2021-2022学年上海市青浦高级中学高一（下）质检数学试卷（4月份）（含答案解析）

2021-2022学年上海市青浦高级中学高一（下）质检数学试卷（4月份）

1.  已知，若与的终边相同，且，则______.

2.  已知扇形弧长为，半径为2，则扇形面积为______.

3.  函数的最小正周期是______.

4.  将化为的形式为______.

5.  已知是第二象限，，则______.

6.  已知，夹角为，，，求在方向上的数量投影______.

7.  已知，则______.

8.  化简______.

9.  中，，则该三角形的形状为______ .

10.  已知的表达式为的部分图像如图所示，则______.

11.  如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为，则此时电视塔的高度是______米．精确到米

12.  如图，同一平面内的三条平行直线，，，与的距离为1，与的距离为2，若正三角形的三个顶点A、B、C分别在这三条直线上，则此正三角形的面积为______.

13.  在中，“”是“”的条件．(    )

A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要

14.  函数的值域是(    )

A.
B.
C.
D.

15.  设D为所在平面内一点，，则(    )

A.
B.
C.
D.

16.  在中，三个角满足，且最大边与最小边分别是方程的两根，则的外接圆面积是(    )

A.
B.
C.
D.

17.  已知，求的值．

18.  已知，，求

19.  中，
若，求c；
求三角形面积的最大值．

20.  已知函数
求函数的最小正周期；
若，求函数的值域；

21.  某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如表：

请填写上表的空格处，并画出函数图像；
写出函数的解析式，将函数的图像向右平移个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的解析式；
在的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数a与零点个数n的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，与的终边相同，
又，

故答案为：
根据已知条件，结合终边相同的角的定义，即可求解．
本题主要考查终边相同的角的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：扇形弧长，半径，
扇形面积，
故答案为：
直接根据扇形的面积公式进行计算即可．
本题主要考查扇形的面积的计算，根据扇形的面积公式是解决本题的关键，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：函数的最小正周期是，
故答案为
根据函数的最小正周期是，运算可得结果．
本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：
由题意，利用两角差的正弦公式，计算求得结果．
本题主要考查两角差的正弦公式的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：是第二象限，，
，
，
故答案为：
将正切转化成正弦与余弦，利用二倍角公式，即可解出．
本题考查了三角函数的计算，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意知，
在方向上的数量投影为，
故答案为：
根据数量投影的定义代入得，化简即可．
本题考查了数量投影的定义的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
故答案为：
直接利用两角差的余弦函数，求出，然后利用二倍角公式求出的值．
本题是基础题，考查两角差的三角函数以及二倍角公式的应用，考查计算能力．
 

8.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
利用三角函数的诱导公式进行转化求解即可．
本题主要考查三角函数的化简，利用三角函数的诱导公式进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．
 

9.【答案】等腰或直角三角形 

【解析】解：由正弦定理，得：，
，
则有或，
或，
故答案为：等腰三角形或直角三角形．
利用正弦定理及二倍角的正弦公式对已知化简可得，，结合三角函数的性质可得A与B的关系进而判断三角形的形状．
本题主要考查了正弦定理及二倍角的正弦在解三角形中的运用，解题的关键点是由可得或，考生在解题时容易漏掉的情况，但是在三角形中若有只能得到，两种情况应加以区别，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图可知，又由“五点法“得，
，，
，
故答案为：
先根据图像确定振幅A，再由五点法求，从而得的解析式，最后再求
本题考查三角函数的图像与性质，五点法求，属基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：设电视塔的高度为x，
则在中，，则，解得
同理在中，，则，解得，
由于，整理得，解得
故答案为：
直接利用解直角三角形知识的应用和特殊角的三角函数值的应用求出结果．
本题考查的知识要点：解直角三角形知识，特殊角的三角函数值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：过B点作直线EF垂直于，，，交于点E，交于点F，
则，，设正三角形ABC边长为a
设，则
在中，
在中，
解得，
，

故答案为
欲求正三角形的面积，只需求出正三角形的边长，而在几何中求三角形的边长，须把它放入其它三角形中通过解三角形来求，可过B点作直线EF垂直于，，，交于点E，交于F，的到的两个直角三角形与中，都含有正三角形的边长，且，就可借助这两个三角形中的边角关系，求出正三角形边长，再用三角形的面积公式求出面积．
本题主要考查了三角公式在解三角形中的应用，需要学生具备识图能力，转化的能力．
 

13.【答案】C 

【解析】解：由正弦定理知，
若成立则有，
，，
成立；
在中，“”是“”的充分条件．
若成立，若B不是锐角，显然可得出，若B是锐角，亦可得出，
综上在中，“”是“”成立的必要条件．
综合1，2知，在中，“”是“”成立的充要条件，
故选：
由正弦定理知，由，知，所以，反之由于在上正弦函数不是单调函数，可分两类证明，当A是钝角时，与A不是钝角时，易证，再由充分条件必要条件的定义得出结果即可．
本题以三角形为载体，考查充要条件的有关定义，解题的关键是正确运用正弦定理及变形，属于基础题．
 

14.【答案】D 

【解析】解：
根据正弦函数的值域的求解可得，
函数的值域是；
故选：
先对函数化简，
然后结合正弦函数的值域求解即可
本题主要考查了正弦函数的值域的求解，属于基础试题，难度不大．
 

15.【答案】D 

【解析】

【分析】
本题考查向量的加法、减法、数乘运算，属于基础题.
由便可得到，求出向量，从而找出正确选项.
【解答】
解：，
，

故选  

16.【答案】B 

【解析】解：由题意得，，则，所以a既不是最大边也不是最小边，
不妨假设c为最大边，b为最小边，则，
由余弦定理得，，
解得舍去，
由正弦定理得，，则，
所以的外接圆面积是，
故选：
根据求出，并判断出最大边与最小边，利用一元二次方程的根与系数的关系和题意，得出最大边与最小边之间的等量关系，再利用余弦定理求出边a，利用正弦定理求出外接圆的半径，再外接圆的面积即可．
本题考查余弦、正弦定理，内角和定理的应用，以及一元二次方程根与系数的关系和三角形三边关系，综合性较强．
 

17.【答案】解：因为，
所以 

【解析】根据同角三角函数的商数关系将弦化切，再代入求值即可．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：由①，两边平方得，
所以，因为，
所以，，
所以②，
①②联立，可得，，
所以 

【解析】将已知等式两边平方可求得，结合x的范围可得，，从而可求出的值，与已知等式联立求出与的值，再利用同角三角函数商数关系求解即可．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：，，
由余弦定理可得，，即，解得
由余弦定理可得，，
当且仅当时，等号成立，故，
三角形面积，
故三角形面积的最大值为 

【解析】根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．
根据已知条件，结合余弦定理以及基本不等式的公式，求出，再结合三角形的面积公式，即可求解．
本题主要考查解三角形，掌握余弦定理，以及基本不等式的公式是解本题的关键，属于基础题．
 

20.【答案】解：函数

，
函数的最小正周期
，，
当时，，
当时，
函数的值域为 

【解析】推导出函数，由此能求出函数的最小正周期．
由，得，当时，，当时，由此能求出函数的值域．
本题考查函数的最小正周期、值域的求法，考查二倍角公式、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

21.【答案】解：根据表中的数据可得，解得，
，，
，，
完善表如下：

，画出函数图像如图

由知，将函数的图像向右平移个单位，
所得图像的解析式为，
再把所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，

，的周期为，
当时，令，考虑方程的根的情况，
，在R上必有两个不同的实数根，，，
在有奇数个零点，，或，
若，则方程，在共有4个不同的实数根，
在有0个或2个实数根，
在有个根或个根，
与有奇数个零点矛盾，舍去；
若，，
则在共有2个不同的实数根，在有0个实数根或2个实数根，
故在有个根或，
与有奇数个零点矛盾，舍去；
同理，，也不成立，或，
若，则，此时的根为，
方程在共有3个不同的实数根，
而在上，有两个不同的根，无解，
在在个根，
与有奇数个零点矛盾，舍去；
若，则，方程的根，
方程，在共有3个不同的实数根，而在上，无解，有一个根，
在有个根，符合题意．
综上，，在共有3031个不同的零点． 

【解析】根据表中数据可得关于，的方程组，解出，的值后再计算补全表中数据，再由表中数据可得，由此能求出函数的解析式和图像；
由得函数的解析式，伸缩和平移变换能求出的解析式；
令，设方程的根为，，根据，的取值范围分类讨论，能求出实数a与零点个数n的值．
本题考查了三角函数的图像与性质的应用问题，解题时应根据画三角函数的图像的基本步骤画出图形，考查三角函数的图像与性质、零点等基础知识，考查运算求解能力，是难题．