由∠BOD＝∠BOC﹣∠COD，图2可由∠BOD＝∠BOC+∠COD计算求解．
【解答过程】解：如图：
因为∠AOB＝130°，OC平分∠AOB，
所以∠BOC＝∠AOC=12∠AOB＝65°，
因为∠COD和∠AOC互余，
所以∠COD＝90°﹣∠AOC＝25°，
所以∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝65°﹣25°＝40°（图1），
或∠BOD＝∠BOC+∠COD＝65°+25°＝90°（图2）．
【题型6 相交线中的角度计算】
【例6】（2021秋•双阳区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OC平分∠BOE，OF⊥CD，垂足为点O．
（1）写出∠AOF的一个余角和一个补角．
（2）若∠BOE＝60°，求∠AOD的度数．
（3）∠AOF与∠EOF相等吗？说明理由．
【分析】（1）由垂直定义的∠FOC＝∠FOD＝90°，再根据平角定义推得，余角的定义得结论；
（2）根据角平分线的定义，对顶角相等求出∠AOD的度数；
（3）根据等角的余角相等得出结论．
【解答】解：（1）∵OF⊥CD，
∴∠FOC＝∠FOD＝90°，
∵∠AOF+∠FOC+COB＝180°，
∴∠AOF+∠COB＝90°，
∴∠COB是∠AOF的余角；
∴∠BOF是∠AOF的补角；
（2）∵OC平分∠BOE，∠BOE＝60°，
∴∠BOC＝∠EOC=12∠BOE＝30°，
∴∠AOD＝∠BOC＝30°，
（3）相等，
∵∠AOD+∠AOF＝∠EOF+∠EOC＝90°，
∠BOC＝∠EOC，∠AOD＝∠BOC，
∴∠∠AOF＝∠EOF．
【变式6-1】（2020秋•和平区期末）平面内两条直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，OB平分∠COF．
（1）如图1：
①若∠AOE＝20°，则∠DOF＝ 40° °；
②请写出∠DOF和∠AOE的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，∠DOF与∠AOE的数量关系是 ∠DOF＝2∠AOE ．
【分析】（1）①先利用平角求出∠BOF，再利用角平分线的定义求出∠FOC即可，
②设∠AOE＝x，然后按照①的思路表示∠DOF即可；
（2）设∠AOE＝y，然后按照上题的思路表示∠DOF即可．
【解答】解：（1）①∵∠EOF＝90°，∠AOE＝20°，
∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝70°，
∵OB平分∠COF，
∴∠COF＝2∠BOF＝140°，
∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝40°，
故答案为：40°，
②∠DOF＝2∠AOE，
理由是：设∠AOE＝x，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝90°﹣x，
∵OB平分∠COF，
∴∠COF＝2∠BOF＝180°﹣2x，
∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝2x，
∴∠DOF＝2∠AOE；
（2）∠DOF＝2∠AOE，
理由是：设∠AOE＝y，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝90°﹣y，
∵OB平分∠COF，
∴∠COF＝2∠BOF＝180°﹣2y，
∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝2y，
∴∠DOF＝2∠AOE．
【变式6-2】（2021秋•南岗区校级月考）已知，O是直线AB上的一点，OC⊥OE．
（1）如图1，若∠COA＝34°，求∠BOE的度数．
（2）如图2，当射线OC在直线AB下方时，OF平分∠AOE，∠BOE＝130°，求∠COF的度数．
（3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE内部作射线OM，使∠COM+1710∠AOE＝2∠BOM+∠FOM，求∠BOM的度数．
【分析】（1）根据垂直的概念求得∠COE＝90°，然后根据角的和差列式计算；
（2）根据邻补角的概念求得∠AOE的度数，然后根据角平分线的概念求得∠EOF的度数，从而利用角的和差列式计算求解；
（3）设∠BOM＝x°，然后根据角的和差及倍数关系列方程求解．
【解答】解：（1）∵OC⊥OE，
∴∠COE＝90°，
又∵∠COA＝34°，
∴∠BOE＝180°﹣∠COE﹣∠COA＝180°﹣90°﹣34°＝56°，
答：∠BOE的度数为56°；
（2）∵OF平分∠AOE，∠BOE＝130°，
∴∠EOF＝∠AOF=12∠AOE=12（180°﹣∠BOE）=12×（180°﹣130°）＝25°，
∴∠COF＝∠COE﹣∠EOF＝90°﹣25°＝65°，
答：∠COF的度数为65°；
（3）设∠BOM＝x°，
∴∠FOM＝180°﹣∠AOF﹣∠BOM＝（155﹣x）°，
∵∠AOE＝180°﹣∠BOE＝50°，
∴∠AOC＝90°﹣∠AOE＝40°，
∴∠COM＝180°+∠AOC﹣∠BOM＝（220﹣x）°，
由题意可得：（220﹣x）°+1710×50°＝2x°+（155﹣x）°，
解得：x＝75，
答：∠BOM的度数为75°．
【变式6-3】（2020秋•滨海县期末）已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠BOC＝110°．
（1）如图1，求∠AOC的度数；
（2）如图2，过点O在直线AB下方作射线OD，使OD⊥OC，作∠AOC的角平分线OM，求∠MOD的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，作射线OP，若∠BOP与∠AOM互余，求∠COP的度数．
【分析】（1）根据补角的概念即可得出答案；
（2）先根据角平分线求出∠AOM的大小，再根据余角的概念求出∠AOD的大小，即可求出∠MOD的大小；
（3）分OP在直线AB的上方和下方两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝110°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣110°＝70°；
（2）由（1）知∠AOC＝70°，
∵OD⊥OC，
∴∠COD＝90°，
∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝20°，
∵OM是∠AOC的平分线，
∴∠AOM=12∠AOC=12×70°＝35°，
∴∠MOD＝∠AOM+∠AOD＝35°+20°＝55°；
（3）由（2）知∠AOM＝35°，
∵∠BOP与∠AOM互余，
∴∠BOP+∠AOM＝90°，
∴∠BOP＝90°﹣∠AOM＝90°﹣35°＝55°，
①当射线OP在∠BOC内部时，
∠COP＝∠BOC﹣∠BOP＝110°﹣55°＝55°，
②当射线OP在∠BOC外部时，
∠COP＝∠BOC+∠BOP＝110°+55°＝165°，
综上所述，∠COP的度数为55°或165°．
【知识点1 对顶角与邻补角】
1.对顶角
①定义一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.
②对顶角的性质：对顶角相等.
2.邻补角
①定义有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，并且互补的两个角称为邻补角.
②邻补角的性质：邻补角互补.
【题型1 对顶角与邻补角的性质】
【例1】（2021春•甘井子区期末）如图，两条直线a，b相交，若2∠3＝3∠1，则以下各角度数正确的是（ ）
A．∠1＝72°B．∠2＝120°C．∠3＝144°D．∠4＝36°
【变式1-1】（2021春•松江区期中）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠AOE+∠DOB+∠COF等于（ ）
A．150°B．180°C．210°D．120°
【变式1-2】（2021春•雨花区校级期末）已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3是邻补角，则∠2+∠3的度数为（ ）
A．90°B．180°C．270°D．360°
【变式1-3】（2021春•莱阳市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝78°，∠DOF：∠AOD＝1：2，射线OE平分∠BOF，则∠BOC的度数为（ ）
A．30°B．40°C．45°D．48°
【知识点2 垂线】
①两条直线相交所成的四个角内有一个角是90°称这两条直线 互相垂直.
②垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的 垂线.
③它们的交点叫做 垂足.
④垂线的性质：
性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
性质2：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短.
【题型2 垂线的唯一性及画法】
【例2】（2021春•围场县期末）P为直线l上的一点，Q为l外一点，下列说法不正确的是（ ）
A．过P可画直线垂直于lB．过Q可画直线l的垂线
C．连接PQ使PQ⊥lD．过Q可画直线与l垂直
【变式2-1】（2021春•西城区校级期末）下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】（2021春•讷河市期末）在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q，并折出过点Q且与l垂直的直线．这样的直线能折出（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【变式2-3】（2021春•沈阳月考）如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两点之间，线段最短
【题型3 垂线段最短】
【例3】（2021春•白碱滩区期末）直线l外有一点P，直线l上有三点A、B、C，若PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm，那么点P到直线l的距离（ ）
A．不小于2cmB．大于2cmC．不大于2cmD．小于2cm
【变式3-1】（2021春•济阳区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（ ）
A．3B．2.5C．2.4D．2
【变式3-2】（2020秋•海淀区校级期末）如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，那么体育陈老师测量小明同学的体育成绩，应该选取线段 的长度，其依据是 ．
【变式3-3】（2020秋•通州区期末）如图，点A在直线m上，点B在直线l上，点A到直线l的距离为a，点B到直线m的距离为b，线段AB的长度为c，通过测量等方法可以判断在a，b，c三个数据中，最大的是 c ．
【知识点3 点到直线的距离】
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【题型4 点到直线的距离】
【例4】（2021春•锦江区校级期末）如图，∠ACD＝90°，CE⊥AB，垂足为E，则下面的结论中，不正确的是（ ）
A．点C到AB的垂线段是线段CD
B．CD与AC互相垂直
C．AB与CE互相垂直
D．线段CD的长度是点D到AC的距离
【变式4-1】（2021春•饶平县校级期末）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，则下面的结论中，正确的有（ ）
①BC与AC互相垂直；②AC与CD互相垂直；③点A到BC的垂线段是线段BC；④点C到AB的垂线段是线段CD；⑤线段BC是点B到AC的距离；⑥线段AC的长度是点A到BC的距离．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式4-2】（2020春•思明区校级期末）如图，AC⊥BF，CD⊥AB于点D，点E在线段BF上，则下列说法错误的是（ ）
A．线段CD的长度是点C到直线AB的距离
B．线段CF的长度是点C到直线BF的距离
C．线段EF的长度是点E到直线AC的距离
D．线段BE的长度是点B到直线CD的距离
【变式4-3】（2021春•潜山市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，AB＝3，BC＝4，AC＝5．下列结论正确的有 ．（写出所有正确结论的序号）
①∠BDC＝90°；②∠C＝∠ABD；③点A到直线BD的距离为线段AB的长度；④点B到直线AC的距离为125．
【知识点4 余角和补角】
（1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．
类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
（2）性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．
【题型5 余角与补角的定义】
【例5】（2021春•金山区期末）如果一个角的补角的2倍减去这个角的余角恰好等于这个角的4倍，求这个角的度数．
【变式5-1】（2021•寻乌县模拟）已知∠A是锐角，∠A与∠B互补，∠A与∠C互余，则∠B﹣∠C的值等于（ ）
A．45°B．60°C．90°D．180°
【变式5-2】（2020秋•麦积区期末）一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，求这个角以及它的余角和补角的度数．
【变式5-3】（2021秋•沂水县期末）如图，已知∠AOB＝130°，画∠AOB的平分线OC，画射线OD，使∠COD和∠AOC互余，并求∠BOD的度数．
【题型6 相交线中的角度计算】
【例6】（2021秋•双阳区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OC平分∠BOE，OF⊥CD，垂足为点O．
（1）写出∠AOF的一个余角和一个补角．
（2）若∠BOE＝60°，求∠AOD的度数．
（3）∠AOF与∠EOF相等吗？说明理由．
【变式6-1】（2020秋•和平区期末）平面内两条直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，OB平分∠COF．
（1）如图1：
①若∠AOE＝20°，则∠DOF＝ °；
②请写出∠DOF和∠AOE的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，∠DOF与∠AOE的数量关系是 ．
【变式6-2】（2021秋•南岗区校级月考）已知，O是直线AB上的一点，OC⊥OE．
（1）如图1，若∠COA＝34°，求∠BOE的度数．
（2）如图2，当射线OC在直线AB下方时，OF平分∠AOE，∠BOE＝130°，求∠COF的度数．
（3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE内部作射线OM，使∠COM+1710∠AOE＝2∠BOM+∠FOM，求∠BOM的度数．
【变式6-3】（2020秋•滨海县期末）已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠BOC＝110°．
（1）如图1，求∠AOC的度数；
（2）如图2，过点O在直线AB下方作射线OD，使OD⊥OC，作∠AOC的角平分线OM，求∠MOD的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，作射线OP，若∠BOP与∠AOM互余，求∠COP的度数．
专题2.1 两条直线的位置关系-重难点题型
【北师大版】
【知识点1 对顶角与邻补角】
1.对顶角
①定义一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.
②对顶角的性质：对顶角相等.
2.邻补角
①定义有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，并且互补的两个角称为邻补角.
②邻补角的性质：邻补角互补.
【题型1 对顶角与邻补角的性质】
【例1】（2021春•甘井子区期末）如图，两条直线a，b相交，若2∠3＝3∠1，则以下各角度数正确的是（ ）
A．∠1＝72°B．∠2＝120°C．∠3＝144°D．∠4＝36°
【分析】先用∠1表示∠3，再根据平角定义得∠1的度数，然后根据对顶角和邻补角得其它几个角的度数可得答案．
【解答】解：∵2∠3＝3∠1，
∴∠3=32∠1，
∵∠3+∠1＝180°，
∴32∠1+∠1＝180°，
∴∠1＝72°，
∴∠3＝∠2＝180°﹣72°＝108°，
∠1＝∠4＝72°，
故选：A．
【变式1-1】（2021春•松江区期中）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠AOE+∠DOB+∠COF等于（ ）
A．150°B．180°C．210°D．120°
【分析】根据对顶角相等和周角的定义求三个角的和．
【解答】解：∵∠COF与∠DOE是对顶角，
∴∠COF＝∠DOE，
∴∠AOE+∠DOB+∠COF＝∠AOE+∠DOB+∠COF=12×360°＝180°．
故选：B．
【变式1-2】（2021春•雨花区校级期末）已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3是邻补角，则∠2+∠3的度数为（ ）
A．90°B．180°C．270°D．360°
【分析】根据对顶角、邻补角的概念和性质进行判断即可．
【解答】解：∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
∵∠1与∠3是邻补角，
∴∠1+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝180°．
故选：B．
【变式1-3】（2021春•莱阳市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝78°，∠DOF：∠AOD＝1：2，射线OE平分∠BOF，则∠BOC的度数为（ ）
A．30°B．40°C．45°D．48°
【分析】设∠DOF＝x，根据邻补角的概念用x表示出∠BOF，根据角平分线的定义求出∠FOE，根据题意列式求出x，根据对顶角相等解答即可．
【解答】解：设∠DOF＝x，则∠AOD＝2x，
∴∠AOF＝3x，
∴∠BOF＝180°﹣3x，
∵OE平分∠BOF，
∴∠FOE=12∠BOF＝90°−32x，
∵∠DOE＝78°，
∴∠DOF+∠FOE＝78°，
即x+90°−32x＝78°，
解得：x＝24°，
则∠AOD＝2x＝48°，
∴∠BOC＝∠AOD＝48°，
故选：D．
【知识点2 垂线】
①两条直线相交所成的四个角内有一个角是90°称这两条直线 互相垂直.
②垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的 垂线.
③它们的交点叫做 垂足.
④垂线的性质：
性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
性质2：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短.
【题型2 垂线的唯一性及画法】
【例2】（2021春•围场县期末）P为直线l上的一点，Q为l外一点，下列说法不正确的是（ ）
A．过P可画直线垂直于lB．过Q可画直线l的垂线
C．连接PQ使PQ⊥lD．过Q可画直线与l垂直
【分析】直接利用垂线的定义结合垂线作法得出答案．
【解答】解：A、∵P为直线l上的一点，Q为l外一点，∴过P可画直线垂直于l，正确，不合题意；
B、∵P为直线l上的一点，Q为l外一点，∴过Q可画直线l的垂线，正确，不合题意；
C、连接PQ不能保证PQ⊥l，故错误，符合题意；
D、∵Q为l外一点，∴可以过Q可画直线与l垂直，正确，不合题意；
故选：C．
【变式2-1】（2021春•西城区校级期末）下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可．
【解答】解：根据分析可得D的画法正确，
故选：D．
【变式2-2】（2021春•讷河市期末）在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q，并折出过点Q且与l垂直的直线．这样的直线能折出（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【分析】根据垂线的基本性质：过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直，容易判断．
【解答】解：根据垂线的性质，这样的直线只能作一条，
故选：B．
【变式2-3】（2021春•沈阳月考）如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两点之间，线段最短
【分析】利用垂线的性质解答．
【解答】解：如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：C．
【题型3 垂线段最短】
【例3】（2021春•白碱滩区期末）直线l外有一点P，直线l上有三点A、B、C，若PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm，那么点P到直线l的距离（ ）
A．不小于2cmB．大于2cmC．不大于2cmD．小于2cm
【分析】由点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离，由垂线段最短可知点P到直线l的距离不大于2cm，进而求解．
【解答】解：∵PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm，
∴PB最短，
∵直线外一点与直线上点的连线中，垂线段最短，
∴P到直线l的距离不大于2cm，
故选：C．
【变式3-1】（2021春•济阳区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（ ）
A．3B．2.5C．2.4D．2
【分析】当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时：△ABC的面积=12•AB•PC=12•AC•BC，
∴5PC＝3×4，
∴PC＝2.4，
故选：C．
【变式3-2】（2020秋•海淀区校级期末）如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，那么体育陈老师测量小明同学的体育成绩，应该选取线段 CD 的长度，其依据是 垂线段最短 ．
【分析】利用垂线段最短及跳远比赛的规则即可求解．
【解答】解：小明同学的体育成绩，应该选取线段CD的长度．依据为：垂线段最短．
故答案为：CD，垂线段最短．
【变式3-3】（2020秋•通州区期末）如图，点A在直线m上，点B在直线l上，点A到直线l的距离为a，点B到直线m的距离为b，线段AB的长度为c，通过测量等方法可以判断在a，b，c三个数据中，最大的是 c ．
【分析】根据垂线段的性质，即可得到AC＜AB，BD＜AB，进而得出a＜c，b＜c．
【解答】解：如图所示，∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴AC＜AB，BD＜AB，
即a＜c，b＜c，
∴在a，b，c三个数据中，最大的是c，
故答案为：c．
【知识点3 点到直线的距离】
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【题型4 点到直线的距离】
【例4】（2021春•锦江区校级期末）如图，∠ACD＝90°，CE⊥AB，垂足为E，则下面的结论中，不正确的是（ ）
A．点C到AB的垂线段是线段CD
B．CD与AC互相垂直
C．AB与CE互相垂直
D．线段CD的长度是点D到AC的距离
【分析】根据点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵CE⊥AB，
∴点C到AB的垂线段是线段CE，原说法错误，故本选项符合题意；
B、∵∠ACD＝90°，
∴CD⊥AC，
即CD与AC互相垂直，原说法正确，故本选项不符合题意；
C、∵CE⊥AB，垂足为E，
∴AB与CE互相垂直，原说法正确，故本选项不符合题意；
D、∵∠ACD＝90°，
∴CD⊥AC，
∴线段CD的长度是点D到AC的距离，原说法正确，故本选项不符合题意．
故选：A．
【变式4-1】（2021春•饶平县校级期末）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，则下面的结论中，正确的有（ ）
①BC与AC互相垂直；②AC与CD互相垂直；③点A到BC的垂线段是线段BC；④点C到AB的垂线段是线段CD；⑤线段BC是点B到AC的距离；⑥线段AC的长度是点A到BC的距离．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，故①正确；
AC与DC相交不垂直，故②错误；
点A到BC的垂线段是线段AC，故③错误；
点C到AB的垂线段是线段CD，故④正确；
线段BC的长度是点B到AC的距离，故⑤错误；
线段AC的长度是点A到BC的距离，故⑥正确．
故选：B．
【变式4-2】（2020春•思明区校级期末）如图，AC⊥BF，CD⊥AB于点D，点E在线段BF上，则下列说法错误的是（ ）
A．线段CD的长度是点C到直线AB的距离
B．线段CF的长度是点C到直线BF的距离
C．线段EF的长度是点E到直线AC的距离
D．线段BE的长度是点B到直线CD的距离
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
【解答】解：A．线段CD的长度是点C到直线AB的距离，故本选项正确；
B．线段CF的长度是点C到直线BF的距离，故本选项正确；
C．线段EF的长度是点E到直线AC的距离，故本选项正确；
D．线段BD的长度是点B到直线CD的距离，故本选项错误；
故选：D．
【变式4-3】（2021春•潜山市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，AB＝3，BC＝4，AC＝5．下列结论正确的有 ．（写出所有正确结论的序号）
①∠BDC＝90°；②∠C＝∠ABD；③点A到直线BD的距离为线段AB的长度；④点B到直线AC的距离为125．
【分析】①根据垂直的定义即可求解；
②根据余角的性质即可求解；
③根据点到直线的距离的定义即可求解；
④根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：①∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，故①正确；
②∵∠ABD+∠A＝90°，∠A+∠C＝90°，
∴∠C＝∠ABD，故②正确；
③点A到直线BD的距离为线段AD的长度，故③错误；
④点B到直线AC的距离为12×3×4×2÷5=125，故④正确．
故答案为：①②④．
【知识点4 余角和补角】
（1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．
类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
（2）性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．
【题型5 余角与补角的定义】
【例5】（2021春•金山区期末）如果一个角的补角的2倍减去这个角的余角恰好等于这个角的4倍，求这个角的度数．
【解题思路】利用题中的关系“一个角的补角的2倍减去这个角的余角恰好等于这个角的4倍”，作为相等关系列方程求解即可．
【解答过程】解：设这个角的度数为x°，
2（180﹣x）﹣（90﹣x）＝4x．
解得x＝54．
所以这个角的度数是54°．
【变式5-1】（2021•寻乌县模拟）已知∠A是锐角，∠A与∠B互补，∠A与∠C互余，则∠B﹣∠C的值等于（ ）
A．45°B．60°C．90°D．180°
【解题思路】根据互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，结合题意即可得出答案．
【解答过程】解：由题意得：
∠A+∠B＝180°，∠A+∠C＝90°，
两式相减可得：∠B﹣∠C＝90°．
故选：C．
【变式5-2】（2020秋•麦积区期末）一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，求这个角以及它的余角和补角的度数．
【解题思路】设这个角为x°，则得出方程180﹣x+10＝3（90﹣x），求出即可．
【解答过程】解：设这个角为x°，
则180﹣x+10＝3（90﹣x），
解得：x＝40，
即这个角的度数是40°，
即这个角的余角是90°﹣40°＝50°，补角是180°﹣40°＝140°．
【变式5-3】（2021秋•沂水县期末）如图，已知∠AOB＝130°，画∠AOB的平分线OC，画射线OD，使∠COD和∠AOC互余，并求∠BOD的度数．
【解题思路】先画∠AOB的平分线OC，及满足条件的射线OD，而射线OD有两个位置，如图1，图2，由角平分线的定义及余角的定义可求解∠COD的度数，图1可由∠BOD＝∠BOC﹣∠COD，图2可由∠BOD＝∠BOC+∠COD计算求解．
【解答过程】解：如图：
因为∠AOB＝130°，OC平分∠AOB，
所以∠BOC＝∠AOC=12∠AOB＝65°，
因为∠COD和∠AOC互余，
所以∠COD＝90°﹣∠AOC＝25°，
所以∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝65°﹣25°＝40°（图1），
或∠BOD＝∠BOC+∠COD＝65°+25°＝90°（图2）．
【题型6 相交线中的角度计算】
【例6】（2021秋•双阳区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OC平分∠BOE，OF⊥CD，垂足为点O．
（1）写出∠AOF的一个余角和一个补角．
（2）若∠BOE＝60°，求∠AOD的度数．
（3）∠AOF与∠EOF相等吗？说明理由．
【分析】（1）由垂直定义的∠FOC＝∠FOD＝90°，再根据平角定义推得，余角的定义得结论；
（2）根据角平分线的定义，对顶角相等求出∠AOD的度数；
（3）根据等角的余角相等得出结论．
【解答】解：（1）∵OF⊥CD，
∴∠FOC＝∠FOD＝90°，
∵∠AOF+∠FOC+COB＝180°，
∴∠AOF+∠COB＝90°，
∴∠COB是∠AOF的余角；
∴∠BOF是∠AOF的补角；
（2）∵OC平分∠BOE，∠BOE＝60°，
∴∠BOC＝∠EOC=12∠BOE＝30°，
∴∠AOD＝∠BOC＝30°，
（3）相等，
∵∠AOD+∠AOF＝∠EOF+∠EOC＝90°，
∠BOC＝∠EOC，∠AOD＝∠BOC，
∴∠∠AOF＝∠EOF．
【变式6-1】（2020秋•和平区期末）平面内两条直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，OB平分∠COF．
（1）如图1：
①若∠AOE＝20°，则∠DOF＝ 40° °；
②请写出∠DOF和∠AOE的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，∠DOF与∠AOE的数量关系是 ∠DOF＝2∠AOE ．
【分析】（1）①先利用平角求出∠BOF，再利用角平分线的定义求出∠FOC即可，
②设∠AOE＝x，然后按照①的思路表示∠DOF即可；
（2）设∠AOE＝y，然后按照上题的思路表示∠DOF即可．
【解答】解：（1）①∵∠EOF＝90°，∠AOE＝20°，
∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝70°，
∵OB平分∠COF，
∴∠COF＝2∠BOF＝140°，
∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝40°，
故答案为：40°，
②∠DOF＝2∠AOE，
理由是：设∠AOE＝x，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝90°﹣x，
∵OB平分∠COF，
∴∠COF＝2∠BOF＝180°﹣2x，
∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝2x，
∴∠DOF＝2∠AOE；
（2）∠DOF＝2∠AOE，
理由是：设∠AOE＝y，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝90°﹣y，
∵OB平分∠COF，
∴∠COF＝2∠BOF＝180°﹣2y，
∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝2y，
∴∠DOF＝2∠AOE．
【变式6-2】（2021秋•南岗区校级月考）已知，O是直线AB上的一点，OC⊥OE．
（1）如图1，若∠COA＝34°，求∠BOE的度数．
（2）如图2，当射线OC在直线AB下方时，OF平分∠AOE，∠BOE＝130°，求∠COF的度数．
（3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE内部作射线OM，使∠COM+1710∠AOE＝2∠BOM+∠FOM，求∠BOM的度数．
【分析】（1）根据垂直的概念求得∠COE＝90°，然后根据角的和差列式计算；
（2）根据邻补角的概念求得∠AOE的度数，然后根据角平分线的概念求得∠EOF的度数，从而利用角的和差列式计算求解；
（3）设∠BOM＝x°，然后根据角的和差及倍数关系列方程求解．
【解答】解：（1）∵OC⊥OE，
∴∠COE＝90°，
又∵∠COA＝34°，
∴∠BOE＝180°﹣∠COE﹣∠COA＝180°﹣90°﹣34°＝56°，
答：∠BOE的度数为56°；
（2）∵OF平分∠AOE，∠BOE＝130°，
∴∠EOF＝∠AOF=12∠AOE=12（180°﹣∠BOE）=12×（180°﹣130°）＝25°，
∴∠COF＝∠COE﹣∠EOF＝90°﹣25°＝65°，
答：∠COF的度数为65°；
（3）设∠BOM＝x°，
∴∠FOM＝180°﹣∠AOF﹣∠BOM＝（155﹣x）°，
∵∠AOE＝180°﹣∠BOE＝50°，
∴∠AOC＝90°﹣∠AOE＝40°，
∴∠COM＝180°+∠AOC﹣∠BOM＝（220﹣x）°，
由题意可得：（220﹣x）°+1710×50°＝2x°+（155﹣x）°，
解得：x＝75，
答：∠BOM的度数为75°．
【变式6-3】（2020秋•滨海县期末）已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠BOC＝110°．
（1）如图1，求∠AOC的度数；
（2）如图2，过点O在直线AB下方作射线OD，使OD⊥OC，作∠AOC的角平分线OM，求∠MOD的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，作射线OP，若∠BOP与∠AOM互余，求∠COP的度数．
【分析】（1）根据补角的概念即可得出答案；
（2）先根据角平分线求出∠AOM的大小，再根据余角的概念求出∠AOD的大小，即可求出∠MOD的大小；
（3）分OP在直线AB的上方和下方两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝110°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣110°＝70°；
（2）由（1）知∠AOC＝70°，
∵OD⊥OC，
∴∠COD＝90°，
∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝20°，
∵OM是∠AOC的平分线，
∴∠AOM=12∠AOC=12×70°＝35°，
∴∠MOD＝∠AOM+∠AOD＝35°+20°＝55°；
（3）由（2）知∠AOM＝35°，
∵∠BOP与∠AOM互余，
∴∠BOP+∠AOM＝90°，
∴∠BOP＝90°﹣∠AOM＝90°﹣35°＝55°，
①当射线OP在∠BOC内部时，
∠COP＝∠BOC﹣∠BOP＝110°﹣55°＝55°，
②当射线OP在∠BOC外部时，
∠COP＝∠BOC+∠BOP＝110°+55°＝165°，
综上所述，∠COP的度数为55°或165°．
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