高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第三章 排列、组合与二项式定理3.1 排列与组合3.1.1 基本计数原理同步测试题

【精编】3.1.1 基本计数原理-2作业练习

一．单项选择

1．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色．相邻颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（    ）

A．420 B．960 C．1440 D．1560

2．如图所示为沟算盘，即古罗马算盘，其用青铜制成，盘上竖有小槽，内有小珠，其中左边七个竖槽的下槽各有四珠，每珠表示一，上槽一珠表示五，槽间有数位个．十．百（对应拉丁字母：，，）；右边的两个竖槽表示分数，其中右数第二个竖槽的上槽有一珠，表示，下槽有五珠，每珠表示，最右边的竖槽含有三个短槽，上槽有一珠，表示，中槽有一珠，表示，下槽有二珠，每珠表示．若从右数的前两个竖槽中任选三个小珠，则一共能表示的分数的个数为（    ）

A．19 B．44 C．55 D．120

3．《中共中央国务院关于深化教育教学改革全面提高教育质量的意见》强调，坚持立德树人，着力培养担当民族复兴大任的时代新人；坚持“五育”并举，全面发展素质教育．为促进中学生综合素质全面发展，某校开设5个活动社团，甲．乙．丙三名同学每人报名参加1个社团，则不同的报名方式共有（    ）

A．60种 B．120种 C．125种 D．243种

4．地图涂色是一类经典的数学问题．如图，用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有（    ）种．

A．84 B．72 C．48 D．24

5．将甲．乙．丙．丁四位辅导老师分配到．．．四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到班，丁不能分配到班，则共有分配方案的种数为（    ）

A． B． C． D．

6．某学校有东．南．西．北四个校门，受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园.现有2名教师和3名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有（    ）

A．6种 B．12种 C．24种 D．32种

7．用数字．．．．组成没有重复数字的五位数，其中比大的偶数共有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

8．小胖同学忘记了自己的号，但记得号是由一个？一个？两个和两个组成的六位数，于是用这六个数随意排成一个六位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的号最多尝试次数为（    ）

A． B． C． D．

9．4名学生报名参加艺术体操？美术？计算机课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有（    ）

A．3 B．12 C． D．

10．从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（    ）

A．7 B．9 C．12 D．16

11．数学与文化有许多奇妙的联系，如诗词中有回文诗回文联“上海自来水来自海上”，既可以顺读又可以逆读数学中有回文数，如“343，12521”，两位数的回文数11，22，33等，则三位数的偶数回文数的个数为（    ）

A．40 B．45 C．50 D．54

12．四个学生，随机分配到三个车间去劳动，不同的分配方法数是（    ）

A．12 B．64 C．81 D．24

13．2019年9月1日兰州地铁一号线正式开通，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有节车厢，两人进入车厢的方法数共有（  ）

A．种 B．种 C．种 D．种

14．算盘是一种手动操作计算辅助工具．它起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项重要发明，算盘有很多种类．现有一种算盘（如图一），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨每珠记作数字1（例如图二中算盘表示整数51）．如果拨动图一算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（    ）

A．16 B．15 C．12 D．10

15．我校兼程楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法（    ）

A．10种 B．16种 C．25种 D．32种

16．全球变暖已经是近在眼前的国际性问题，冰川融化．极端气候的出现．生物多样性减少等等都会给人类的生存环境带来巨大灾难．某大学计划以对于全球变暖及其后果的看法为内容制作一份调查报告，并安排，B，C，D，E五名同学到三个学院开展活动，每个学院至少安排一名同学，且，B两名同学安排在同一学院，C，D两名同学不安排在同一个学院，则不同的分配方法总数为（ ）

A．86种 B．64种 C．42种 D．30种

17．如图，准备用种不同的颜色给．．．．五块区域涂色，要求每个区域随机用一种颜色涂色，且相邻区域（有公共边的）所涂颜色不能相同，则不同涂色方法的种数共有（    ）

A． B． C． D．

18．为适应新高考改革，学校在高二年级开设若干课外实践课，甲？乙？丙三名高中生从个课程中各选择一个参加学习，不同的方法为（    ）

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】D

【解析】分析：根据题意，分4步依次分析区域．．．．的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案．

详解：解：分4步进行分析：

①，对于区域，有6种颜色可选；

②，对于区域，与区域相邻，有5种颜色可选；

③，对于区域，与．区域相邻，有4种颜色可选；

④，对于区域．，若与颜色相同，区域有4种颜色可选，

若与颜色不相同，区域有3种颜色可选，区域有3种颜色可选，

则区域．有种选择，

则不同的涂色方案有种；

故选：D

2．【答案】A

【解析】分析：利用分类加法计数原理，按所选的三个小珠分别在一个槽，两个槽，三个槽内进行分析求解．

详解：由图可知，从右数的前两个竖槽中包含五个槽，则问题可分三种情况，

第一种情况，五个槽中每个槽里最多只取一个小珠，则一共可以表示出个的分数；

第二种情况，一个槽中取两个小珠，另一个槽中取一个小珠，

则一共可以表示出个不同的分数；

第三种情况，一个槽中取三个小珠，则只能表示出1个分数．

综上可知，从右数的前两个竖槽中任选三个小珠，一共可以表示出19个不同的分数．

故选：A.

3．【答案】C

【解析】分析：每个人有5种选择，根据分步乘法计数原理进行求解即可．

详解：由题意知每人报名参加一个社团，所以每个人有5种选择，

即总的报名方式有，

故选：C．

4．【答案】A

【解析】分析：若区域42涂不同颜色，先涂区域4，再涂区域2，区域1，区域3可从剩余的颜色和区域1的颜色选，若区域42涂相同颜色，先涂区域4，再涂区域3，区域1，然后再利用分类计数原理求解.

详解：根据题意，分2种情况讨论：

若区域42涂不同颜色，区域4有4种，区域2有3种，区域1有2种，区域3有2种，共有种；

若区域42涂相同颜色，区域4有4种，区域3有3种，区域1有2种，共有种；

故有种，

故选：A

5．【答案】C

【解析】分析：分为甲分配到班和甲不分配到班两种情况来讨论分配方案种数，利用分类加法计数原理计算可得结果.

详解：将分配方案分为甲分配到班和甲不分配到班两种情况：

①甲分配到班：有种分配方案；

②甲不分配到班，则甲可以分配到班或班，则丁有种分配方案，

此时，共有种分配方案.

由分类加法计数原理可得：共有种分配方案.

故选：C.

【点睛】

方法点睛：本题主要考查排列数的应用.常见求法有：

（1）相邻问题采取“捆绑法”；

（2）不相邻问题采取“插空法”；

（3）有限制元素采取“优先法”；

（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.

6．【答案】D

【解析】分析：先分别确定学生进入校园的方式和教师进入校园的方式；再用分步乘法原理求得答案.

详解：因为学生只能从东门或西门进入校园，

所以3名学生进入校园的方式共种.

因为教师只可以从南门或北门进入校园，

所以2名教师进入校园的方式共有种.

所以2名教师和3名学生要进入校园的方式共有种情况.

故选：D

7．【答案】D

【解析】分析：对首位数字进行分类讨论：①首位为；②首位为.然后分析个位数的选取，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.

详解：分以下两种情况讨论：

①首位数字为，则个位数从．．中选择一个，其余三个数位任意排列，

此时共有个比大的偶数；

②首位数字为，则个位数从．中选择一个，其余三个数位任意排列，

此时共有个比大的偶数.

综上所述，共有个比大的偶数.

故选：D.

【点睛】

方法点睛：对于组数问题，一般按照特殊位置（一般是末位和首位）由谁占领分类，分类中再按特殊位置（或者特殊元素）优先的方法分步完成，如果正面分类较多，可采用间接法从方面求解.

8．【答案】B

【解析】分析：由个数字组成全排列有种情况，个数字中有两个和两个，可得共组成个六位数.

详解：号由个数字组成，全排列有种情况，

而这个数字中有两个和两个，则共可以组成个六位数，

则他找到自己的号最多尝试次.

故选：B.

【点睛】

本题考查数字排列问题，从数字出现次数多的位置出发考虑比较便于解决.

9．【答案】D

【解析】分析：根据每名同学的报名都有3中可能性，即可不同的报名种数，得到答案.

详解：由题意，4名学生报名参加艺术体操？美术？计算机课外兴趣小组，每人选报一种，

其中每名同学的报名都有3中可能性，根据分步计数原理，可得不同的报名种数有种.

故选：D.

10．【答案】C

【解析】先确定从A地到C地有3种不同的走法，再确定从C地到B地有4种不同的走法，最后求从A地到B地不同的走法种数.

详解：解：根据题意分两步完成任务：

第一步：从A地到C地，有3种不同的走法；

第二步：从C地到B地，有4种不同的走法，

根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数：种，

故选：C.

【点睛】

本题考查分步乘法计数原理，是基础题.

11．【答案】A

【解析】分析：根据题意，先分析要求“三位数的偶数回文数”的个位和百位数字，可知其有4种情况，而对于十位数字，没有限制，由分步计数原理计算可得答案．

详解：根据题意，三位数的偶数回文数的个位和百位数字相同，必须为2．4．6．8中的1个，有4种情况，对于十位数字，没有限制，有10种情况，

则三位数的偶数回文数有个.

故选：A.

【点睛】

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．

12．【答案】C

【解析】分析：根据分步乘法计数原理，即可求解.

详解：先安排一位同学分配到三个车间去劳动，有3种安排方法，

同理，再安排一位同学分配到三个车间去劳动，也有3种安排方法，

依次类推，

因此，根据分步乘法计数原理共有种分配方法.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了利用分步乘法计数原理解决实际问题，属于容易题.

13．【答案】C

【解析】分析：根据分步乘法计数原理计算方法种数.

详解：每位同学都可以进入地铁中的任何一节车厢，每个人都有6种方法，所以两人进入车厢的方法数共有种方法.

故选：C

14．【答案】C

【解析】分析：根据题意，分别列出十位拨动0枚，个位拨动3枚．十位拨动1枚，个位拨动2枚．十位拨动2枚，个位拨动1枚．十位拨动3枚，个位拨动0枚，4种情况下结果，即可得答案.

详解：由题意，拨动三枚算珠，有四种拨法：

①十位拨动0枚，个位拨动3枚，有2种结果：7和3；

②十位拨动1枚，个位拨动2枚，有4种结果：12，16，52，56；

③十位拨动2枚，个位拨动1枚，有4种结果：21，25，61，65，

④十位拨动3枚，个位拨动0枚，有2种结果：30，70，

综上，拨动图一算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为12.

故选：C

15．【答案】B

【解析】走法共分四步：一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共种.故本题正确答案为B.

16．【答案】D

【解析】分析：依题意，分为5种情况讨论，分别求得不同方法数，得出结论.

详解：解：分五种情况：①若CE一组则有=6种；

若DE一组则有=6种；

若ABC一组则有=6种；

若ABD组则有=6种；

若ABE则有=6种；共有种.

故选：D.

17．【答案】C

【解析】分析：根据题意，涂色分步进行，第一步对于区域，有种颜色可选，第二步对于区域，与区域相邻，有种情况，第三步对于区域，与．区域相邻，有种情况，第四步对于．区域，分种情况讨论，然后利用分步乘法计数原理可得结果

详解：根据题意，涂色分步进行分析：

对于区域，有种颜色可选，即有种情况，

对于区域，与区域相邻，有种情况，

对于区域，与．区域相邻，有种情况，

对于．区域，分种情况讨论：

若区域与区域涂色的颜色相同，则区域有种颜色可选，即有种情况，

此时．区域有种情况；

若区域与区域所涂的颜色不相同，则区域有种情况，区域有2种情况，

此时．区域有种情况，

则．区域共有种情况，

则不同涂色的方案种数共有种．

故选：C．

18．【答案】B

【解析】分析：根据每人有种选择可直接计算得到结果.

详解：甲．乙．丙三人每人有种选择，则不同的方法有种.

故选：B.