2021-2022学年浙江省浦江中学、长兴中学、余杭高中三校高一（下）联考数学试卷（3月份）（含答案解析）

2021-2022学年浙江省浦江中学、长兴中学、余杭高中三校高一（下）联考数学试卷（3月份）

1.  以下说法错误的是(    )

A. 平行向量方向相同 B. 零向量与单位向量的模不相等
C. 零向量与任一非零向量平行 D. 平行向量一定是共线向量

2.  如图，向量，，，则向量可以表示为(    )
 

A.  B.  C.  D.

3.  已知，则(    )

A. A、B、D三点共线 B. A、B、C三点共线 C. B、C、D三点共线              D. A、C、D三点共线

4.  已知的重心为O，则向量(    )

A.  B.  C.  D.

5.  对于任意两个向量和，下列命题中正确的是(    )

A. 若，满足，且与反向，则
B.
C.
D.

6.  若的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则一定是(    )

A. 底边和腰不相等的等腰三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等边三角形

7.  如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为v，那么当航程最短时，下列说法正确的是(    )

A. 船头方向与水流方向垂直 B. ，
C.  D. 该船到达对岸所需时间为3分钟

8.  在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为(    )

A. 1
B.
C. 2
D. 4

9.  下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是(    )

A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，

10.  已知向量，，则(    )

A.
B. 向量在向量上的投影向量为
C. 与的夹角余弦值为
D. 若，则
 

11.  中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即现有满足：：：3：，且，请判断下列命题正确的是(    )

A. 周长为 B.
C. 的外接圆半径为 D. 中线CD的长为

12.  如图，直角的斜边BC长为2，，且点B，C分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动，点A在线段BC的右上方.则(    )

A. 有最大值也有最小值 B. 有最大值无最小值
C. 有最小值无最大值 D. 无最大值也无最小值

13.  已知点，，则与向量同方向的单位向量为______ .

14.  是钝角三角形，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则最大边c的取值范围是______.

15.  如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得，已知山高，则山高__________
 

16.  在中，，的面积，为线段BC上一定点，且满足，若P为线段BC上任意一点，且恒有，则线段BC的长为______

17.  已知平面直角坐标系中，点O为原点，，，
若，求实数m的值；
若A，B，C三点共线，求实数m的值.

18.  已知，，
求的值；
若在方向上的投影向量为，求的值．

19.  设的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
求B的大小；
当B为锐角且时，求周长的取值范围．

20.  在平行四边形ABCD中，，，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，
当，时，求向量和夹角的余弦值；
当时，求的取值范围．

21.  如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，，
求索道AB的长；
问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

22.  已知在平面直角坐标系中，点、点其中a、b为常数，且，点O为坐标原点．
设点P为线段AB靠近点A的三等分点，，求的值；
如图，设点，，…，，…，是线段AB的n等分点，，其中，n，，，求用含n和k的式子表示，并且当时，求……的值用含a、b的式子表示；
若，，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：平行向量方向相同或方向相反，故A错误，
零向量的长度为0，单位向量的长度为1，故B正确，
零向量与任一非零向量平行，故C正确，
平行向量一定是共线向量，故D正确．
故选：
根据已知条件，结合零向量的定义，以及平行向量的性质，即可求解．
本题主要考查零向量的定义，以及平行向量的性质，属于基础题．
 

2.【答案】C 

【解析】

【分析】
通过向量的加法减法的运算法则，表示出结果即可．
本题考查向量的基本运算，考查计算能力．
【解答】
解：如图，

向量，，，则向量，

故选：  

3.【答案】A 

【解析】

【分析】
利用三角形法则可求得，由向量共线条件可得与共线，从而可得结论．本题考查向量共线的条件，属基础题，熟记向量共线的充要条件是解决问题的关键．
【解答】
解：，
又，所以，则与共线，
又与有公共点B，
所以A、B、D三点共线．
故选  

4.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量基本定理、三角形重心，考查数学运算能力，属于基础题．
由的重心为O，为三条中线交点，得，，取AC中点D，得，然后根据可求解．

【解答】

解：取AC中点D，连接OD，
是的重心，、O、D三点共线，
由重心特点得，



故选：

5.【答案】D 

【解析】解：对于选项A，向量不能比较大小，故选项A错误；
选项B，向量的模可能比向量的模小，故选项B错误；
对于选项C，，，所以，故选项C正确；
选项D，与均为正值，
因，
选项D正确；
故选：
对选项进行逐个分析，即可解出．
本题考查了向量的相关知识，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：由，，可得，
即，可得，
所以为等边三角形，
故选：
由三角形的余弦定理和完全平方公式可得三角形的形状．
本题考查三角形的余弦定理的运用，以及三角形的形状判断，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：如图，

是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短，
，，故C错误；
设船头方向与的夹角为，则，则船头方向与水流方向不垂直，故A错误；
，，故B正确；
该船到达对岸的时间为分钟，故D错误．
故选：
由向量加法的平行四边形法则结合向量模的求法判断C；求解直角三角形可得判断A；结合诱导公式求得，判断B；求出船到达对岸的时间判断
本题考查解三角形在实际问题中的应用，考查运算求解能力，正确理解题意是关键，是中档题．
 

8.【答案】A 

【解析】解：，
，
即，
即，
得，
整理得，
，，
，
，
当且仅当，即，，时取等号，

，
则面积的最大值为，
故选：
根据正弦定理，余弦定理进行化简，结合基本不等式以及三角形的面积公式进行求解即可．
本题主要考查三角形面积的计算，结合正弦定理余弦定理以及基本不等式进行转化求解是解决本题的关键．
 

9.【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题考查利用正弦定理和余弦定理判定三角形解的个数，属于中档题．
利用正弦定理判定A、D选项，利用余弦定理判定B选项，利用三角形的边角关系判断C选项．

【解答】

解：根据题意，在A条件下，，
因为，
所以角B在和上各有一个解，
并且这两个解与角A的和都小于，所以A不满足；
在B条件下，，，，
根据余弦定理可得，
解得或舍，所以只有1个解，满足题意；
在C条件下，条件为边角边，所以有唯一解，满足题意；
在D条件下，，
因为，所以角A在和上各有一个解，
当解在时，角B与角A的和大于，所以只有1个解，满足题意，
故选

10.【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的坐标运算与命题真假判断问题，考查了计算与推理能力，属于中档题．
根据平面向量的坐标表示与运算法则，判断选项中的命题是否正确即可．

【解答】

解：对于A，向量，，
所以，且，
所以与不平行，A错误；
对于B，向量在向量上的投影向量为，所以B正确；
对于C，因为，
所以，，所以C正确；
对于D，因为，
所以，所以，选项D正确．
故选：

11.【答案】BC 

【解析】解：现有满足：：：3：，
所以a：b：：3：，
设，，，
利用余弦定理，
由于，
所以故B正确；
利用，
所以，整理得，解得
所以：，，，
所以的周长为，故A错误；
利用正弦定理，，故C正确；
如图所示：

利用正弦定理，解得，所以，
利用余弦定理：，
解得，故D错误．
故选：
直接利用正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用判断ABCD的结论．
本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
 

12.【答案】BD 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的综合应用，涉及了平面向量模的求解、平面向量的数量积、两角和差公式的应用、二倍角公式的应用，考查的知识点多，对学生掌握知识的广度和深度都有很高的要求．
设，用表示出点A，B，C的坐标，分别用表示出，，，，根据的范围和三角函数化简公式得出答案．

【解答】

解：，，，
，
设，则，且，
，，，
，
故



，
因为，
所以当，即时，取到最大值，无最小值；
故选项A错误；



，
当，即时，取到最大值，无最小值．
故选项B正确；
，
所以



，
因为，
所以当，即时，取到最大值，无最小值；故C错误；




因为，
所以，
故没有最大值，也没有最小值．
故选项D正确；
故选：

13.【答案】 

【解析】解：点，，
，可得，
因此，与向量同方向的单位向量为：
故答案为：
由点A、B的坐标算出，从而得到，再根据单位向量的定义加以计算，可得答案．
本题给出A、B两点的坐标，求与向量同方向的单位向量．着重考查了向量的坐标运算和单位向量的定义等知识，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：是钝角三角形，最大边为c，角C为钝角，
在中，由余弦定理得：
，解得，
，
，
最大边c的取值范围是
故答案为：
由题意，由余弦定理结合，即可求出最大边c的取值范围．
本题考查三角形最大边的取值范围的求法，考查余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

15.【答案】1500 

【解析】

【分析】

本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题．
中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得AC；在中，利用正弦定理求得AM；再在中，根据，计算求得结果．

【解答】

解：在中，，
，
，
又因为在中，，
，
由正弦定理可得，
解得，
所以在中，
，
故答案为

16.【答案】 

【解析】解：如图，设AC中点为M，由极化恒等式可得：，
且恒有，则恒成立．

作于D，则
设，
，的面积，
，


故答案为；
设AC中点为M，由极化恒等式可得：，依题意可得恒成立，作于D，设，
本题考查了向量的极化恒等式的应用，及三角运算，属于难题．
 

17.【答案】解：平面直角坐标系中，点O为原点，，，
，，
，
，
解得实数；
，，
，B，C三点共线，，
，
解得实数 

【解析】先求出，，再由，列方程能求出实数m；
求出，，由A，B，C三点共线，得，列方程能求出实数
本题考查实数值的求法，考查向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
 

18.【答案】解：，，
又，，，
由知，
，，
，，
，
 

【解析】将展开，代入已知条件，即可；
根据投影向量的计算公式，求得，再由平面向量的运算法则，得解．
本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握平面向量的加法、减法和数量积的运算法则，理解投影向量的概念是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：由，
根据正弦定理得，
所以，
因为，
所以或；
由题意可得，且，
则由正弦定理，
所以，，
所以，
由，，

所以
三角形周长 

【解析】根据已知条件，结合正弦定理，以及角B的取值范围，即可求解．
根据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的恒等变换公式，即可求解．
本题主要考查解三角形，掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．
 

20.【答案】解：当，时，以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴建立直角坐标系，
如图所示，则，，，
所以，，
所以，，
所以向量和夹角的余弦值为
建立如图所示的直角坐标系，则，，，
因为，，
所以，
，
所以
因为，二次函数的对称轴为，
故当时，，
所以的取值范围为 

【解析】画出图形，建立直角坐标系，利用向量的夹角公式计算可得；
画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系、向量的线性运算及数量积运算求出，然后通过二次函数求出数量积的范围．
本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：在中，因为，，所以，，
从而，
由正弦定理，得
所以索道AB的长为
假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了，乙距离A处130t m，
所以由余弦定理得：，
因，即，
故当时，甲、乙两游客距离最短． 

【解析】根据正弦定理即可确定出AB的长；
设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了，乙距离A处130t m，由余弦定理即可得解．
此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型．
 

22.【答案】解：因为，
点P为线段AB上靠近A点的三等分点，所以，
所以，即；
由题意得，，
，
事实上，对任意的正整数m，n，且，
有，，
，
所以；
时，线段AB上存在一点M，使得，，且存在点，，
则，，
，
所以，
即线段AB上一点M，到点O和点N的距离之和，作点O关于线段AB的对称点，
则最小值为 

【解析】由向量共线，可知，向量可以用向量表示出来，再根据P为AB的三等分点，即可解决．
向量可以用与向量表示出来，向量也可以用与向量表示出来，联立可以发现规律，进而问题得到解决．
转化为直线AB上一点到点O，N的距离之和．
本题考查了向量基本定理，向量长度的计算，转化思想，属于基础题．