2021-2022学年上海市徐汇中学高一下学期3月月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海市徐汇中学高一下学期3月月考数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市徐汇中学高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．下列各项与一定相等的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用诱导公式化简已知条件，再逐一检验四个选项的正误即可得正确选项.【详解】，对于A：，故选项A不正确；对于B：，故选项B不正确；对于C：，故选项C不正确；对于选项D：，故选项D正确，故选：D.2．由，求得，下列说法中，正确的是(       )A．当在一､二象限时，取正号，当在三､四象限时，取负号B．当在一､四象限时，取正号，当在二､三象限时，取负号C．当在一､三象限时，取正号，当在二､四象限时，取负号D．仅当在第一象限时，取正号【答案】B【分析】根据任意角三角函数的定义即可判断.【详解】当终边在第一象限时，tanα＝t＞0，sinα＞0，故在中取正号；当终边在第二象限时，tanα＝t＜0，sinα＞0，故在中取负号；当终边在第三象限时，tanα＝t＞0，sinα＜0，故在中取负号；当终边在第四象限时，tanα＝t＜0，sinα＜0，故在中取正号；故选：B.3．已知，则（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为，所以所以；故选：A4．对实数与，定义新运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据定义的运算法则化简函数的解析式，并求出的取值范围，函数的图象与轴恰有两个公共点转化为，图象的交点问题，结合图象求得实数的取值范围．【详解】由题意知，若，即时，；当，即或时，，所以函数，由图可知，当时函数 与的图象有两个公共点，的取值范围是，故选：B.【点睛】本题主要考查新定义的理解和应用，考查零点问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题5．已知角的终边经过点，则与终边相同的角的集合是______.【答案】【分析】根据点P求出角的正切值，从而求得角，由终边相同的角的性质即可写出答案.【详解】因为点P在第一象限，所以，，则与终边相同的角的集合为.故答案为：【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，终边相同的角的表示方法，属于基础题.6．已知角的终边在直线上，则的值为__________.【答案】0【分析】根据三角函数的定义求出tanα，要求的式子分子分母同时除以cosα将正余弦化为正切，代值计算即可.【详解】角的终边在直线上，则tanα＝，.故答案为：0.7．在半径为2的圆中，扇形的周长等于半圆的弧长，则扇形的面积为________【答案】【分析】根据已知条件求出扇形的弧长，即可求解.【详解】设扇形的弧长为，则，扇形的面积为.故答案为:【点睛】本题考查扇形的面积，属于基础题.8．函数的定义域为________【答案】【分析】根据根号下被开方数大于等于零、分式分母不为零，求解出的范围即为定义域.【详解】因为且，所以且，所以定义域为：.故答案为：.【点睛】本题考查函数定义域的求解，难度较易.常见求解函数定义域的思路：(1)根号下被开方数大于等于零；(2)分式分母不为零；(3)对数的真数大于零；(4)中；(5)中.9．函数的最大值是________【答案】【分析】分析分式的分母的取值范围，即可求解出函数的最大值.【详解】因为，当时取等号，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查函数最值的求解，难度较易.求解函数的值域可通过函数的单调性、换元等方法进行求解.10．已知，求________【答案】【分析】先化简，将其转变为关于的形式，再根据求解出的值，即可求解出的值.【详解】因为，又因为，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，难度较易.注意三角恒等式的运用：.11．已知：，则________【答案】【分析】先根据诱导公式和同角三角函数的基本关系化简原式，然后再根据已知条件求解出原式的值.【详解】因为原式，且即，所以原式.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，着重考查了诱导公式以及同角三角函数的基本关系，难度一般.12．若函数的值域为，则实数的取值范围是________【答案】【分析】根据函数值域为判断出可以取遍内的所有值，因此为对数式真数部分值域的子集，据此分析出的取值范围.【详解】因为函数的值域为，所以是值域的子集，当时，，显然不符合，当时，则需满足，所以.综上可知：的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查对数型函数的值域问题，难度一般.形如的函数，若定义域为，则有；若值域为，则有.13．若关于的方程有负根，则实数的取值范围是__________.【答案】【分析】根据指数函数的性质，当 时，   ，由此求解不等式即可.【详解】要使得方程 有负根，根据指数函数的性质得 ，解得 ；故答案为：   .14．已知，则函数的最小值为________【答案】【分析】先根据条件将转变为关于的形式，然后利用已知条件求解出的范围，然后即可求解出关于的函数的最小值即为的最小值.【详解】因为，又因为，所以，又因为，所以当，有最小值，所以.故答案为：.【点睛】本题考查根据三角函数的有界性求解三角函数式的最值，难度一般.用三角函数表示其他式子或者用三角函数换元时，注意三角函数的有界性：.15．已知函数，若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________.【答案】【解析】作出函数f(x)，的图象，将函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，转化为y=f(x)，y=k的图象又两个不同的交点求解.【详解】函数的图象如图所示：若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，等价于y=f(x)，y=k的图象又两个不同的交点，由图知：故答案为：【点睛】方法点睛：由函数零点或个数求参数范围问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围；若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．16．设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】结合奇偶性求解函数的解析式，结合解析式的特点将问题等价于恒成立，进而利用单调性求解即可.【详解】由题意知，则，所以恒成立等价于恒成立.由题意得在R上是增函数，所以恒成立，即恒成立.又，所以当时，取得最大值所以，解得.故实数的取值范围是.故答案为.【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，稍有综合性，化为同名函数是求解关键，侧重考查数学抽象的核心素养.三、解答题17．已知，且是第二象限角，求实数a的值.【答案】【分析】由计算得到a，再结合即可得到答案.【详解】因为是第二象限角，所以，解得，由得到，解得或（舍）.【点睛】本题考查三角函数的基本关系的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.18．若及是关于的方程的两个实根，求实数的值.【答案】【分析】由题意，利用韦达定理得到，，根据列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．【详解】解：，是关于的方程的两个实根，，，，，即，整理得：，解得或，方程有实数根，，即或，则的值为．19．在平面直角坐标系中，角的始边为轴的正半轴，终边在第二象限与单位圆交于点，点的横坐标为.(1)求的值；(2)若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值，再利用同角三角函数的基本关系，计算求得所给式子的值．（2）由题意利用诱导公式求得，再将化为，即可求得答案．【详解】(1)在单位圆上，且点在第二象限，的横坐标为，可求得纵坐标为，所以，则．(2)由题知，则，，则 ，故.20．设.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求证：函数在R上是严格增函数；（3）若，求t的取值范围.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）或．【分析】（1）根据奇偶函数的定义进行判断即可；（2）利用单调性的定义，结合指数函数的单调性进行证明即可；（3）利用（1）（2）的结论，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】（1）函数为奇函数，证明如下：的定义域为，关于原点对称，∴为奇函数；（2）证明：任取，且∵，∴，，，∴，即∴函数在R上是严格增函数（2）∵在R上是奇函数且严格增函数，所以，解得或所以t的取值范围是或．21．设．（1）求不等式的解集M；（2）若函数在上最小值为，求实数a的值；（3）若对任意的正实数a，存在，使得，求实数m的最大值.【答案】（1）答案见解析；（2）或；（3）.【分析】（1）由条件将不等式化简为，转化为，再分情况讨论，可得答案.（2）分情况求出函数的最小值，由函数最小值为可得方程，得出答案.(3)由条件可得，由函数的单调性有，然后分情况讨论得出其最大值，可得答案..【详解】（1）∵，∴，即，也即所以若，该不等式无解；若，，所以或；若，，所以综上，，该不等式解集为；，该不等式解集为；，该不等式解集为.（2）若，在单调递增，故在上无最小值；若，在单调递增，故在上无最小值；若，，所以，解得或所以，或（3）因为对任意的正实数a，存在，使得，所以当时，在上单调递增.所以 所以当，即，由，解得 当时，，即，所以 当时，，即，所以 所以，所以实数m的最大值为.【点睛】关键点睛：本题考查解不等式，根据函数最值求参数和解决存在问题，解答本题的关键是由题意可得，求出其最大值可得，然后分情况得出其最大值，属于中档题.