高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.3 组合与组合数随堂练习题

【优编】3.1.3 组合与组合数-1作业练习

一．单项选择

1．下列等式中正确的是（    ）

A．

B．，

C．，

D．

2．的值为（  ）

A．6 B．101 C． D．

3．某中学食堂被全市好评，其食物样品丰富．某天中午，1号窗口提供了6种不同的荤菜和4种不同的素菜菜品，某同学到该窗口准备选其中2种荤菜和一种素菜作为午餐，那么该同学共有（    ）种不同选择午餐的情况．

A．120 B．72 C．60 D．30

4．将6张不同的贺卡分给4名同学．每名同学至少1张，则不同的分法有（    ）

A．384种 B．960种 C．1560种 D．1620种

5．某天的值日工作由5名同学负责，包括清理讲台，扫地和拖地，每位同学只负责一项任务，每项任务至少有一人负责，则不同的分工共有（    ）

A．60种 B．120种 C．150种 D．240种

6．将1，2，4，7，0这5个数组成不同的五位偶数的个数为（    ）

A．24 B．54 C．60 D．72

7．要排出高三某班一天中，语文．数学．英语各节，自习课节的功课表，其中上午节，下午节，若要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（    ）

A． B． C． D．

8．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造.根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为，径粗，多用竹子制成，也有用木头．兽骨．象牙．金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带.需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上．炕上或地上都能摆弄.在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数字.如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用这6根算筹能表示的两位数的个数为（    ）

A．13 B．14 C．15 D．16

9．用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位偶数，若有且仅有2个奇数相邻，则这样的六位数共有（    ）

A．192个 B．216个 C．276个 D．324个

10．在6张奖券中有一等奖奖券1张．二等奖奖券2张．三等奖奖券3张．现有3个人抽奖，每人2张，则不同的获奖情况有（    ）

A. 15 B. 18 C. 24 D. 90

11．我省某医院呼吸科要从2名男医生，3名女医生中选派3人支持湖北省参加疫情防控工作，若这3人中至少有1名男医生，则选派方案有（    ）

A．60种 B．12种 C．10种 D．9种

12．某医院拟派甲．乙．丙．丁四位专家到3所乡镇卫生院进行对口支援，若每所乡镇卫生院至少派1位专家，每位专家对口支援一所医院，则选派方案有（    ）

A．18种 B．24种 C．36种 D．48种

13．电影院一排10个位置，甲．乙．丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（    ）

A．40 B．36 C．32 D．20

14．鱼缸里有8条热带鱼和2条冷水鱼，为避免热带鱼咬死冷水鱼，现在把鱼缸出孔打开，让鱼随机游出，每次只能游出1条，直至2条冷水鱼全部游出就关闭出孔，若恰好第3条鱼游出后就关闭了出孔，则不同游出方案的种数为（  ）

A．32  　　　B．36  　　　C．40   　　D．48

15．福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲．乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有(    )

A．90种 B．180种 C．270种 D．360种

16．中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为宫．商．角．徵．羽．如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫．羽两音阶不在角音阶的同侧，可排成的不同音序的种数为（    ）

A． B． C． D．

17．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理．生物．政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（    ）

A．8种 B．10种 C．12种 D．14种

18．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数的一种方法．例如：3可表示为“”，26可表示为“”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用这9数字表示两位数的个数为（     ）

A．13 B．14 C．15 D．16

参考答案与试题解析

1．【答案】ABC

【解析】分析：利用组合数的性质以及组合数的运算即可求解.

详解：对于A，由，可得，故A正确；

对于B，，，故B正确；

对于C，由，

令，可得，故C正确；

对于D，由，

所以，故D错误.

故选：ABC

【点睛】

本题考查了组合数的运算．性质，需熟记公式，属于基础题.

2．【答案】C

【解析】===

故选C

3．【答案】C

【解析】该同学选择午餐的这件事必须分两步完成：先从6种不同的荤菜中选两种有种，再从4种不同的素菜中选一种有种，

根据分步计数乘法得所求不同方法种数是.

故选：C

4．【答案】C

【解析】可分为两类：第一类：3位同学各一张，1位同学3张；第二类：2位同学各一张，2位同学各2张，结合排列．组合和分类计数原理，即可求解.

详解：由题意，将6张不同的贺卡分给4名同学．每名同学至少1张，可分为两类：

第一类：3位同学各一张，1位同学3张，共有种不同的分法；

第二类：2位同学各一张，2位同学各2张，共有种不同的分法；

由分类计数原理可得，共有种不同的分法.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了排列．组合的综合应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合排列．组合和计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

5．【答案】C

【解析】先将5名同学分成三组，再进行全排列，即可得出结果.

详解：将5名同学分成三组，每组至少一人，

若一组有3人，其余两组各1人，则有种情况；

若一组有1人，其余两组各2人，则有种情况；

将这三组进行全排列，则有种情况，

因此不同的分工共有：种.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查计数原理的应用，熟记两种计数原理即可，属于常考题型.

6．【答案】C

【解析】按个位数是0和不是0分类讨论．

详解：个位数为0的个，个位数从2,4中选一个，然后从其他3个非0数中选一个作首位，剩下3个全排列有个，

所以所求五位偶数的个数为．

故选：C．

【点睛】

本题考查排列组合的应用，解题时要注意特殊位置与特殊元素优先考虑的原则，对本题五位数而言，有两个特殊位置，末位要是偶数字，首位不能为0，因此要优先考虑．

7．【答案】C

【解析】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．

详解：根据题意，分两种情况进行讨论：

①语文和数学都安排在上午，要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻，将节语文课和节数学课分别捆绑，然后在剩余节课中选节到上午，由于节英语课不加以区分，此时，排法种数为种；

②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.

语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但节语文课不加以区分，节数学课不加以区分，节英语课也不加以区分，此时，排法种数为种.

综上所述，共有种不同的排法.

故选：C．

【点睛】

本题考查排列．组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．

8．【答案】D

【解析】根据题意，确定6根算筹，可以表示的数字组合，进而可确定每个组合可以表示的两位数，即可得出结果.

详解：根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为（1，5），（1，9），（2，4），（2，8），（6，4），（6，8），（3，3），（3，7），（7，7）；

数字组合（1，5），（1，9），（2，4），（2，8），（6，4），（6，8），（3，7）中，每组可以表示2个两位数，则可以表示个两位数；

而数字组合（3，3），（7，7）每组可以表示1个两位数，共2个两位数；

因此，用这6根算筹能表示的两位数的个数为16个.

故选D

【点睛】

本题主要考查简单的排列组合的应用，熟记排列组合的定义即可，属于常考题型.

9．【答案】A

【解析】这6个数字中，偶数有0，2，4，奇数有1，3，5.

要使所组成的六位数为偶数，且有且仅有2个奇数相邻，先将0可能出现在首位也考虑进去.这样共有个，

再减去0在首位的个数，

当0在首位，且有且仅有2个奇数相邻，末位也是偶数的，共有个.

所以满足题意的6位数共有个.

故选：A.

10．【答案】A

【解析】

11．【答案】D

【解析】根据题意，由间接法分析：先计算从5名医生中选派3人的选法，再计算其中没有男医生，即全部为女医生的选法，分析可得答案．

详解：根据题意，有2名男医生，3名女医生，共5名医生中选派3人，有种选法，

其中没有男医生，即全部为女医生的选法有种，

则有种不同的选法；

故选：D．

【点睛】

本题考查排列组合的应用，注意间接法分析，避免分类讨论，属于基础题．

12．【答案】C

【解析】根据题意，分2步进行分析：①将甲．乙．丙．丁四位专家分为3组，②将分好的三组全排列，对应3所乡镇卫生院，由分步计数原理计算可得答案．

详解：解：根据题意，分2步进行分析：

①将甲．乙．丙．丁四位专家分为3组，有种分组分法；

②将分好的三组全排列，对应3所乡镇卫生院，有种情况，

则有种选派方案；

故选：．

【点睛】

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．

13．【答案】A

【解析】根据题意，先排好7个空座位，注意空座位是相同的，其中6个空位符合条件，将3人插入6个空位中，注意甲必须在三人中间，然后再排乙，丙，最后用分步计数原理求解.

详解：除甲．乙．丙三人的座位外，还有7个座位，它们之间共可形成六个空，

三人从6个空中选三位置坐上去有种坐法，

又甲坐在中间，所以乙．丙有种方法，

所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有种.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查排列组合的实际应用，还考查了分析问题的能力，属于中档题.

14．【答案】A

【解析】

15．【答案】B

【解析】第一步，为甲地选一名志愿者，有=6种选法；

第二步，为乙地选一名志愿者，有=5种选法；

第三步，为剩下两个展区各安排两个人，有种选法．

故不同的安排方案共有6×5×6=180种．

故选B．

16．【答案】D

【解析】根据题意，将5个音阶全排列，共有5个位置，

如图，从左至右依次记为1,2,3,4,5，进而可以分以下三类求解.

当角音阶可以在2号位置，此时只需在宫．羽两音阶中选一个放置到1号位置，剩下的和个音阶和其余的两个任意安排到3,4,5号位置即可，故有种；

当角音阶可以在3号位置，此时只需在宫．羽两音阶中选一个放置到1号或2号位置，剩下的一个音阶放到4,5号位置，最后安排剩余的商．徵两个音阶，共有种；当角音阶可以在4号位置，此时与2号位置的安排方法相同，共有种；

故宫．羽两音阶不在角音阶的同侧，可排成的不同音序的种数为种.

故选：D

17．【答案】B

【解析】由课程表可知：物理课可以上任意一节，生物课只能上第2．3节，政治课只能上第1．3节，而自习课可以上任意一节.故以生物课（或政治课）进行分类，再分步排其他科目.由计数原理可得张毅同学不同的选课方法.

详解：由课程表可知：物理课可以上任意一节，生物课只能上第2．3节，政治课只能上第1．3．4节，而自习课可以上任意一节.

若生物课排第2节，则其他课可以任意排，共有种不同的选课方法.

若生物课排第3节，则政治课有种排法，其他课可以任意排，有种排法，

共有种不同的选课方法.

所以共有种不同的选课方法.

故选：.

【点睛】

本题考查两个计数原理，考查排列组合，属于基础题.

18．【答案】D

【解析】6根算筹可分为1．5,2．4，3．3，再根据图示写出可能的组合，即可得出答案。

详解：根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1．5，1．9，2．4，2．8，6．4，6．8，3．3，3．7，7．7；

数字组合1．5，1．9，2．4，2．8，6．4，6．8，3．7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示个两位数；

数字组合3．3，7．7，每组可以表示1个两位数，则可以表示个两位数；

则一共可以表示个两位数；

故选：．

【点睛】

本题结合算筹计数法，考查排列与组合，属于基础题，本题的关键在于读懂题意。