高中数学3.1.3 组合与组合数课堂检测

【名师】3.1.3 组合与组合数-1作业练习

一．单项选择

1．现有5名教师分到一中．二中．三中．四中4所学校任教，每所学校至少分配1名教师，其中甲教师必去一中，则有分配方法（    ）

A．48种 B．60种 C．72种 D．108种

2．若，则（    ）

A．9 B．8 C．7 D．6

3．把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（    ）

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

4．我省某医院呼吸科要从2名男医生，3名女医生中选派3人支持湖北省参加疫情防控工作，若这3人中至少有1名男医生，则选派方案有（    ）

A．60种 B．12种 C．10种 D．9种

5．我国的“生肖”，指代表十二地支而用来记人的出生年的十二种动物，即鼠？牛？虎？兔？龙？蛇？马？羊？猴？鸡？狗？猪，也叫属相.某四人要对十二生肖 选四个画图，每人画一个，每个生肖最多被选一次，且鼠和牛至少选一个，狗和猪都要选，则画图的种数为（    ）

A． B． C． D．

6．将1，2，4，7，0这5个数组成不同的五位偶数的个数为（    ）

A．24 B．54 C．60 D．72

7．袋中有100个球，其中红球10个，从中任取5个球，则至少有一个红球的取法种数是（    ）

A． B．

C． D．

8．高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（    ）

A．15种 B．90种 C．120种 D．180种

9．某次大学生知识大赛，某校代表队3人参赛，答4道题，每人至少答1道题，每题仅1人作答，则不同的题目分配方案种数为（    ）

A．24 B．30 C．36 D．42

10．用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位偶数，若有且仅有2个奇数相邻，则这样的六位数共有（    ）

A．192个 B．216个 C．276个 D．324个

11．某医院拟派甲．乙．丙．丁四位专家到3所乡镇卫生院进行对口支援，若每所乡镇卫生院至少派1位专家，每位专家对口支援一所医院，则选派方案有（    ）

A．18种 B．24种 C．36种 D．48种

12．某地环保部门召集5家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上随机安排3位负责人发言，则发言的3人来自3家不同企业的概率为（    ）

A． B． C． D．

13．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有（  ）

A．12种 B．18种 C．24种 D．．36种

14．精准扶贫点用2400元的资金为贫困户购买良种羊羔，共有肉用山羊．毛用绵羊．产奶山羊三种羊羔，价格均为每只300元，若要求每种羊羔至少买1只，则所有可能的购买方案总数为(    )

A．12 B．14 C．21 D．18

15．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数的一种方法．例如：3可表示为“”，26可表示为“”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用这9数字表示两位数的个数为（     ）

A．13 B．14 C．15 D．16

16．从5名男医生．4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男．女医生都有，则不同的组队方案共有

A．140种 B．80种 C．100种 D．70种

17．某中学食堂被全市好评，其食物样品丰富．某天中午，1号窗口提供了6种不同的荤菜和4种不同的素菜菜品，某同学到该窗口准备选其中2种荤菜和一种素菜作为午餐，那么该同学共有（    ）种不同选择午餐的情况．

A．120 B．72 C．60 D．30

18．现有甲．乙．丙．丁．戌5人参加社区志愿者服务活动，每人从事团购．体温测量．进出人员信息登记．司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.若甲．乙不会开车但能从事其他三项工作，丙．丁．戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（    ）

A．234 B．152 C．126 D．108

参考答案与试题解析

1．【答案】B

【解析】根据排列组合的方法考虑特殊位置,分去一中的只有甲教师与去一中的有甲教师与另外一个教师两种情况计算即可.

【详解】

由题,当去一中的只有甲教师时共有种.

当去一中的有甲教师与另外一个教师时共有种.

故共有种分配方法.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了排列组合的实际运用,需要根据题意根据特殊位置进行分类求解.属于中档题.

2．【答案】D

【解析】根据题意，由排列数．组合数公式可得，变形解可得的值，即可得答案．

详解：解：根据题意，若，则有，

变形可得，解可得；

故选：．

【点睛】

本题考查排列数．组合数公式的应用，注意排列数．组合数的计算公式，属于基础题．

3．【答案】D

【解析】根据题意可知一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，利用排列组合数进行计算.

详解：根据题意可知一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，不同的分发数为种.

故选：D

【点睛】

本题考查简单的排列组合问题，属于基础题.

4．【答案】D

【解析】根据题意，由间接法分析：先计算从5名医生中选派3人的选法，再计算其中没有男医生，即全部为女医生的选法，分析可得答案．

详解：根据题意，有2名男医生，3名女医生，共5名医生中选派3人，有种选法，

其中没有男医生，即全部为女医生的选法有种，

则有种不同的选法；

故选：D．

【点睛】

本题考查排列组合的应用，注意间接法分析，避免分类讨论，属于基础题．

5．【答案】C

【解析】采用分步乘法计数原理求解，第一步：先选生肖，第二步：将所选的生肖分配给画图的人，再将两个步骤的方法数相乘即可得到结果.

【详解】

第一步：先选生肖，包含以下三种情况：

第一种：鼠入选牛不入选，共可能，第二种：牛入选鼠不入选，共可能；第三种：鼠牛都入选，共种可能；

第二步：将所选生肖分配给人，共种方法；

所以画图的种数为：种.

故选：C.

【点睛】

本题考查排列组合的综合应用，难度一般.对于一个排列组合问题，需要先考虑是按照分步还是分类的方式求解方法数，同时注意特殊元素优先考虑.

6．【答案】C

【解析】按个位数是0和不是0分类讨论．

详解：个位数为0的个，个位数从2,4中选一个，然后从其他3个非0数中选一个作首位，剩下3个全排列有个，

所以所求五位偶数的个数为．

故选：C．

【点睛】

本题考查排列组合的应用，解题时要注意特殊位置与特殊元素优先考虑的原则，对本题五位数而言，有两个特殊位置，末位要是偶数字，首位不能为0，因此要优先考虑．

7．【答案】C

【解析】根据题意，可分别利用直接法和间接法求解，得到答案.

详解：由题意，袋中有100个球，其中红球10个，从中任取5个球，

至少有一个红球的取法有：

①直接法：种不同的取法；

②间接法：.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了排列．组合的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用直接法和间接法求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.

8．【答案】B

【解析】解：根据题意，5名同学需以“2，2，1”形式参加三个服务小组，即先把5名同学分成3组，每组人数为2，2，1人，共有种，再将三组分配到3个服务小组，共有种，

故选：B.

9．【答案】C

【解析】由题意分配方案种数为．故选：C．

10．【答案】A

【解析】这6个数字中，偶数有0，2，4，奇数有1，3，5.

要使所组成的六位数为偶数，且有且仅有2个奇数相邻，先将0可能出现在首位也考虑进去.这样共有个，

再减去0在首位的个数，

当0在首位，且有且仅有2个奇数相邻，末位也是偶数的，共有个.

所以满足题意的6位数共有个.

故选：A.

11．【答案】C

【解析】根据题意，分2步进行分析：①将甲．乙．丙．丁四位专家分为3组，②将分好的三组全排列，对应3所乡镇卫生院，由分步计数原理计算可得答案．

详解：解：根据题意，分2步进行分析：

①将甲．乙．丙．丁四位专家分为3组，有种分组分法；

②将分好的三组全排列，对应3所乡镇卫生院，有种情况，

则有种选派方案；

故选：．

【点睛】

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．

12．【答案】D

【解析】根据题意先求得从6人中选取三人的所有情况.再计算出选取的3人有来自相同企业的情况,由对立事件的性质即可求得发言的3人来自3家不同企业的概率.

【详解】

由题意,从6人中选取3人的所有情况为;

选择的3人有来自同一企业的所有情况为

则发言的3人来自3家不同企业的情况为

所以发言的3人来自3家不同企业的概率为,

故选:D.

【点睛】

本题考查了组合问题的实际应用,对立事件概率的求法和应用,属于基础题.

13．【答案】D

【解析】由题意结合排列组合的知识整理计算即可求得最终结果.

详解：由题意可知分配方案为一个乡镇2人，其余两个乡镇各一人，

据此结合排列组合公式可知，不同的分配方案有种.

本题选择D选项.

【点睛】

(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．

(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．

14．【答案】C

【解析】由于每只羊羔的价格均为300元，则共有8个购买羊羔的指标，即将问题转化为各种羊的购买指标分别是多少的问题，转化为隔板法处理.

详解：由于每只羊羔的价格均为300元，则共有8个购买羊羔的指标，

可以看成8个无差别的小球，三种不同的羊羔可以看成三个编号1，2，3的盒子，

则问题转化为把8个无差别的小球装入3个不同的盒子中，每个盒子至少装一个小球.

用隔板法，8个小球共有7个空，插2个隔板，共有种不同的购买方案，

故选：C.

【点睛】

本题考查隔板法解决名额分配问题，在解决名额分配时，常用隔板法处理，本题的关键是将问题转化为隔板模型，属于中档题.

15．【答案】D

【解析】6根算筹可分为1．5,2．4，3．3，再根据图示写出可能的组合，即可得出答案。

详解：根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1．5，1．9，2．4，2．8，6．4，6．8，3．3，3．7，7．7；

数字组合1．5，1．9，2．4，2．8，6．4，6．8，3．7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示个两位数；

数字组合3．3，7．7，每组可以表示1个两位数，则可以表示个两位数；

则一共可以表示个两位数；

故选：．

【点睛】

本题结合算筹计数法，考查排列与组合，属于基础题，本题的关键在于读懂题意。

16．【答案】D

【解析】分析：不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男．女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．

解：直接法：一男两女，有C51C42=5×6=30种，

两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种

间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，

都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84-10-4=70种．

故选D

点评：直接法：先分类后分步；间接法：总数中剔除不合要求的方法．

17．【答案】C

【解析】该同学选择午餐的这件事必须分两步完成：先从6种不同的荤菜中选两种有种，再从4种不同的素菜中选一种有种，

根据分步计数乘法得所求不同方法种数是.

故选：C

18．【答案】C

【解析】由题，分情况讨论，甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：种；

甲乙不同时参加一项工作，又分为两种情况：

①甲和乙分别承担一份工作，丙．丁．戌三人中有两人承担同一份工作，有：种；

②甲或乙与丙．丁．戌三人中的一人承担同一份工作：种.

由分类计数原理，可得共有种.

故选：