专题11.2 与三角形有关的角-八年级数学上册同步精品讲义（人教版）

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专题11.2 与三角形有关的角

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1、会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.
2、会运用三角形内角和定理进行计算.
3、理解并掌握三角形的外角的概念．
4、会利用三角形的外角性质、直角三角形的性质解决问题.
知识精讲

知识点01 三角形的内角和定理
1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
3）三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
【微点拨】
三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
【知识拓展1】运用三角形的内角和定理解决角度问题
例1．（2022·河南濮阳·八年级期末）有一块直角三角板放置在上，三角板的两条直角边，恰好分别经过点B、C，在中，，则的度数是（       ）
A． B． C． D．
【即学即练】
1．（2022春•顺德区期中）如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的内角平分线且BO，CO相交于点O．
（1）若∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，求∠BOC的度数；（2）若∠A＝60°，求∠BOC的度数；
（3）请你直接写出∠A与∠BOC满足的数量关系式，不需要说明理由．


【知识拓展2】三角形的内角和定理的证明
例2．（2022·浙江杭州·八年级期末）在探索并证明三角形的内角和定理“三角形三个内角的和等于180°”时，圆圆同学添加的辅助线为“过点作直线DEBC”．请写出“已知”、“求证”，并补全证明．
已知：DEBC．求证：三角形三个内角的和等于180°．证明：过点作直线DEBC．


【即学即练】
1. （2021·吉林·舒兰市教师进修学校七年级期末）如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是180°”的结论。小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．

受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把和移动到的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质就可以解决问题了．小明的证明过程如下：
已知：如图，．求证：．

证明：延长，过点作．
∴______（两直线平行，内错角相等），
（_______________）．
∵（平角定义），
∴．
（1）请你补充完善小明方法1的证明过程；
（2）请你参考小明解决问题的方法1的思路，自行画图标注好顶点字母，写出方法2证明该结论的过程．




知识点02 三角形的外角性质
1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
【微点拨】
1）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
2）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
【知识拓展1】三
形的外角性质的相关计算
例1．（2022•灞桥区校级二模）三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 　　．

【即学即练1】
1．（2021•黄石港区期末）如图，△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC于点D，E在CA的延长线上，∠BAE＝120°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．


【知识拓展2】外角的性质定理的相关证明
例2．（2021·河北中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是的外角．
求证：．



下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
【即学即练2】
1．（2021·江苏南京·七年级期末）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”如图，∠BAE、∠FBC、∠DCA是△ABC的三个外角．

求证∠BAE＋∠FBC＋∠DCA＝360
(1)第一种思路可以用下面的框图表示，请填写其中的空格：

(2)根据第二种思路，完成证明．





知识点03 直角三角形的性质
1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．
性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
【知识拓展1】直角三角形的性质
例1．（2021秋•江油市期末）△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，则∠C为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【即学即练1】
1．（2022•阜宁县期中）直角三角形中，两个锐角度数之比为1：5，则较小的锐角度数为 　 　．
2．（2022•古田县校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B＝ 　．



能力拓展

考法01 内角和与外角性质的综合问题（翻折、旋转问题）
【典例1】（2021·浙江杭州市·八年级期中）如图1，含角的直角三角板与含角的直角三角板的斜边在同一直线上，D为的中点，将直角三角板绕点D按逆时针方向旋转，在旋转过程中：
（1）如图2，当________时，；当______时，；
（2）如图③，当直角三角板的边、分别交、的延长线于点M、N时；
①与度数的和是否变化？若不变，求出与度数的和；若变化，请说明理由；
②若使得，求出、的度数，并直接写出此时的度数；
③若使得，求的度数范围．

变式1．（2022•大丰区校级月考）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置，
（1）如图1，如果∠A＝50°，求∠1+∠2的度数；（2）如图1，探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图2，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，线段AB落在四边形CDEF内线段A′B′的位置，猜想∠1、∠2、∠A、∠B之间的数量关系，并直接写出结果 　 　．


变式2．（2022春•秦淮区期中）如图，△ABC中∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形的∠B的度数为（　　）

A．57° B．60° C．63° D．70°




考法02 内角和与外角性质的综合问题（双角平分线问题）
【典例2】（2022·山西阳泉初二期中）佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关.
测量数据如下表：

测量和度数
测量工具
量角器
示意图

与的平分
线交于点
测量数据



第一次


第二次


第三次


第四次


…
…
（1）通过以上测量数据，请你写出与的数量关系：______.（2）如图，在中，若与的平分线交于点，则与存在怎样的数量关系？请说明理由.





变式1. （2022•南海区八年级期末）阅读下面的材料，并解决问题．（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．
如图1，∠O＝　 　；如图2，∠O＝　 　；如图3，∠O＝　 　；如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝　 　．（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°∠A．（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．





变式2．（2021·镇江市外国语学校八年级月考）如图1，已知，A、B两点同时从点O出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动．（1）如图2，点C为三条内角平分线交点，连接、，在点A、B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；（2）如图3，在（1）的条件下，连接并延长，与的角平分线交于点P，与交于点Q．①与的数量关系为__．②在中，如果有一个角是另一个角的2倍，求的度数．












分层提分


题组A 基础过关练
1．（2022•丹东期末）如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠α等于（　　）

A．105° B．115° C．120° D．135°
2．（2021·河南焦作市·八年级期末）如图，为的一个外角，点E为边上一点，延长到点F，连接，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．

3．（2022春•长沙期中）如图，∠ABD为△ABC的外角，BE平分∠ABD，EB∥AC，∠A＝65°，则∠EBD的度数为（　　）

A．50° B．65° C．115° D．130°
4．（2022•碑林区校级模拟）如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（　　）个．

A．5 B．4 C．3 D．2
5．（2021·山西吕梁市·九年级二模）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A． B． C． D．
6.（2022·河南平顶山·八年级期末）已知，在中，，点在线段的延长线上，过点作，垂足为，若，则的度数为（       ）

A．76° B．65° C．56° D．54°
7．（2022春•杨浦区校级期中）在△ABC中，如果∠A+∠B＝135°，且∠B＝2∠C，那么△ABC是 　 　三角形．
8．（2021秋•澄城县期末）如图，在△ABC中，AN平分∠BAC交BC于N，∠B＝50°，∠ANC＝80°．求∠C的度数．

9．（2021春•长春期末）对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
如图，在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°．（1）求∠EBC的度数；（2）求∠A的度数．
解：（1）∵CD⊥AB（已知），∴∠CDB＝　 　°．
∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD（ 　 　）．
∴∠EBC＝　 　°+35°＝　 　°（等量代换）．
（2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB（ 　 　），
∴∠A＝∠EBC﹣∠ACB（等式的性质）．
∵∠ACB＝90°（已知），
∴∠A＝　 　﹣90°＝　 　°（等量代换）．


10. （2021·江苏·苏州市吴江区八年级阶段练习）用两种方法证明“三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和”．如图，是的一个外角．
求证：．
证法1：（____）
（平角的定义）
（_____）
（等式的基本性质1）
请把证法1依据填充完整，并用不同的方法完成证法2


题组B 能力提升练
1．（2022•青山区期末）如图，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，DF⊥AE于点F，当∠ADF＝69°，∠C＝65°时，∠B的度数为（　　）

A．21° B．23° C．25° D．30°
2．（2022春•秦淮区期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C＝110°，则∠1+∠2＝　 　．

3．（2021·浙江杭州市·八年级期中）如图1，赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座，晷面、晷针三部分组成，其中底坐面与日晷所处地球半径垂直；
（1）晷针与晷面夹角为___________；（2）如图2，日晷所处纬度为，若太阳光（平行光）与日晷底座面夹角为，则太阳光与该晷面所夹锐角度为___________．

4．（2022春•铜梁区校级期中）如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．（1）若2∠1+∠EAB＝180°，求证：EF∥BC；（2）若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．

5．（2022·重庆合川·八年级期末）如图，的角平分线、相交于点．
(1)若，，求的度数；(2)求证：．

6.（2021•定兴县月考）如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．（1）若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝　 　°，∠DBC+∠DCB＝　 　°∠ABD+∠ACD＝　 　°．（2）若∠A＝55°，则∠ABD+∠ACD＝　 　°．（3）请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系　 　．

7．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）如图1，、的角平分线、相交于点，
（1）如果，那么的度数是多少，试说明理由并完成填空；
（2）如图2，，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出度数；
（3）如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示的度数（直接写出答案）

解：（1）结论：______度．
说理如下：因为、平分和（已知），
所以，（角平分线的意义）．
因为，（ ）
（完成以下说理过程）
题组C 培优拔尖练
1．（2022春•宜兴市校级月考）如图，∠A＝45°，∠BCD＝135°，∠AEB与∠AFD的角平分线交于点P，下列结论：①EP⊥FP；②∠AEB+∠AFD＝∠P；③∠A＝∠PEB+∠PFD．其中正确的有（　　）个．

A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2021秋•西安期末）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论 ①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2，正确的是　 　．（把所有正确的结论的序号写在横线上）

3. （2021·苏州外国语学校八年级期中）如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_______．

4. （2021·河南驻马店市·八年级期末）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 ．
（2）如图，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与、重合），若，判定、是否是“梦想三角形”，为什么？


5．（2021·山西晋城市·八年级期末）综合与实践问题情境：在数学活动课上，全班同学分组进行了一副三角尺上角的探究活动，如图所示，放置一副三角尺，两个三角尺的顶点O重合，边与边重合，试求的度数．（1）探究展示勤奋小组展示了如下的解决方法（请结合图形1，完成填空）
解：∵，
∴__________（___________________）
又∵，∴__________．
（2）反思交流：创新小组受勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2所示，绕顶点O逆时针旋转，当时，求得的度数．（请你写出解答过程）

（3）探索发现：小明受到旋转的启发，继续进行探究（如图3），继续绕顶点O逆时针旋转，使点B落在边上，此时发现与之间的数量关系．
以下是他的解答过程，请补充完整解：在与中，
∵
又∵（___________________）
__________，__________，
∴ __________．

6.（2022•蓬溪县月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝　 　；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝　 　°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝　 °．