初中人教版第十六章 二次根式16.1 二次根式精品课时练习

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专题1 二次根式非负性的应用（解析版）
第一部分 典例精析及变式训练
类型一 利用（a≥0）求值
典例1 （2021•长沙模拟）已知y=2+1−x，那么，点P（x，y）应在直角坐标平面的（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
思路引领：由函数y＝2+1−x知：﹣x＞0，y＞0，即可判断出点P（x，y）在第几象限．
解：由函数y＝2+1−x知：﹣x＞0，y＞0，
∴x＜0，y＞0，
∴点P（x，y）在第二象限，
故选：B．
总结提升：本题考查了坐标确定位置及二次根式有意义的条件，属于基础题，关键是根据已知条件判断x，y的正负．
变式训练
1．（温州校级自主招生）已知y=−1x−2，则在直角坐标系中，点P（x，y）所在的象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
思路引领：根据二次根式和分式的性质分别求得x、y的取值范围，然后根据横轴坐标的符号确定点P的位置．
解：要使得y=−1x−2有意义，则x﹣2＞0，
∴x＞2，
∴y=−1x−2＜0，
∴点P（x，y）位于第四象限．
故选：D．
总结提升：本题考查了二根式有意义的条件和点的坐标的知识，解题的关键是根据二次根式有意义的条件确定x、y的符号．
类型二 利用（a≥0）求值
典例2（2019春•蜀山区期末）若x−y+−y=1，则x﹣y的值为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
思路引领：直接利用二次根式的性质得出y的值，进而得出答案．
解：∵y与−y都有意义，
∴y＝0，
∴x＝1，
故选x﹣y＝1﹣0＝1．
故选：B．
总结提升：此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
变式训练
1．（2012•安徽模拟）已知点P（x，y）满足y=x−2011+2011−x+12011，则经过点P的反比例函数y=mx的图象经过（　　）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
思路引领：根据二次根式有意义的条件，x﹣2011≥0，2011﹣x≥0，则x＝2011，从而得出y，再代入y=mx求得m即可判断反比例函数y=mx的图象经过的象限．
解：∵x﹣2011≥0，2011﹣x≥0，
∴x＝2011，
∴y=12011，
将x＝2011，y=12011代入y=mx得，m＝1，
所以反比例函数y=mx的图象位于第一、三象限．
故选：C．
总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件和反比例函数的对称性，是基础知识要熟练掌握．
2．（2021春•临淄区期中）设x、y均为实数，且y=x2−3+3−x21−x+2，求yx+xy的值．
思路引领：根据二次根式的有意义的条件求出x的值，代入已知式子求出y的值，代入计算即可．
解：由题意得，x2﹣3≥0，3﹣x2≥0，1﹣x＞0，
解得，x=−3，
则y＝2，
yx+xy=−32−23=−763．
总结提升：本题考查的是二次根式的有意义的条件和二次根式的计算，掌握二次根式的被开方数是非负数的解题的关键．
类型三 利用（隐含a≥0）求值
典例3（涪城区校级自主招生）已知x是实数，且（x﹣2）（x﹣3）1−x=0，则x2+x+1的值为（　　）
A．13 B．7 C．3 D．13或7或3
思路引领：根据二次根式的性质求出x≤1，求出x的值，代入求出即可．
解：∵要使（x﹣2）（x﹣3）1−x有意义，
∴1﹣x≥0，
∴x≤1，
∵x是实数，且（x﹣2）（x﹣3）1−x=0，
∴x﹣2＝0，x﹣3＝0，1−x=0，
∴x＝2或x＝3或x＝1，
∴x＝1，
∴x2+x+1＝12+1+1＝3，
故选：C．
总结提升：本题考查了二次根式的性质和求代数式的值的应用，关键是求出x的值．
变式训练
1．（2020秋•崇川区校级月考）已知a，b为实数，且1+a−(b−1)1−b=0，求a2020﹣b2021的值．
思路引领：由已知条件得到1+a+（1﹣b）1−b=0，利用二次根式有意义的条件得到1﹣b≥0，再根据几个非负数和的性质得到1+a＝0，1﹣b＝0，解得a＝﹣1，b＝1，然后根据乘方的意义计算a2020﹣b2021的值．
解：∵1+a−(b−1)1−b=0，
∴1+a+（1﹣b）1−b=0，
∵1﹣b≥0，1+a≥0，
∴1+a＝0，1﹣b＝0，
解得a＝﹣1，b＝1，
∴a2020﹣b2021＝（﹣1）2020﹣12021＝1﹣1＝0．
总结提升：本题考查了非负数的性质：算术平方根具有非负性．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．
类型四 利用（a≥0，≥0）求最值
典例4（2020•河北模拟）若代数式a−5+|b﹣1|+c2+a在实数范围内有意义，则此代数式的最小值为（　　）
A．0 B．5 C．4 D．﹣5
思路引领：利用二次根式的定义、绝对值、平方数的性质分析得出答案．
解：代数式，a−5+|b﹣1|+c2+a在实数范围内有意义，则
a﹣5≥0，|b﹣1|≥0，c2≥0，
所以代数式，a−5+|b﹣1|+c2+a的最小值是a，a＝5，
故选：B．
总结提升：此题主要考查了二次根式、绝对值、平方数的意义，正确把握定义及性质是解题关键．
变式训练
1．（2022春•莱州市期末）若12n是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．1 B．3 C．6 D．12
思路引领：根据12＝22×3，若12n是整数，则12n一定是一个完全平方数，据此即可求得n的值．
解：∵12＝22×3，
∴12n是整数的正整数n的最小值是3．
故选：B．
总结提升：本题考查了二次根式的定义．解题的关键是掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
2．（2021春•凤凰县月考）代数式x+x−1+x−2的最小值是（　　）
A．0 B．1+2 C．1 D．不存在的
思路引领：根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数列不等式组求x的取值范围，再确定代数式的最小值．
解：由条件得x≥0x−1≥0x−2≥0，则x≥2．
x+x−1+x−2≥2+2−1+2−2=2+1．
即代数式x+x−1+x−2的最小值是2+1．
故选：B．
总结提升：主要考查了二次根式的意义和性质及解一元一次不等式组．
二次根式的性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
3．（2022春•西华县期中）二次根式13x−2中x的最小整数值是 　 　．
思路引领：根据二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数得到x的取值范围即可得到x的最小整数值．
解：∵13x﹣2≥0，
∴x≥6，
∴x的最小整数值是6．
故答案为：6．
总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
4．（2021春•睢县期中）a+3+2的最小值是 　 　，此时a的值是 　 　．
思路引领：根据二次根式的定义，a+3≥0，可可判断所求式子的最小值，可求得最小值时a的值．
解：∵a+3≥0，
∴a+3+2≥2，
当a+3＝0时，即a＝﹣3，最小值为2，
故答案为：2，﹣3．
总结提升：本题主要考查二次根式的定义，解答的关键是明确x是非负数
类型五 化简形如（指定a的范围）的式子
典例5 化简：20a2b（a≥0）．
思路引领：利用二次根式的性质化简．
解：原式＝2a5b．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
变式训练
15．当a＜12且a≠0时，化简：4a2−4a+12a2−a=　　．
思路引领：由a＜12知2a﹣1＜0，据此利用二次根式的性质得原式=(2a−1)2a(2a−1)=|2a−1|a(2a−1)=−(2a−1)a(2a−1)，约分即可得．
解：∵a＜12且a≠0，
∴2a﹣1＜0，
则原式=(2a−1)2a(2a−1)
=|2a−1|a(2a−1)
=−(2a−1)a(2a−1)
=−1a，
故答案为：−1a．
总结提升：本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质a2=|a|．
类型六 化简形如（需判断a的范围）的式子
典例6（2021•越秀区校级二模）化简1−4x+4x2−(2x−3)2=　 　．
思路引领：先将1﹣4x+4x2化成（1﹣2x）2，再根据（2x−3）2有意义，即可求得x的取值范围，从而化简得出结果．
解：∵（2x−3）2有意义，
∴2x﹣3≥0，
∴x≥1.5，
∴2x﹣1≥3﹣1＝2，
∴1−4x+4x2−(2x−3)2
=(1−2x)2−2x+3
＝2x﹣1﹣2x+3
＝2，
故答案为2．
总结提升：本题考查了完全平方公式和二次根式的化简和求值，是基础知识要熟练掌握．
变式训练
1．若x、y都为实数，且满足y＞x−2−2−x+3，则化简(3−y)2=　 　．
思路引领：根据二次根式的被开方数是非负数求得x＝2，则y＞3，然后来简(3−y)2．
解：∵x、y都为实数，且满足y＞x−2−2−x+3，
∴x−2≥02−x≥0，
∴x＝2，则y＞3，
∴(3−y)2=|3﹣y|＝y﹣3．
故答案是：y﹣3．
总结提升：考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．化简：a−b•a−b−(b−a)2=　0　．
思路引领：根据题意可得a＞b，由此可得(b−a)2=（a﹣b），从而可得出答案．
解：由题意得a＞b，
原式＝（a﹣b）﹣（a﹣b）＝0．
故填0．
总结提升：本题考查二次根式有意义的条件，根据题意判断出a＞b是解决本题的关键．
3．（2021秋•高州市校级月考）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，

化简：(a+1)2+2(b−1)2−|a−b|．
思路引领：根据题意可得：a＜﹣1，b＞1，从而可得a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，然后利用绝对值的意义和二次根式的性质，进行计算即可解答．
解：由题意得：
a＜﹣1，b＞1，
∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴(a+1)2+2(b−1)2−|a−b|
＝﹣（a+1）+2（b﹣1）﹣（b﹣a）
＝﹣a﹣1+2b﹣2﹣b+a
＝b﹣3．
总结提升：本题考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟练掌握绝对值的意义和二次根式的性质是解题的关键．
类型七 化简形如（隐含a小于0或等于0）的式子
典例7 已知a为实数，化简：−a3−a−1a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确，若不正确，请写出正确的解答过程．
解：−a3−a−1a=a×−a−a×1aa=（a﹣1）a．
思路引领：直接利用二次根式的性质化简求出答案．
解：原题错误．
正确结果：−a3−a−1a
＝﹣a×−a+a×−aa
＝（﹣a+1）−a．
总结提升：此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
变式训练
1．化简：||−x2−1|﹣2|＝　 　．
思路引领：由非负数的性质求出x，然后求得答案．
解：∵﹣x2≥0，
∴x2＝0，
∴x＝0，
∴||−x2−1|﹣2|＝||0﹣1|﹣2|＝|1﹣2|＝1．
故答案为1．
总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，被开方数≥0．
类型八 |a|，，的综合运用
典例8（2022秋•灞桥区校级月考）（1）已知非零实数a，b满足|a﹣4|+（b+3）2+a−4+4＝a，求a+b的值．
（2）已知非负实数a，b满足a+b+|c−1−1|＝4a−2+2b+1−4，求a+2b﹣2c的值．
思路引领：（1）先根据二次根式的性质求出a的范围，然后去掉绝对值号进行化简．最后利用非负性求出a+b的值
（2）先将a+b+|c−1−1|＝4a−2+2b+1−4，化为几个非负数的和为零的形式，然后利用非负性求出a、b、c的值．
（1）解：∵a−4
∴a﹣4≥0
∴(a−4)+(b+3)2+a−4+4=a
∴(b+3)2+a−4=0
∴b+3＝0，a﹣4＝0
∴b＝﹣3，a＝4
∴a+b＝1
（2）由题意可知：a+b+|c−1−1|−4a−2−2b+1+4=0
∴(a−2)−4a−2+4+(b+1)−2b+1+1+|c−1−1|=0
(a−2−2)2+(b+1−1)2+|c−1−1|=0
∴a−2=2，b+1=1，c−1=1
∴a＝6，b＝0，c＝2
∴a+2b﹣2c＝6+0﹣2×2＝2
总结提升：本题考查非负数的性质，解题的关键是将所给的式子化为非负数的和为0的性质，然后利用非负性求出a、b、c的值，本题属于中等题型．
针对训练
1．已知△ABC的三边a，b，c满足关系a+b+c﹣2a−5−4b−4−6c−1+4＝0，试求△ABC的周长．
思路引领：本题主要考查了已知式子，变成二次根式求出a，b，c的值，便可求出△ABC的周长．
解：∵a+b+c−2a−5−4b−4−6c−1+4=0，
∴a﹣5﹣2a−5+1+b﹣4−4b−4+4+c﹣1﹣6c−1+9＝0．
∴（a−5−1）2+(b−4−2)2+(c−1−3)2=0
∴a−5=1，b−4=2，c−1=3．
∴a＝6，b＝8，c＝10．
因此，△ABC的周长为：a+b+c＝24．
总结提升：本题主要考查二次根式的性质在三角形中的灵活应用．
第二部分 专题提优训练
1．（2021秋•石鼓区期末）若a＜0，则化简|a﹣3|−a2的结果为（　　）
A．3﹣2a B．3 C．﹣3 D．2a﹣3
思路引领：先化简各式，然后再进行计算即可．
解：∵a＜0，
∴a﹣3＜0，
∴|a﹣3|−a2
＝3﹣a﹣（﹣a）
＝3﹣a+a
＝3，
故选：B．
总结提升：本题考查了二次根式的性质与化简，准确熟练地化简各式是解题的关键．
2．（2022春•宁陵县期末）在二次根式a−2中，a能取到的最小值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．2.5
思路引领：根据二次根式的定义求出a的范围，再得出答案即可．
解：要使a−2有意义，必须a﹣2≥0，
即a≥2，
所以a能取到的最小值是2，
故选：C．
总结提升：本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键．
3．（2021秋•泊头市期末）若实数x，y满足y=x−5+5−x−1，则x﹣y的值是（　　）
A．1 B．﹣6 C．4 D．6
思路引领：根据二次根式有意义的条件，求出x，代入关系式中求出y，从而得到x﹣y的值．
解：∵x﹣5≥0，5﹣x≥0，
∴x≥5，x≤5，
∴x＝5，
∴y＝﹣1，
∴x﹣y＝5﹣（﹣1）＝5+1＝6，
故选：D．
总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．
4．化简1−4x+4x2−（2x−3）2得（　　）
A．2 B．﹣4x+4 C．﹣2 D．4x﹣4
思路引领：2x−3有意义，则有2x﹣3≥0，即2x≥3，可知1﹣2x≤0，根据二次根式的性质化简．
解：根据二次根式有意义的条件，
得2x﹣3≥0，即2x≥3，可知1﹣2x≤0，
∴原式=1−4x+4x2−（2x−3）2
＝|1﹣2x|﹣（2x﹣3）
＝（2x﹣1）﹣（2x﹣3）＝2．
故选：A．
总结提升：主要考查了根据二次根式的意义化简．二次根式a2规律总结：当a≥0时，a2=a；当a≤0时，a2=−a．
5．（2022•槐荫区校级模拟）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简(a+1)2+(b−1)2−(a−b)2的结果是（　　）

A．﹣2 B．0 C．﹣2a D．2b
思路引领：根据a2=|a|化简，然后去绝对值化简即可．
解：根据数轴知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，
∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0．
∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|
＝﹣（a+1）+b﹣1+a﹣b
＝﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b
＝﹣2．
故选：A．
总结提升：本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，掌握a2=|a|是解题的关键．
6．（2021春•花山区校级月考）已知a满足|2020﹣a|+a−2021=a，则a﹣20202＝（　　）
A．0 B．1 C．2021 D．2020
思路引领：根据a（a≥0）求出a≥2021，然后再进行化简计算即可解答．
解：由题意得：
a﹣2021≥0，
∴a≥2021，
∴|2020﹣a|＝a﹣2020，
∵|2020﹣a|+a−2021=a，
∴a﹣2020+a−2021=a，
∴a−2021=2020，
∴a﹣2021＝20202，
∴a﹣20202＝2021，
故选：C．
总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，根据a（a≥0）求出a≥2021，然后再进行化简计算是解题的关键．
7．（2017秋•徐汇区校级月考）将(a−3)a23−a(a＜0)化简的结果是　　．
思路引领：根据题意得到3﹣a＞0，根据二次根式的性质化简即可．
解：∵a＜0，
∴3﹣a＞0，
∴原式＝（a﹣3）×−a3−a3−a=a3−a，
故答案为：a3−a．
总结提升：本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：a2=|a|是解题的关键．
8．（2022•渌口区一模）已知y=(x−4)2−x+5，当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应y值的总和是 　
　 ．
思路引领：根据绝对值的性质进行化简，然后数字代入求和即可求出答案．
解：当x≤4时，
∴x﹣4≤0，
∴(x−4)2=|x﹣4|＝﹣（x﹣4）＝4﹣x，
∴y＝4﹣x﹣x+5＝9﹣2x，
当x＞4时，
∴x﹣4＞0，
∴(x−4)2=|x﹣4|＝x﹣4，
∴y＝x﹣4﹣x+5＝1，
当x分别取1，2，3，…，2022时，
所对应y值的总和是（9﹣2）+（9﹣4）+（9﹣6）+（9﹣8）+2018×1
＝7+5+3+1+2018
＝2034．
故答案为：2034．
总结提升：本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式与绝对值的性质，本题属于基础题型．
9．（2021春•新县期末）已知|2019﹣a|+a−2020=a，求a﹣20192的值是　　．
思路引领：根据二次根式有意义的条件以及绝对值的性质即可求出答案．
解：由题意可知：a≥2020，
∴2019﹣a＜0，
∴a﹣2019+a−2020=a，
∴a−2020=2019，
∴a﹣2020＝20192，
∴a﹣20192＝2020，
故答案为：2020
总结提升：本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件以及绝对值的性质，本题属于中等题型．
10．（2021秋•金东区校级月考）设a、b、c为三角形的三边长，则化简|a+b+c|+|a﹣b﹣c|+|a﹣b+c|+|a+b﹣c|等于 　 　．
思路引领：根据三角形的三边关系去绝对值，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而再化简即可．
解：因为a，b，c是三角形的三边长，所以a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，a﹣c+b＞0，a+c﹣b＞0，
所以原式＝（a+b+c）﹣（a﹣b﹣c）+（a﹣b+c）+（a+b﹣c）
＝a+b+c﹣a+b+c+a﹣b+c+a+b﹣c
＝2a+2b+2c．
故答案为：2a+2b+2c．
总结提升：此题主要考查了三角形的三边的关系，以及整式加减法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形两边之和大于第三边．
11．设m=a+2a−1+a−2a−1(1≤a≤2)，求m10+m9+m8+…+m﹣47的值．
思路引领：先根据完全平方公式化简m并求出m的值，再把m的值代入，运用等比数列的求和公式得出结果．
解：∵1≤a≤2，0≤a﹣1≤1，
∴m=(a−1)+2a−1+1+(a−1)−2a−1+1=a−1+1+1−a−1=2．
∴m10+m9+m8+…+m﹣47＝（m10+m9+m8+…+m+1）﹣48
=(m−1)(m10+m9+m8+m+1)m−1−48=m11−1m−1−48=211−1−48
＝2048﹣1﹣48＝1999．
注：此题可利用关系式20+21+…+2n＝2n+1﹣1，运算将更简单．
总结提升：本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用及等比数列的求和公式．属于竞赛题目，有一定难度．注意求m的值时，看清字母a的取值范围．
12．（2018•薛城区校级自主招生）已知非零实数a，b满足a2−8a+16+|b﹣3|+(a−5)(b2+1)+4＝a，求ab﹣1的值
思路引领：先根据二次根式的意义确定：（a﹣5）（b2+1）≥0，a≥5，由已知等式化简可得：|b﹣3|+(a−5)(b2+1)=0，由绝对值和二次根式的非负性列等式可得结论．
（本题满分10分）
解：由题意得：（a﹣5）（b2+1）≥0，a≥5
a2−8a+16=(a−4)2=|a﹣4|
a2−8a+16+|b﹣3|+(a−5)(b2+1)+4
＝a﹣4+|b﹣3|+(a−5)(b2+1)+4＝a，
∴|b﹣3|+(a−5)(b2+1)=0，
又因为|b﹣3|≥0，(a−5)(b2+1)≥0，
故|b﹣3|=(a−5)(b2+1)=0，
则b＝3，a＝5，
故ab﹣1＝52＝25
总结提升：本题考查了二次根式的性质和化简及非负数的性质，解题的关键是将所给的式子化为非负数的和为0的等式，然后利用非负性求出a、b的值，本题属于中等题型．