高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第三章 排列、组合与二项式定理3.1 排列与组合3.1.1 基本计数原理课前预习ppt课件

3.1　排列与组合

3.1.1　基本计数原理

第1课时　基本计数原理

1．分类加法计数原理

完成一件事，如果有n类办法 且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．

思考：在分步乘法计数原理中，第1步采用的方法与第2步采用的方法之间有影响吗？

[提示]　无论第1步采用哪种方法，都不影响第2步方法的选取．

拓展：两个计数原理的区别与联系：

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同． (　　)

(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．(　　)

(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．  (　　)

(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．               (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4) ×

2．(教材P4尝试与发现改编)从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为(　　)

A．1＋1＋1＝3　 B．3＋4＋2＝9

C．3×4×2＝24   D．以上都不对

B　[分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法．]

3．已知x∈{2,3,7}，y∈{－1，－2,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是(　　)

A．1 B．3 

C．6　 D．9

D　[这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－1，－2,4}中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点．]

4．一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一门出，共有不同走法________种．

16　[由分步乘法计数原理得4×4＝16.]

【例1】　(1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？

(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

[解]　(1)分四类：

从一班中选一人，有4种选法；

从二班中选一人，有5种选法；

从三班中选一人，有6种选法；

从四班中选一人，有7种选法．

共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22(种)．

(2)法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．

法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．

利用分类加法计数原理计数时的解题流程

提醒：确定分类标准时要确保每一类都能独立的完成这件事．

【例2】　(教材P6例2改编)一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)?

[思路点拨]　根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步乘法计数原理．

[解]　按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：

第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；

第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；

第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；

第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.

根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000个四位数的号码．

利用分步乘法计数原理计数时的解题流程

提醒：分步时要注意不能遗漏步骤，否则就不能完成这件事．

[探究问题]

如何区分一个问题是“分类”还是“分步”？

[提示]　如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都可以完成任务，则是分类；而从其中任何一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各种情况，才完成这件事，则是分步．

【例3】　现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．

(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？

(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？

(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？

[思路点拨]　

[解]　(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法．

(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法．

(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；

第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；

第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法．

所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法．

1．当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法．

2．分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．

3．混合问题一般是先分类再分步．

一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡．

(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡供自己使用，共有多少种不同的取法？

(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？

[解]　(1)第一类：从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；

第二类：从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．

根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22种取法．

(2)第一步，从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；

第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120种取法．

1．使用两个原理解题的本质

→→

→→

2．利用两个计数原理解决实际问题的常用方法

1．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有(　　)

A．3种　　　　 B．4种

C．7种　 D．12种

C　[选择课程的方法有2类：从A类课程中选一门有3种不同方法，从B类课程中选1门有4种不同方法，∴共有不同选法3＋4＝7种．]

2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(　　)

A．7 B．12　　　　 

C．64　 D．81

B　[先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4×3＝12(种)不同配法．故选B.]

3．某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有(　　)

A．1种　　　 B．2种　　　 

C．3种 D．4种

C　[分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3种．故选C.]

4．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有________条．

12　[经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步确定出口，从剩余3个路口任选一个共3种，由分步乘法计数原理知不同的路线有4×3＝12条．]

5．有不同的红球8个，不同的白球7个．

(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？

(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？

[解]　(1)由分类加法计数原理，从中任取一个球共有8＋7＝15(种)．

(2)由分步乘法计数原理，从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56(种)．