人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.3 组合与组合数第1课时学案设计

3.1.3　组合与组合数

第1课时　组合与组合数、组合数的性质

(教师独具内容)

课程标准：1.通过实例，理解组合的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式.

教学重点：理解组合的概念、组合数公式及组合数的性质.

教学难点：利用公式及性质解决一些简单的实际问题.

知识点一　　　组合的定义

一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合.

知识点二　　　组合与组合数公式

组合的定义包含两个基本内容：一是“取出对象”；二是“合成一组”，表示与对象的顺序无关，排列与组合的相同点是从n个不同对象中任取m个对象，不同点是组合是“不管对象的顺序合成一组”，而排列是要求对象按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的对象有无顺序．

组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m>时，通常不直接计算C而改为C，对于性质2，C＋C＝C要会正用、逆用、变形用．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)从a，b，c三个不同的对象中任取两个对象的一个组合是C.(　　)

(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C个积．(　　)

(3)若组合C＝C，则x＝m成立．(　　)

(4)C＝5×4×3＝60.(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________．

(2)C＝________.

(3)C＋C＝________.

答案　(1)20　(2)190　(3)161700

题型一  组合的有关概念

例1　给出下列问题：

(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？

(2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？

(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？

(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？

(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？

(6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？

在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？

[解]　(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．

(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．

(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．

(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．

(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的对象，没有顺序，是组合问题．

(6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题．

教材

判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个对象的先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．

　判断下列问题是排列问题，还是组合问题：

(1)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？

(2)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？

(3)从a，b，c，d这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？

(4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？

解　(1)从集合A中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此，此问题只与取出的对象有关，与对象的顺序无关，故是组合问题．

(2)从集合A中取出两个数相除，若改变其除数、被除数的位置，其结果就不同，因此其商的值与对象的顺序有关，是排列问题．

(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题．

(4)四人互发电子邮件，由于发件人与收件人是有区别的，与顺序有关，是排列问题.

题型二  组合数以及组合数性质的应用

例2　(1)计算：C－CA；

(2)已知－＝，求C；

(3)求C＋C的值；

(4)证明：mC＝nC.

[解]　(1)原式＝C－A＝－7×6×5

＝210－210＝0.

(2)原方程可化为＝，

即

＝，

即，

即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21(不符合题意，舍去)．

∴C＝C＝28.

即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21(不符合题意，舍去)．

∴C＝C＝28.

(3)∵∴9.5≤n≤10.5.

∵n∈N，∴n＝10，

∴C＋C＝C＋C

＝＋＝466.

(4)证明：mC＝m·

＝n·＝nC.

点睛

(1)像排列数公式一样，公式

C＝一般用于计算；而公式C＝及C＝一般用于证明、解方程(不等式)等．

(2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“m≤n且m，n∈N”的运用．如本例(3)．

(3)要注意公式A mn＝CA的逆向运用，如本例(1)中可利用“CA＝A”简化计算过程．

(4)本例(4)所推导的结论“mC＝nC”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握．

　(1)①求值：C＋C；

②求证：C＝C.

(2)计算：①C＋CC；

②C＋C＋C＋C＋C＋C；

③CC.

解　(1)①解得4≤n≤5.

又n∈N，所以n＝4或n＝5.

当n＝4时，原式＝C＋C＝5，

当n＝5时，原式＝C＋C＝16.

②证明：因为C＝，

C＝

＝，

所以C＝C.

(2)①原式＝C＋C×1＝＋＝56＋4950＝5006.

②原式＝2(C＋C＋C)＝2(C＋C)

＝2×＝32.

③原式＝CC＝(n＋1)n＝n2＋n.

题型三  简单的组合问题

例3　现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．

(1)从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？

(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？

(3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？

[解]　(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同对象中取出2个对象的组合数，即有C＝＝45种不同的选法．

(2)可把问题分两类：第1类，选出2名男教师，有C种方法；第2类，选出2名女教师，有C种方法，即共有C＋C＝21种不同的选法．

(3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有CC＝×＝90种不同的选法．

点睛

解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出的对象之间的顺序有关，而组合问题与取出对象的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．

　在50件产品中，有4件次品，现从中任意抽取3件．

(1)“全部是合格品”的不同抽取方法共有多少种？

(2)“恰有2件次品”的不同抽取方法共有多少种？

(3)“最多有1件次品”的不同抽取方法共有多少种？

解　在50件产品中，有4件次品，即有46件合格品．

(1)抽取的3件产品“全部是合格品”，即在46件合格品中任取3件即可，有C＝15180种取法．

(2)在46件合格品中任取1件，在4件次品中任取2件，根据分步乘法计数原理，共有CC＝276种取法．

(3)分两类：第1类，抽取的3件产品中有1件次品，2件合格品，有CC种取法；第2类，抽取的3件产品全为合格品，有C种取法，故共有CC＋C＝19320种取法．

1．下列问题不是组合问题的是  (　　)

A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？

B．平面上有2020个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？

C．集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三个元素的子集有多少个？

D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？

答案　D

解析　组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，故选D.

2．若C－C＝C，则n等于(　　)

A．12  B．13  C．14  D．15

答案　C

解析　∵C＝C＋C＝C，∴n＋1＝7＋8，∴n＝14，故选C.

3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有  (　　)

A．A种  B．C种

C．CA种  D．30种

答案　B

解析　三张票没区别，从10人中选3人即可，即C，故选B.

4．若C>C，则n的集合是________．

答案　{6,7,8,9}

解析　∵C>C，

∴⇒

⇒⇒

∵n∈N，∴n＝6,7,8,9.∴n的集合为{6,7,8,9}．

5．现有6名内科医生和4名外科医生，要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？

(1)有3名内科医生和2名外科医生；

(2)既有内科医生，又有外科医生．

解　(1)先选内科医生有C种选法，再选外科医生有C种选法，故有CC＝120种选派方法．

(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生选1人，2人，3人，4人，相应地，外科医生选4人，3人，2人，1人，有CC＋CC＋CC＋CC＝246种选派方法．

若从反面考虑，则有C－C＝246种选派方法．

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．已知组合数C＝6，则在平面直角坐标系内以点(x，y)为顶点的图形是  (　　)

A．三角形  B．平行四边形

C．梯形  D．矩形

答案　A

解析　当x＝6，y＝1；x＝6，y＝5；x＝4，y＝2时，C＝6，所以满足题意的点有(6,1)，(6,5)，(4,2)，共3个，可构成三角形．故选A.

2．从2,3，…，8中任意取三个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为   (　　)

A．35  B．42  C．105  D．210

答案　A

解析　由于取出三个数字后大小次序已确定，只需把最小的数字放在百位，最大的数字放在个位，剩下的数字放在十位，因此满足条件的三位数的个数为C＝＝35.

3．从6名男生和3名女生中选出4名代表，其中必须有女生，则不同的选法种数为(　　)

A．168  B．45  C．60  D．111

答案　D

解析　选出的代表中女生有1,2,3名时，男生相应有3,2,1名，则不同的选法种数为CC＋CC＋CC＝111.

4．C＋C＋C＋C＋…＋C＝(　　)

A．C  B．C  C．C  D．C

答案　D

解析　原式＝C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝C.故选D.

5．(多选)以下四个式子正确的是(　　)

A．C＝  B．A＝nA

C．C÷C＝  D．C＝C

答案　ABCD

解析　对于A，显然成立；对于B，A＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)，A＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，所以A＝nA，故B成立；对于C，C÷C＝＝＝，故C成立；对于D，C＝＝＝C，故D成立．故选ABCD.

二、填空题

6．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A的含有3个元素的子集共有________个．

答案　10

解析　从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有C＝10个子集．

7．若A＝6C，则m的值为________．

答案　7

解析　由A＝6C，得＝6·，即＝，解得m＝7.

8．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．

答案　140

解析　第一步，从7名志愿者中选出3人在周六参加社区公益活动，有C种不同的选法；第二步，从余下的4人中选出3人在周日参加社区公益活动，有C种不同的选法．

根据分步乘法计数原理，共有CC＝140种不同的安排方案．

三、解答题

9．有两组平行线，第一组平行线有5条，第二组平行线有6条，第一组平行线与第二组平行线相交，问这两组平行线能构成多少个平行四边形？

解　每一个平行四边形有两组对边平行，即两组对边平行的一个组合对应于一个平行四边形．而两组对边平行的组合数为CC＝150.因此能构成150个平行四边形．

10．(1)解方程：3C＝5A；

(2)解不等式：2C<3C；

(3)计算C＋C＋C＋…＋C.

解　(1)由排列数和组合数公式，原方程可化为

即(x－3)(x－6)＝40.

∴x2－9x－22＝0，解得x＝11或x＝－2.

经检验知x＝11是原方程的根，x＝－2是原方程的增根．

∴方程的根为x＝11.

(2)∵2C<3C，∴2C<3C，

∴<，∴x<，

∵∴x≥2，

∴2≤x<，又x∈N*，

∴x＝2,3,4,5.

∴不等式的解集为{2,3,4,5}．

(3)由题意，得解得≤n≤，

又n∈N*，故n＝6.

∴原式＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝19＋18＋17＋…＋12＝124.

B级：“四能”提升训练

1．(1)设x∈N*，求C＋C的值；

(2)解不等式：C＜C＜C.

解　(1)由题意可得解得2≤x≤4，

∵x∈N*，∴x＝2或x＝3或x＝4，

当x＝2时，原式值为4；

当x＝3时，原式值为7；

当x＝4时，原式值为11.

∴所求式的值为4或7或11.

(2)原不等式可化为

又x∈N*且x≥4，∴x＝4,5,6,7,8,9,10.

∴原不等式的解集是{4,5,6,7,8,9,10}．

2．某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种．

(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？

(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？

(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？

解　(1)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种，有CC＝2100种．

所以恰有2种假货在内的不同取法有2100种．

(2)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方法CC＋C＝2555种．

所以至少有2种假货在内的不同取法有2555种．

(3)选取3种商品的种数为C，选取3种假货的种数为C，所以至多有2种假货在内的不同取法有C－C＝6090种．