人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.3 组合与组合数练习题

【精选】3.1.3 组合与组合数-3练习

一．单项选择

1．现有6个人分乘两辆不同的出租车，已知每辆车最多能乘坐4个人，则不同的乘车方案种数为（    ）

A．30 B．45 C．50 D．60

2．若是正奇数，则被9除的余数为（   ）

A．2 B．5 C．7 D．8

3．某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选的不同选法有16种，则小组中的女生人数为（  ）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（    ）.

A．40320种 B．5040种 C．20160种 D．2520种

5．某教育局安排名骨干教师分别到所农村学校支教，若每所学校至少安排名教师，且每名教师只能去所学校，则不同安排方案有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

6．10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（    ）

A． B． C． D．

7．4位同学各自在周六．周日两天中等可能的任选一天参加公益活动，则周六．周日都有同学参加公益活动的概率（ ）

A． B． C． D．

8．若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有（    ）

A．45种 B．40种 C．55种 D．60种

9．某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种（    ）

A．60 B．90 C．120 D．150

10．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（  ）

A． B． C． D．

11．下列等式中，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

12．5个人站成一排，甲．乙两人中间恰有一人的不同站法有（    ）.

A．288种 B．72种 C．36种 D．24种

13．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲．乙．丙在内的名学生中选派名学生参加，要求甲．乙．丙这名同学中至少有人参加，且当这名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的名学生不同的朗诵顺序的种数为（   ）

A． B． C． D．

14．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有不同的选法种数为（    ）

A．420 B．660 C．840 D．880

15．如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D四块区域涂色分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为(　　)

A．400 B．460 C．480 D．496

16． （    ）

A． B． C． D．

17．已知集合，则集合各子集中元素之和为（    ）

A．320 B．240 C．160 D．8

18．将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有（   ）

A．150种 B．180种 C．240种 D．540种

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】由题意将满足要求的情况分为“其中2人乘坐一辆汽车，另外4人乘坐一辆汽车”．“其中3人乘坐一辆汽车，另外3人乘坐一辆汽车”两种情况，再由排列．组合的知识即可得解.

详解：有6个人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多能乘坐4个人，可分为两种情况：

①其中2人乘坐一辆汽车，另外4人乘坐一辆汽车，共有种情况；

②其中3人乘坐一辆汽车，另外3人乘坐一辆汽车，共有种情况；

所以不同的乘车方案种数为.

故选：C.

【点睛】

本题考查了计数原理的应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，合理分类，利用排列．组合的知识求解是解答的关键，属于中档题.

2．【答案】C

【解析】根据二项式定理化简，再根据题意对化简的式子进行变形得到，再次展开进行求解即可.

详解：解：由题可知：原式=

，

因为为正奇数，所以上式可化简为：

所以该式除以9，余数为：7.

故选：C.

【点睛】

本题考查运用二项式定理解决余数问题，考查代数式的恒等变形能力，考查了数学运算能力.

3．【答案】A

【解析】分析：设有女生x人，结合题意得到关于女生人数的组合方程，求解关于x的方程即可确定女生人数.

详解：设有女生x人，则有男生6-x人，于是有，

即（6-x)（5-x)（4-x)=24，整理可得：，

解得x=2.

本题选择A选项.

点睛：组合问题常有以下两类题型变化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．

(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．

4．【答案】D

【解析】先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，结合图形的对称性，即可求解.

详解：先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有种方法，

再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，共有种方法，

由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次，

所以不同的涂色方法，共有种不同的涂法.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了排列．组合及分步计数原理的应用，其中解答中注意图形的对称性，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

5．【答案】C

【解析】首先从名骨干教师任取名，分成三组，然后三组全排即可求解.

详解：由题意，先从名骨干教师任取名共有种取法，

所以不同安排方案有：.

故选：C

【点睛】

本题考查了排列组合的应用，考查了组合数．排列数的计算，属于基础题.

6．【答案】C

【解析】分两步：1.首先先从后排6人中选2人出来；2.将这2人与前排4人排列，且前排4人的相对顺序不变，可以看成有6个位置，先选2个位置排这2人，其他4人按原顺序排列，再由乘法原理计算即可.

详解：首先先从后排6人中选2人出来，共种不同选法，将这2人与前排4人排列，且前排4

人的相对顺序不变，可以看成有6个位置，先选2个位置排这2人有种不同排法，其余

位置按4人原顺序排好只有1种排法，由乘法原理，得不同调整方法的总数是.

故选：C

【点睛】

本题考查排列与组合的应用，涉及到定序排列问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.

7．【答案】D

【解析】由已知，4位同学各自在周六．周日两天中任选一天参加公益活动共有种不同的结果，而周六．周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：（1）一天一人，另一天三人，有种不同的结果；（2）周六．日各2人，有种不同的结果，故周六．周日都有同学参加公益活动有种不同的结果，所以周六．周日都有同学参加公益活动的概率为，选D．

考点：1.排列和组合；2.古典概型的概率计算公式．

8．【答案】A

【解析】先选出站在自己原来的位置的人种选法，然后剩下的4人都不站自己原来的位置，得出答案.

详解：先从5个人中选出站在自己原来的位置的有种选法

设剩下的4个人为.则他们都不站自己原来的位置，分下列几步完成:

 (1)假设先安排，则有种选法.

(2)当站好后，站的位置原来站的是谁，接下来就安排这个人来选位置，有种选法.

(3)接下来，剩下的两个人和两个位置中,至少有1人，他原来站的位置留下来了，都不站原来的位置，则只有1种站法.

所以共有种选法.

故选：A

【点睛】

本题考查排列．组合及简单的计数问题，注意分析满足“恰有1个人站在自己原来的位置”的要求，属于中档题.

9．【答案】D

【解析】将5项工作分成3组，每组至少有一项工作，然后3名志愿者每人分得一组即可.

详解：将5项工作分成3组，每组至少有一项工作，可以按3,1，1或1,2,2进行分组.

则有种不同的分组方法.

3名志愿者每人分得一组共有分法.

所以不同的安排方式共有种.

故选：D

【点睛】

本题考查排列组合中的分组分配问题，注意分组情况的讨论，属于中档题.

10．【答案】B

【解析】两位女生捆绑，方法数有种，男生排好方法数有种，个空位，将两个女生排进去，方法数有种，按分步计数原理，符合题意的方法数有种，总的方法数有种，故概率为.

考点：概率.

11．【答案】ABD

【解析】选项A， 选项B， 选项D，利用排列数公式和组合数公式的阶乘形式表示并整理即可说明；选项C，由组合数性质还原化简即可判定.

详解：选项A，左边= =右边，正确；

选项B，右边左边，正确；

选项C，右边左边，错误；

选项D，右边左边，正确.

故选：ABD

【点睛】

本题考查排列数公式和组合数公式的运算，还考查了组合数公式的性质，属于中档题.

12．【答案】C

【解析】根据题意，甲．乙两人中间恰有一人，把这三个人看做一个整体，利用“捆绑”法，再与其他的2个人进行排列.

详解：由题意，甲．乙两人中间恰有一人，把这三个人看做一个整体，则有种，

所以，5个人站成一排，且甲．乙两人中间恰有一人的站法有：种.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式．组合数公式的应用，相邻问题用“捆绑”法，属于基础题.

13．【答案】B

【解析】由题知结果有三种情况．甲．乙．丙三名同学全参加，有种情况，其中甲．乙相邻的有种情况，所以甲．乙．丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有种情况；甲．乙．丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有种情况；甲．乙．丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有种情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有种情况，故本题答案选

14．【答案】B

【解析】利用间接法可得答案.

详解：从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，

共有种选法，

其中不含女生的有种选法，

所以服务队中至少有1名女生的选法种数为.

故选：B

【点睛】

本题考查了有限制条件的排列组合综合题，使用间接法是解题关键，属于基础题.

15．【答案】C

【解析】分析：本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有种方法，用四种颜色涂色时，有种方法，根据分类计数原理得到结果.

详解：只用三种颜色涂色时，有种方法，

用四种颜色涂色时，有种方法，

根据分类计数原理得不同涂法的种数为120+360=480.

故答案为：C.

点睛：（1）本题主要考查计数原理，考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常用的方法有一般问题直接法．相邻问题捆绑法．不相邻问题插空法．特殊对象优先法．等概率问题缩倍法．至少问题间接法．复杂问题分类法．小数问题列举法.

16．【答案】B

【解析】利用组合数性质化简．

详解：．

故选：B．

【点睛】

本题考查组合数的性质，掌握组合数性质是解题基础，其中变形是关键．

17．【答案】B

【解析】由题意，分别计算出当集合的子集中含有元素个数为0．1．2．3．4．5时，元素1．2．3．4．5出现的次数，进而可得元素1．2．3．4．5出现的总次数，即可得解.

详解：当集合的子集为空集时，各元素之和为0；

当集合的子集含有1个元素时，共有个集合，1．2．3．4．5各出现1次；

当集合的子集含有2个元素时，共有个集合，1．2．3．4．5各出现4次；

当集合的子集含有3个元素时，共有个集合，1．2．3．4．5各出现6次；

当集合的子集含有4个元素时，共有个集合，1．2．3．4．5各出现4次；

当集合的子集含有5个元素时，共有个集合，1．2．3．4．5各出现1次；

所以集合各子集中，1．2．3．4．5各出现了次，

所以集合各子集中元素之和为.

故选：B.

【点睛】

本题考查了计数原理的应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题.

18．【答案】A

【解析】每所大学至少保送一人，可以分类来解，当5名学生分成2，2，1时，共有C52C32A33，当5名学生分成3，1，1时，共有C53A33，根据分类计数原理得到结果．

详解：当5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式，

当5名学生分成2，2，1时，共有C52C32A33=90种结果，

当5名学生分成3，1，1时，共有C53A33=60种结果，

∴根据分类计数原理知共有90+60=150种，

故选A．

【点睛】

求解排列．组合问题常用的解题方法：

(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”； （5） “在”与“不在”问题——“分类法”.