课后素养落实(一)　基本计数原理

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．图书馆的书架有3层，第1层有3本不同的数学书，第2层有5本不同的语文书，第3层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，不同的取书方法共有(　　)

A．120种　　　B．64种　　　C．39种　    D．16种

D　[由于书架上共有3＋5＋8＝16(本)书，则从中任取1本，共有16种不同的取法．]

2．已知a∈{3,4,5}，b∈{1,2}，r∈{1,4,9,16}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同圆的个数是(　　)

A．6　　　　  B．9  C．16　　　　    D．24

D　[确定一个圆可以分三个步骤：第一步，确定a，有3种选法；第二步，确定b，有2种选法；第三步，确定r，有4种选法，由分步乘法计数原理得，不同圆的个数为3×2×4＝24．]

3．将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，则不同的涂色方案有(　　)

A．1种  B．3种  C．6种    D．9种

C　[因为只有三种颜色，又要涂六条棱，所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色，故有3×2×1＝6种涂色方案．]

4．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有(　　)

A．53种   B．35种

C．8种   D．15种

B　[每封信均有3种不同的投法，所以依次把5封信投完，共有3×3×3×3×3＝35种投法．]

5．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是(　　)

A．15   B．12    C．5    D．4

A　[当x＝1时，y＝0,1,2,3,4,5，有6个；当x＝2时，y＝0,1,2,3,4，有5个；当x＝3时，y＝0,1,2,3，有4个．据分类加法计数原理可得，共有6＋5＋4＝15个．]

二、填空题

6．有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．若从三个袋子中任取1个小球，有________种不同的取法．

15　[有3类不同方案：

第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；

第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；

第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法．

其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15种．]

7．某班2021年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________．

42　[将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有插入方法：6×7＝42(种)．]

8．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有________种．(用数字作答)

9　[分为两类：两名老队员、一名新队员时，有3种选法；两名新队员、一名老队员时，有2×3＝6(种)选法，即共有9种不同选法．]

三、解答题

9．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．

(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法；

(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？

[解]　从O型血的人中选1人有28种不同的选法；

从A型血的人中选1人有7种不同的选法；

从B型血的人中选1人有9种不同的选法；

从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．

(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理，有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．

(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理，有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．

10．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人分别参加相应语种的活动，有多少种不同的选法？

[解]　由题意9人中既会英语又会日语的“多面手”有1人，只会英语的有6人，只会日语的有2人，则可分三类．

第一类：“多面手”去参加英语活动时，选出只会日语的1人即可，有2种选法．

第二类：“多面手”去参加日语活动时，选出只会英语的1人即可，有6种选法．

第三类：“多面手”既不参加英语活动又不参加日语活动，则需从只会日语和只会英语的人中各选1人参加活动，有2×6＝12(种)选法．

故共有2＋6＋12＝20(种)不同的选法．

1．空间中有不共面的4点A，B，C，D，若其中3点到平面α的距离相等且为第四个点到平面α的距离的一半，则这样的平面α的个数为(　　)

A．8   B．16  C．32   D．48

C　[第一种情况，点A，B，C，D在平面α的同侧．

当平面α∥平面BCD时，A与平面α的距离是平面α与平面BCD的距离的2倍．这种情况下有4个平面．

第二种情况，A，B，C，D中有3个点在平面α的一侧，第4个点在平面α的另一侧，这时又有两种情形：

一种情形是平面α与平面BCD平行，且A与平面α的距离是平面α与平面BCD距离的2倍．这时有4个平面．

①　　　　　　②

另一种情形如图①所示，图中E，F分别是AB，AC的中点，K是AD的三等分点中靠近A的点，A，B，C到平面EFK(即平面α)的距离是D到平面EFK距离的一半．

∵EF可以是AB，AC的中点的连线，又可以是AB，BC的中点的连线，或AC，BC的中点的连线，

∴这种情形下的平面α有3×4＝12(个)．

第三种情况，如图②所示，在A，B，C，D四点中，平面α两侧各有两点．

容易看出：点A到平面EFMN(平面α)的距离是B，C，D到该平面距离的2倍．

就A，C与B，D分别位于平面α两侧的情形来看，有A离平面α远，B离平面α远，C离平面α远，D离平面α远这四种情况．

又AC，BD异面，则这样的异面直线共有3对，

∴平面α有4×3＝12(个)．

综上分析，平面α有4＋4＋12＋12＝32(个)．]

2．(多选题)已知集合A＝{－1,2,3,4}，m，n∈A，则对于方程＋＝1的说法正确的是(　　)

A．可表示3个不同的圆

 B．可表示6个不同的椭圆

C．可表示3个不同的双曲线

D．表示焦点位于x轴上的椭圆的有3个

ABD　[当m＝n>0时，方程＋＝1表示圆，故有3个，选项A正确；当m≠n且m，n>0时，方程＋＝1表示椭圆，故有3×2＝6个，选项B正确；若椭圆的焦点在x轴上，所以m>n>0．当m＝4时，n＝2,3；当m＝3时，n＝2；即所求的椭圆共有2＋1＝3(个)，选项D正确；当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线，故有3×1＋1×3＝6个，选项C错误．]

3．4名学生参加跳高、跳远、游泳比赛，4人都来争夺这三项冠军，则冠军分配方法的种数是________．

64　[因为跳高冠军的分配有4种不同的方法，

跳远冠军的分配有4种不同的方法，游泳冠军的分配有4种不同的方法，

所以根据分步乘法计数原理，冠军的分配方法有4×4×4＝64(种)．]

4．若在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有________种不同的方法；在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有________种不同的方法．

图1　　　　　　　　　图2

5　6　[对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5(种)不同的方法．

对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：

第一步，合上A中的一个开关；

第二步，合上B中的一个开关，

故有2×3＝6(种)不同的方法．]

几只猴子在一棵枯树上玩耍，它们均不慎失足下落．已知

(1)甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C．

(2)乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F．

(3)丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C．

(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H．

(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E．

问这9根树枝从高到低不同的次序有多少种？

[解]　不妨设A，B，C，D，E，F，G，H，I代表树枝的高度，9根树枝从上至下共九个位置，根据甲依次撞击到树枝A，B，C；乙依次撞击到树枝D，E，F；丙依次撞击到树枝G，A，C；丁依次撞击到树枝B，D，H；戊依次撞击到树枝I，C，E可得G>A>B，且在前四个位置，C>E>F，D>E>F，且E，F一定排在后四个位置，

(1)若I排在前四个位置中的一个位置，前四个位置有4种排法，若第五个位置排C，则第六个位置一定排D，后三个位置共有3种排法，若第五个位置排D，则后四个位置共有4种排法，所以I排在前四个位置中的一个位置时，共有4×(3＋4)＝28种排法．

(2)若I不排在前四个位置中的一个位置，则G，A，B，D按顺序排在前四个位置，由于I>C>E>F，所以后五个位置的排法就是H的不同排法，共5种排法，即若I不排在前四个位置中的一个位置共有5种排法，由分类加法计数原理可得，这9根树枝从高到低不同的次序有28＋5＝33种．