人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.1 基本计数原理习题

【精品】3.1.1 基本计数原理-4同步练习

一．单项选择

1．如图，将一个四棱锥的每一个面染上一种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（    ）

A．36 B．48 C．72 D．108

2．已知集合M={－2，3}，N={－4,5,6}，依次从集合M，N中各取出一个数分别作为点P的横坐标和纵坐标，则在平面直角坐标系中位于第一．二象限内的点P的个数是(    )

A．4 B．5 C．6 D．7

3．体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,某学生到该体育场练跑步,则他进出门的方案有(    )

A．12种 B．7种 C．24种 D．49种

4．如果不等式组的整数解有（）个，那么适合这个不等式组的整数．的有序数对共有（    ）个

A．17个 B．64个 C．81个 D．72个

5．甲．乙．丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙．丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ）

A．36种    B．48种    C．96种    D．192种

6．一个教室有五盏灯，一个开关控制一盏灯，每盏灯都能正常照明，那么这个教室能照明的方法有种（　　）

A．24 B．25 C．31 D．32

7．打开手机时，忘记了开机的六位密码的第二位和第四位，只记得第二位是7,8,9中的一个数字，第四位是1,2,3中的一个数字，则他输入一次能够开机的概率是(    )

A． B． C． D．

8．甲．乙．丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙．丙各选修3门，则不同的选修方案共有（     ）

A．36种 B．48种 C．96种 D．192种

9．古代“五行”学认为：“物质分金．木．土．水．火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有

A．5种 B．10种

C．20种 D．120种

10．如图所示，将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（    ）

A．240 B．360 C．420 D．960

11．用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（    ）

A．48个 B．36个 C．24个 D．18个

12．将3张不同的演唱会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是(　　)

A．2160 B．720 C．240 D．120

13．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（ ）

A．4种    B．5种    C．6种    D．7种

14．5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为（   ）

A． B． C． D．

15．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是(　　)

A．420 B．210 C．70 D．35

16．汉中市2019年油菜花节在汉台区举办，组委会将甲．乙等6名工作人员分配到两个不同的接待处负责参与接待工作，每个接待处至少2人，则甲．乙两人不在同一接待处的分配方法共有（   ）

A．12种 B．22种 C．28种 D．30种

17．由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是（   ）

A．60 B．48 C．36 D．24

18．四个同学，争夺三项冠军，冠军获得者可能有的种数为（   ）

A．4 B．24 C．64 D．81

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】对面与面同色和不同色进行分类，结合分步乘法计算原理，即可得出答案.

详解：当面与面同色时，面有4种方法，面有3种方法，面有2种方法，面有1种方法，面有2种方法，即种

当面与面不同色时，面有4种方法，面有3种方法，面有2种方法，面有1种方法，面有1种方法，即种

即不同的染色方法总数为种

故选：C

【点睛】

本题主要考查了计数原理的应用，属于中档题.

2．【答案】A

【解析】由对于集合中的元素作为点的横坐标，中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有个，在第二象限的点共有个，由分类计数原理，即可求解．

【详解】

由题意，要使得点在平面直角坐标系中位于第一．二象限内，

对于集合中的元素作为点的横坐标，中的元素作点的纵坐标，

在第一象限的点共有个；

在第二象限的点共有个；

由分类计数原理可得点的个数为个，

故选A．

【点睛】

本题主要考查了分类计数原理的应用，其中解答中解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”．“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．

3．【答案】D

【解析】第一步，他进门，有7种选择；第二步，他出门，有7种选择．根据分步乘法计数原理可得他进出门的方案有7×7＝49(种)．

4．【答案】D

【解析】先解不等式组求得的取值范围，根据整数解的情况，确定有序对的个数.

【详解】

由得，不妨设，故可取共种可能，可取共种可能，可以满足整数解有个，为.所以有序数对共有个，故选D.

【点睛】

本小题主要考查一元一次不等式组的解法，考查分步计数原理，考查整数的性质，考查分析与思考的能力，属于基础题.

5．【答案】C

【解析】设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，∴不同的选修方案共有6×4×4=96种，故选C．

考点：分步计数原理

点评：本题需注意方案不分次序，即a，b和b，a是同一种方案，用列举法找到相应的组合即可．

6．【答案】C

【解析】每盏灯有2种状态，根据乘法原理共有种状态，排除全部都熄灭的状态，得到答案.

【详解】

由题意有这个教室能照明的方法有种，

故选：C．

【点睛】

本题考查了乘法原理，属于简单题.

7．【答案】C

【解析】首先根据分步乘法计数原理计算出总的情况，其中只有一种情况正确。即可算出概率。

【详解】

第二位有三种情况，第四位有三种情况，所以一共有种情况，所以一次输对的概率为

【点睛】

本题主要考查了事件与概率，主要掌握分步乘法计数原理，即完成一件事的方法，把每一步完成的方法相乘，就是完成这件事所有的方法。本题属于基础题。

8．【答案】C

【解析】设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，∴不同的选修方案共有6×4×4=96种，故选C．

【考点】分步计数原理

点评：本题需注意方案不分次序，即a，b和b，a是同一种方案，用列举法找到相应的组合即可．

9．【答案】B

【解析】根据题意，可看做五个位置排列五个数，把“金．木．土．水．火”用“1，2，3，4，5”代替．根据相克原理，1不与2,5相邻，2不与1,3相邻，依次类推，用分布计数原理写出符合条件的情况.

【详解】

把“金．木．土．水．火”用“1，2，3，4，5”代替．1不与2,5相邻，2不与1,3相邻，所以以“1”开头的排法只有“1，3，5，2，4”或“1，4，2，5，3”两种，同理以其他数开头的排法都是2种，所以共有种．选B.

【点睛】

本题考查分步计数原理的应用，考查抽象问题具体化，注重考查学生的思维能力，属于中档题.

10．【答案】C

【解析】可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论.

详解：由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S．A．B所染的颜色互不相同，它们共有种染色方法.

设5种颜色为1，2，3，4，5，当S．A．B染好时，不妨设其颜色分别为1．2．3，

若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；

若C染4，则D可染3或5，有2种染法，若C染5，则D可染3或4，有2种染法.

可见，当S．A．B已染好时，C．D还有7种染法，故不同的染色方法有（种）.

故选：C

【点睛】

本题考查分类加法原理．分步乘法原理的综合应用，考查学生的分类讨论的思想．逻辑推理能力，是一道中档题.

11．【答案】A

【解析】解：由题意知本题是一个分步计数问题，

大于20000决定了第一位 只能是2，3，4，5共4种可能，

偶数决定了末位是2，4共2种可能

当首位是2时，末位只能是4，有A33=6种结果，

当首位是4时，同样有6种结果，

当首位是1，3，5时，共有3×2×A33=36种结果，

总上可知共有6+6+36=48种结果，

故选A．

12．【答案】B

【解析】按顺序分步骤确定每张门票的分法种数，根据分步乘法计数原理得到结果.

【详解】

分步来完成此事．第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法，共有10×9×8＝720种分法．

本题答案为B.

【点睛】

本小题主要考查分步乘法计数原理，考查分析问题的能力，属于基础题.

13．【答案】

【解析】分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆最至少1个，只有2种分法。

三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆最至少1个，只有2种分法。

三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的。

考点：本题主要考查分类计数原理的应用。

点评：本解法从“最多”的一堆分情况考虑开始，分别计算不同分法，然后求和。用列举法也可以，形象．直观易懂。

14．【答案】C

【解析】根据分步乘法计数原理，计算出不同情况的种数.

【详解】

根据分步乘法计数原理可知，个人可能出现的不同情况的种数为种，故选C.

【点睛】

本小题主要考查分步乘法计数原理，考查分析问题的能力，属于基础题.

15．【答案】A

【解析】将不同的染色方案分为：相同和不同两种情况，相加得到答案.

【详解】

按照的顺序：

当相同时：染色方案为

当不同时：染色方案为

不同的染色方案为：种

故答案为：A

【点睛】

本题考查了加法原理和乘法原理，把染色方案分为相同和不同两种情况是解题的关键.

16．【答案】C

【解析】由题要将所有人分到两个不同的接待处A,B,则①甲可能在A组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，②甲可能在B组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，分别求出每一种分配的方法数目，有分类计数原理计算可得答案。

【详解】

由题可分两种情况讨论：

①甲可能在A组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，则有种分法；

②甲可能在B组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，则有种分法；

一共有种分法。

故选C.

【点睛】

本题考查分类计数原理，解题的关键是分类列出所有可能情况，属于一般题。

17．【答案】A

【解析】分别计算出十万位为奇数和偶数两种情况下组成数字的个数，利用加法原理求得结果.

【详解】

当首位为奇数时，无重复数字六位数个数为：个

当首位为偶数时，无重复数字六位数个数为：个

满足题意的六位数总数有：个

本题正确选项：

【点睛】

本题考查分类加法原理的应用问题，涉及到排列的相关知识，易错点是忽略首位不能为零的情况.

18．【答案】C

【解析】利用分步计数原理可得冠军获得者可能有的种数.

【详解】

依分步计数乘法原理，冠军获得者可能有的种数为.故选C.

【点睛】

排列的计数问题，常利用分类计数原理和分步计数原理，注意计数时要区分清楚是分类还是分步.