人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.3 组合与组合数课后测评

【特供】3.1.3 组合与组合数-3练习

一．单项选择

1．某科技小组有四名男生两名女生.现从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为(    )

A． B． C． D．

2．下列等式中，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

3．2019年4月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（      ）

A．150种 B．240种 C．300种 D．360种

4．为深入贯彻实施党中央布置的“精准扶贫”计划，某地方党委政府决定安排名党员干部到个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配名党员干部，则不同的分配方案共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

5．某次中俄军演中，中方参加演习的有4艘军舰．3架飞机；俄方有5艘军舰．2架飞机.从中俄两方中各选出2个单位（1艘军舰或1架飞机都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），则选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（    ）

A．180种 B．160种 C．120种 D．38种

6．《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫．不更．簪袅．上造．公士，凡五人，共猎得五鹿.欲以爵次分之，问各得几何.”在这个问题中，大夫．不更．簪袅．上造．公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫．不更．簪枭．上造．公士这5人分成两组（一组2人，一组3人），派去两地执行公务，则大夫．不更恰好在同一组的概率为（    ）

A． B． C． D．

7．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是（    ）

A． B． C． D．

8．为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资.爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有（    ）

A．10种 B．40种

C．80种 D．240种

9．已知集合，则集合各子集中元素之和为（    ）

A．320 B．240 C．160 D．8

10．有来自甲乙丙三个班级的5位同学站成一排照相，其中甲班2人，乙班2人，丙班1人，则仅有一个班级的同学相邻的站法种数有（    ）

A．96 B．48 C．36 D．24

11．有红．黄．蓝三个小球放到7个不同的盒子里，每个盒子最多放两个球，放到同一个盒子的两球不考虑顺序，则不同的放法数为(    )

A．336 B．320 C．240 D．216

12．如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（    ）.

A．40320种 B．5040种 C．20160种 D．2520种

13．某校选定甲．乙．丙．丁．戊共5名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有（   ）种

A．27 B．36 C．33 D．30

14．将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有（   ）

A．150种 B．180种 C．240种 D．540种

15．某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选的不同选法有16种，则小组中的女生人数为（  ）

A．2 B．3 C．4 D．5

16．若将6本不同的书放到5个不同的盒子里，有多少种不同的放法（    ）

A． B． C． D．

17．某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种（    ）

A．60 B．90 C．120 D．150

18．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（  ）

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】分只有一名女生入选和有二名女生入选两种情况，结合分步乘法计数原理以及分类加法计数原理，即可得出答案.

详解：当只有一名女生入选时，先选1名女生，有种，再选2名男生，有种，则根据分步乘法计数原理可知，有种

当有二名女生入选时，选选2名女生，有种，再选1名男生，有种，则根据分步乘法计数原理可知，有种

所以从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为

故选：C

【点睛】

本题主要考查了组合的应用，涉及了分步乘法计数原理以及分类加法计数原理的应用，属于中档题.

2．【答案】ABD

【解析】选项A， 选项B， 选项D，利用排列数公式和组合数公式的阶乘形式表示并整理即可说明；选项C，由组合数性质还原化简即可判定.

详解：选项A，左边= =右边，正确；

选项B，右边左边，正确；

选项C，右边左边，错误；

选项D，右边左边，正确.

故选：ABD

【点睛】

本题考查排列数公式和组合数公式的运算，还考查了组合数公式的性质，属于中档题.

3．【答案】A

【解析】根据题意，需要将5个安保小组分成三组，分析可得有2种分组方法：按照1．1．3分组或按照1．2．2分组，求出每一种情况的分组方法数目，由加法计数原理计算可得答案．

详解：根据题意，三个区域至少有一个安保小组，

所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分法：

按照1．1．3分组或按照1．2．2分组；

若按照1．1．3分组,共有种分组方法；

若按照1．2．2分组,共有种分组方法，

根据分类计数原理知共有60+90=150种分组方法.

故选：A.

【点睛】

本题考查排列．组合及简单计数问题，本题属于分组再分配问题，根据题意分析可分组方法进行分组再分配，按照分类计数原理相加即可，属于简单题.

4．【答案】C

【解析】先从5个党员干部里选2个，再从4个贫困村里选1个接受选出的2个党员，剩下的3名党员分配给3个贫困村，即得解.

详解：先从5个党员干部里选2个，有种方法，再从4个贫困村里选1个接受选出的2个党员，有种方法，剩下的3名党员分配给3个贫困村，有种方法.所以共有种方法.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

5．【答案】A

【解析】分两类进行，第一类，飞机来自中方得到方法数，第二类，飞机来自俄方得到方法数，然后两类求和.

详解：分两类，第一类，飞机来自中方，有种，

第二类，飞机来自俄方，有种，

所以选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有180种.

故选：A

【点睛】

本题主要考查分类加法计数原理和组合问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

6．【答案】B

【解析】基本事件总数，大夫．不更恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出大夫．不更恰好在同一组的概率．

详解：皇帝将大夫．不更．簪枭．上造．公士这5人分成两组(一组2人，一组3人)，派去两地执行公务， 基本事件总数，

大夫．不更恰好在同一组包含的基本事件个数，

所以大夫．不更恰好在同一组的概率为．

故选：B．

【点睛】

本题考查了概率的求法，考查古典概型．排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

7．【答案】A

【解析】先求事件“选出的2名同学中至少有1名女同学”的对立事件概率，求解“选出的2名同学中至少有1名女同学”的概率即可.

详解：事件“选出的2名同学中至少有1名女同学”的对立事件为“选出的2名同学均为男同学”，其概率为，故“选出的2名同学中至少有1名女同学”的概率为.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了根据组合．对立事件求解事件概率的问题，属于基础题.

8．【答案】A

【解析】分四家医院分配到的口罩箱数分别为1,1,2,2与1,1,1,3两种情况,分别计算再求和即可.

详解：由题意, 因为6箱医用外科口罩的规格相同,故四家医院分配到的口罩箱数有1,1,2,2与1,1,1,3两种情况,则分配的方法有：

①1,1,2,2：从4家医院中选择两家,分别分配1箱,共种.

②1,1,1,3：从4家医院选出1家,分配给3箱,共种.

共种.

故选：A

【点睛】

本题考查了分类求解组合的问题,需要注意6箱医用外科口罩的规格相同,故只需考虑每家医院所得的箱数.属于基础题.

9．【答案】B

【解析】由题意，分别计算出当集合的子集中含有元素个数为0．1．2．3．4．5时，元素1．2．3．4．5出现的次数，进而可得元素1．2．3．4．5出现的总次数，即可得解.

详解：当集合的子集为空集时，各元素之和为0；

当集合的子集含有1个元素时，共有个集合，1．2．3．4．5各出现1次；

当集合的子集含有2个元素时，共有个集合，1．2．3．4．5各出现4次；

当集合的子集含有3个元素时，共有个集合，1．2．3．4．5各出现6次；

当集合的子集含有4个元素时，共有个集合，1．2．3．4．5各出现4次；

当集合的子集含有5个元素时，共有个集合，1．2．3．4．5各出现1次；

所以集合各子集中，1．2．3．4．5各出现了次，

所以集合各子集中元素之和为.

故选：B.

【点睛】

本题考查了计数原理的应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题.

10．【答案】B

【解析】根据分步乘法计数原理及插空法即可求解.

【详解】

由题意知，可以是甲班的2名同学相邻也可以是乙班的2名同学相邻，相邻的2名同学和丙班的1名同学站队，共有种站法，再将另外一个班级的2名同学进行插空，共有种方法，由分步乘法计数原理知，仅有一个班级的同学相邻的站法种数为.

故选：B

11．【答案】A

【解析】分3个球分别放到不同盒子里及3个球中有2个球放到同一个盒子里两种情况求出放法种数，再根据分类加法规则相加即可得解.

详解：3个球分别放到不同盒子里的放法有种；3个球中有2个球放到同一个盒子里的放法有种，所以总共有336种放法.

故选：A

【点睛】

本题考查分类加法计数原理，简单的排列组合，属于基础题.

12．【答案】D

【解析】先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，结合图形的对称性，即可求解.

详解：先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有种方法，

再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，共有种方法，

由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次，

所以不同的涂色方法，共有种不同的涂法.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了排列．组合及分步计数原理的应用，其中解答中注意图形的对称性，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

13．【答案】D

【解析】因为甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2．2．1和3．1．1两种分配方案，

14．【答案】A

【解析】每所大学至少保送一人，可以分类来解，当5名学生分成2，2，1时，共有C52C32A33，当5名学生分成3，1，1时，共有C53A33，根据分类计数原理得到结果．

详解：当5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式，

当5名学生分成2，2，1时，共有C52C32A33=90种结果，

当5名学生分成3，1，1时，共有C53A33=60种结果，

∴根据分类计数原理知共有90+60=150种，

故选A．

【点睛】

求解排列．组合问题常用的解题方法：

(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”； （5） “在”与“不在”问题——“分类法”.

15．【答案】A

【解析】分析：设有女生x人，结合题意得到关于女生人数的组合方程，求解关于x的方程即可确定女生人数.

详解：设有女生x人，则有男生6-x人，于是有，

即（6-x)（5-x)（4-x)=24，整理可得：，

解得x=2.

本题选择A选项.

点睛：组合问题常有以下两类题型变化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．

(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．

16．【答案】C

【解析】将6本不同的书放到5个不同的盒子里，每本书都有5种放法，然后由乘法原理可得答案.

详解：将6本不同的书放到5个不同的盒子里，每本书都有5种放法，

根据乘法原理可得不同放法为种.

故选：C

【点睛】

本题考查的是分步乘法计数原理，较简单.

17．【答案】D

【解析】将5项工作分成3组，每组至少有一项工作，然后3名志愿者每人分得一组即可.

详解：将5项工作分成3组，每组至少有一项工作，可以按3,1，1或1,2,2进行分组.

则有种不同的分组方法.

3名志愿者每人分得一组共有分法.

所以不同的安排方式共有种.

故选：D

【点睛】

本题考查排列组合中的分组分配问题，注意分组情况的讨论，属于中档题.

18．【答案】B

【解析】两位女生捆绑，方法数有种，男生排好方法数有种，个空位，将两个女生排进去，方法数有种，按分步计数原理，符合题意的方法数有种，总的方法数有种，故概率为.

考点：概率.