2021-2022学年上海市浦东新区川沙中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案解析）

2021-2022学年上海市浦东新区川沙中学高一（下）月考数学试卷（3月份）

1.  设是角终边上的一个点，若，则______ .

2.  已知，则______.

3.  用列举法写出______.

4.  若，则______.

5.  在中，已知，，，则______.

6.  方程在区间内的解是______.

7.  在平面直角坐标系中，已知两点，，则的值是______.

8.  把化成的形式为______ .

9.  已知，化简______.

10.  已知，，则______.

11.  在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足，则______ .

12.  已知实数、满足，则的最小值是______.

13.  已知是第三象限角，满足，则是(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

14.  在中，，，，则三角形的解的个数是(    )

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不确定

15.  在中，如果，那么的形状为(    )

A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形

16.  直角中，，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若弧AB等分的面积，且弧度，则 (    )

A.
B.
C.
D.

17.  如图，在平面直角坐标系xOy中，角的终边在第二象限与单位圆交于点
若点P的横坐标为，求的值；
若将OP绕点O逆时针旋转，得到角即，若，求的值．

18.  甲船在距离A港口12海里并在南偏西方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为海里.乙船的速度为每小时18海里，经过20分钟航行到D处，求此时甲、乙两船相距多少海里？甲在乙的什么方向？

19.  已知，求的值；
已知，且，，求角的值．

20.  在中，三个内角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且
求的值；
设，求的取值范围．

21.  对于集合…，和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”．
若集合，，求集合相对的“余弦方差”；
若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；
若集合，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求，的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
由条件利用任意角的三角函数的定义，求得y的值．
【解答】
解：是角终边上的一个点，
若，则，
故答案为：  

2.【答案】 

【解析】解：，为锐角，且，
，
则，
故答案为：
由题意利用正弦函数的定义和性质，求得的正弦值、余弦值，再利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，计算求得结果．
本题主要考查反正弦函数的定义和性质，同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，
当为第一象限角时，，
当为第二象限角时，，
当为第三象限角时，，
当为第四象限角时，，
所以
故答案为：
分分别为第一、二、三、四象限角，由三角函数在各个象限的符号求出y的值，然后利用列举法表示即可．
本题考查了集合的表示方法，主要考查了列举法的应用，三角函数在各个象限符号的判断，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，
所以
故答案为：
把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化为关于的式子，将的值代入即可求出值．
通常，在高考题中，三角函数多会以解答题的形式出现在第一个解答题的位置，是基础分值的题目，学生在解答三角函数问题时，往往会出现，会而不对的状况．所以，在平时练习时，既要熟练掌握相关知识点，又要在解答时考虑更为全面．这样才能熟练驾驭三角函数题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，

故答案为：
根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由得，
，，
则，得，
故答案为：
根据正弦函数的图像和性质进行求解即可．
本题主要考查方程根的求解，根据正弦函数的图像和性质是解决本题的关键，是基础题．
 

7.【答案】1 

【解析】解：，，



故答案为：
根据向量模的坐标表示，把已知两个点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简，进而求出向量模．
本题考查了向量模的坐标运算，即把点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简求值，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由，，
，
，
则，
故答案为：
根据辅助角公式化解可得答案．
本题主要考察了辅助角公式的应用，属于基本知识的考查．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
则，
故答案为：
先判断，再利用三角恒等变换化简函数的解析式，可得结果．
本题主要考查利用三角恒等变换化简函数的解析式，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
解得或，
，，
则
故答案为：
先求出，再进行弦化切能求出结果．
本题考查三角函数的运算，考查正切二倍角公式、正弦函数两角和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查．
先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出，即可求得结论．
【解答】
解：因为且

，

故答案为：  

12.【答案】 

【解析】解：由于，；
故；，，
所以，当且仅当时，等号成立．
故答案为：
直接利用函数的最值的应用求出结果．
本题考查的知识要点：函数的最值的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

13.【答案】D 

【解析】解：是第三象限角，，，
则，，即为第二或第四象限角，
又，
为第四象限角．
故选：
由是第三象限角，可得为第二或第四象限角，结合求得答案．
本题考查三角函数值的符号，考查了象限角的概念，属于基础题．
 

14.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理，属于基础题．
由正弦定理解得，故B可能是个锐角，也可能是钝角，故三角形的解的个数是

【解答】

解：由正弦定理可得，即 ，，又，故B可能是个锐角，也可能是钝角，
故三角形的解的个数是2，
故选

15.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查三角形形状的判断，主要用到了三角形内角和与余弦的两角和差公式，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
结合和余弦的两角和差公式，可将原不等式化简为，即，又A，，所以与一正一负，故而得解．

【解答】

解：，




，
，即与异号，
又A，，
与一正一负，
为钝角三角形．
故选：

16.【答案】B 

【解析】解：设扇形的半径为r，则扇形的面积为 ，直角三角形POB中，，
的面积为，由题意得  ，
，
故选
设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高PB，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出与的关系．
本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用．
 

17.【答案】解：由题意可知，，，
则；
由，，得
 

【解析】由已知利用任意角的三角函数的定义求得，的值，则答案可求；
，得，展开两角差的正切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义及两角差的正切，是基础题．
 

18.【答案】解：作出符合题意的图形，，，，，
中，由正弦定理得，，
所以

由知为锐角，
所以，
中，由余弦定理得，
由余弦定理得，，
所以，，
所以此时甲、乙两船相距海里，甲在乙的北偏西方向． 

【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解实际问题中的应用，属于中档题．
结合实际问题作出图形，然后结合正弦定理及余弦定理即可直接求解．
 

19.【答案】解：，，
两边平方，可得，可得，
所以，可得，，
所以，
所以
，，
，
，，
，，


，
又，
角的值为 

【解析】本题考查了二倍角公式，平方关系式及两角和差公式，解决这类题目的关键是“拆角”，把要求解的角用给出三角函数值的角表示．属于中档题.
将已知等式两边平方可得，可求范围，可得的值，进而根据二倍角公式即可计算得解．
先利用平方关系式结合角的范围求出和，然后用已知三角函数值的角和表示要求解的角，，利用两角差的正弦公式求解的正弦值，进而求出角
 

20.【答案】解：，
，
…分
，，
由余弦定理可得：，
，可得：，当且仅当时等号成立，
可得：，可得：，当且仅当时等号成立，
，
的取值范围为：…分 

【解析】利用同角三角函数基本关系式可求，利用三角函数恒等变换的应用即可计算得解．
由余弦定理，基本不等式可求的最大值，利用三角形两边之和大于第三边可求，即可得解的取值范围．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形两边之和大于第三边等知识的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

21.【答案】解：当集合为，时，
集合相对的“余弦方差；
当集合时，
集合相对于常数的“余弦方差”



此时“余弦方差”是一个常数，且常数为；
当集合，时，
集合相对于任何常数的“余弦方差”


要是上式是一个常数，则且
由取，可满足上式． 

【解析】本题考查新定义，涉及三角函数的恒等变换，属拔高题．
直接代入定义求解即可；
代入定义，利用三角恒等变换化简求值即可；
代入定义化简，得到且
由即可得解.