数学第三章 排列、组合与二项式定理3.1 排列与组合3.1.1 基本计数原理精练

【精选】3.1.1 基本计数原理-1练习

一．单项选择

1．甲．乙．丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高．铅球．跳远．100米比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名方法（    ）

A．12 B．24 C．64 D．81

2．“精准扶贫”已成为我国脱贫攻坚的基本方略．某县为响应国家政策，选派了5名工作人员到三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（    ）

A．25种 B．60种 C．150种 D．540种

3．今年国庆假日期间甲？乙等6人计划分两组（每组3人）去旅行，每组将在云南丽江？广西桂林？河北石家庄？内蒙古呼和浩特选1个地方，且每组去的地方不同.已知甲不想去云南，乙只想去广西，其余4人这4个地方都想去，则他们分组旅行的方案种数为（    ）

A．24 B．30 C．18 D．36

4．若有4名游客要到某地的3个旅游景点去旅游，则不同的安排方法数为（    ）

A．4 B．64 C．24 D．81

5．从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从A村经B村去C村，则不同的路线有几条？（    ）

A．5 B．6 C．8 D．9

6．用0．1．2．3．4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（    ）

A．60个 B．40个 C．30个 D．24个

7．已知一个不透明的袋子中放有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的7个大小？形状相同的小球，小明从袋子中有放回地取3次球，每次只取一个球，且3次取出的球的编号相乘的结果为偶数？相加的结果为奇数，则不同的取球方法种数为（    ）

A．712 B．216 C．108 D．72

8．某学校有东．南．西．北四个校门，受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园.现有2名教师和4名学生要进入校园（不分先后顺序），则他们进入校园的方式共有（    ）

A．12种 B．24种 C．48种 D．64种

9．某单位在一次团建时，组织了一次寻宝活动，参加活动的人从点出发，到点停止，途中要在，，三个藏宝地点找到宝物.已知各点之间的路线距离（单位：百米）见下表.若每个藏宝地点只经过一次，那么寻宝路线的最短距离是（    ）

A．23 B．22 C．21 D．20.6

10．从红．黄．蓝三种颜色中选出若干种颜色，给如图所示的四个相连的正方形染色，若每种颜色只能涂一个正方形或两个正方形，且相邻两个正方形所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（    ）

A．12 B．18 C．24 D．36

11．用5种不同的颜色对一个四棱锥各个顶点着色，若由同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有（    ）

A．120种 B．420种 C．240种 D．180种

12．四名学生报名参加五项体育比赛.每人限报一项，不同的报名方法有（    ）种

A． B． C．120 D．20

13．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子有种办法，若要买上衣，裤子各一件有种办法，则分别为（    ）

A．270，270 B．270，33 C．33，270 D．33，33

14．如图，某市由四个县区组成，现在要给地图上的四个区域染色，有红？黄？蓝？绿四种颜色可供选择，并要求相邻区域颜色不同，则不同的染法种数有（    ）

A．64 B．48 C．24 D．12

15．某学校要对如图所示的5个区域进行绿化（种花），现有4种不同颜色的花供选择，要求相邻区域不能种同一种颜色的花，则共有（    ）种不同的种花方法．

A．24 B．36 C．48 D．72

16．如图，一条电路从处到处接通时，可构成的通路有（    ）

A．8条 B．6条 C．5条 D．3条

17．现有甲．乙．丙三种树苗可供选择，分别种在一排五个坑中，要求相同的树苗不能相邻，第一．五坑内只能种甲种树苗，则不同的种法共有（    ）

A．4种 B．5种 C．6种 D．7种

18．如图的六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有3种不同颜色可供选择，则共有（    ）种不同的染色方案.

A．48 B．64 C．96 D．108

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】分析：根据题意，可知三个同学中每人有4种报名方法，由分步计数原理即可得到.

详解：甲．乙．丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高．铅球．跳远．100米比赛，每人限报一项, 每人有4种报名方法，

根据分步计数原理，可知共有种不同的报名方法.

故选：C

2．【答案】C

【解析】分析：先把5名工作人员分成3组，再安排到3个村即可求出结果.

详解：把5个人分成3组，有两类分法：①5=1+1+3，则有种；②5=1+2+2，则有种，所以共有25种分法，根据题意，所求方法数有种，

故选：C.

3．【答案】A

【解析】分析：分两种情况讨论，甲乙都去广西．甲不去广西分别求出所对应方案数，再根据分类加法计数原理计算可得；

详解：解：若甲和乙都去广西桂林，则有种方案；

若甲不去广西桂林，则有种方案.

故他们分组旅行的方案种数为.

故选：A

4．【答案】D

【解析】分析：由题意可知每个游客都有3种选法，所以分步乘法原理可求得结果

详解：解：由有4名游客要到某地的3个旅游景点去旅游，可知每个游客都有3种选法，

所以由分步乘法原理可得共有种不同的安排方法，

故选：D

5．【答案】B

【解析】分析：根据题意，由分步乘法原理即可得出答案.

详解：解：从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，

根据分步乘法原理可得从A村经B村去C村，则不同的路线有条.

故选：B.

6．【答案】C

【解析】分析：分两类进行求解：第一类排在末位；第二类．排在末位，然后每一类按照分步计数原理求解即可.

详解：由题意可分为两类：

第一类 末位数字为时，百位数字有种排法，十位数字有种，根据分步计数原理，共有种排法；

第二类 ①末位数字为或中一个时，有种排法；

②再从除以外的个数中，选一个放在百位有种排法，再从剩余的个数中，选一个放在十位数字有种排法，

根据分步计数原理，共有种排法；

根据分类计数原理，共有种排法.

故选：C

7．【答案】C

【解析】分析：由已知判断3次取球中只能有一次取到奇数号球，2次取到偶数号球，进而利用乘法原理求得结果.

详解：根据3次取出的球的编号相乘的结果为偶数？相加的结果为奇数可知，有一次取出的球的编号为奇数，2次取出的球的编号为偶数，先确定哪一次得到奇数号球，然后从4个奇数号球中取一个，再每次都从3个偶数号球中任取一个（有放回取球），

故满足题意的取球方法有(种).

【点睛】

本题考查乘法原理的实际应用，关键是根据已知条件进行分析得出三次取球中取得奇数号球的次数恰为依次，并熟练运用乘法原理计数.

8．【答案】D

【解析】分析：利用分步乘法计数原理计算出方法总数.

详解：因为学生只能从东门或西门进入校园，所以4名学生进入校园的方式共种.因为教师只可以从南门或北门进入校园，所以2名教师进入校园的方式共有种.故进入校园的方式共有16×4=64种.

故选：D

9．【答案】C

【解析】分析：先根据表格中数据画出关系图，然后利用排列的知识逐一列举各种不同的走法，并计算路程，最后进行比较即得.

详解：

A-B-C-D-E:5+7+9+5=26;

A-B-D-C-E:5+6+9+8.6=28.6;

A-C-B-D-E:4+7+6+5=22;

A-C-D-B-E:4+9+6+2=21;

A-D-B-C-E:5+6+7+8.6=26.6;

A-D-C-B-E:5+9+7+2=23.

∴最短路径为A-C-D-B-E，距离最小值为21.

故选：C.

10．【答案】C

【解析】分析：先讨论使用颜色种数，再根据题意进行涂色，结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理计算即可.

详解：正方形从左到右依次标号1，2，3，4.

若使用2种颜色，则颜色的取法有3种，故正方形1，3颜色相同，2，4颜色相同，有2种涂法，共种方案；

若使用3种颜色，则颜色的取法有1种；故四个正方形有两个不相邻必须同色，即1，3颜色相同，或者1，4颜色相同，或者2，4颜色相同，有3种方案；然后先涂相同色，再涂其余2个，共有种涂法.故共有种方案.

综上，符合要求的不同涂色方案有种.

故选：C.

11．【答案】B

【解析】分析：利用分步乘法原理和分类加法原理求解即可，即先依次给点P，A，B涂色，再分C与A颜色相同和C与A颜色不相同，给C，D涂色即可

详解：设四棱锥为，则由题意，点P，A，B分别有5，4，3种涂法，

当C与A颜色相同时，C有1种涂色方法，此时D有3种涂色方法，

当C与A颜色不相同时，C有2种涂色方法，此时D有2种涂色方法，

故此时共有种涂色方法.

故选：B

12．【答案】B

【解析】分析：利用分步计数原理，计数结果.

详解：每名学生有5种方法，根据分步计数原理，4名同学有种方法.

故选：B

13．【答案】C

【解析】分析：利用分类加法原理和分步乘法原理求解.

详解：由分类加法原理得,

由分步乘法原理得.

故选：C

14．【答案】B

【解析】分析：利用分步乘法计数原理即可求解.

详解：先染④有种染法，①有种染法，

③有种染法，②有种染法，

所以不同的染法种数有.

故选：B

15．【答案】D

【解析】分析：分区域2，4同色和不同色两种情况讨论得解.

详解：解：①区域2，4同色时，有4×3×2×2＝48种；

②区域2，4不同色时，有4×3×2×1×1＝24种，

由①②可得：一共有72种着色方法．

故选：D．

16．【答案】B

【解析】分析：分别写出处．处的连通方式，进而确定构成通路的条数.

详解：由图知：要构成通路，则处有种方式，处种方式，

∴可构成的通路有种.

故选：B

17．【答案】C

【解析】分析：由题意知，只有中间三个坑需要选择树苗，然后结合分类计数原理和分步计数原理分析即可求出结果.

详解：因为同种树苗不相邻且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗，所以只有中间三个坑需要选择树苗，

（1）当中间一个种甲时，第二个和第四个坑都有两种选法，共有4种选法，

（2）当中间一个不种甲时，则中间一个种乙或丙，

①当中间这个种乙时，第二个和第四个位置树苗种丙，

②当中间这个种丙时，第二个和第四个位置树苗种乙，

故一共有6种种法.

故选：C.

18．【答案】C

【解析】分析：区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色，根据图形特点，先考虑涂中间的部分，再考虑三角形的部分即可.

详解：先染中间有3种方法，再染5个三角形有，

则总方法数为：96.

故选：C