2023-2024学年上海市浦东新区川沙中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区川沙中学高二（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列四个命题正确的是( )
A. 若l/​/α，且m/​/α，则l/​/m
B. 若α⊥β，m/​/α，n⊥β，则m/​/n
C. 若m/​/l，且m⊥α，则l⊥α
D. 若m⊥n，m⊥α，n/​/β，则α⊥β
2.设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y−1=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行”的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.若方程4x2+ky2=4k表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于( )
A. 2 kB. 2 −kC. kD. −k
4.将函数y= 13−x2−2(x∈[−3,3])的图象绕点(−3,0)逆时针旋转α(0≤α≤θ)，得到曲线C，对于每一个旋转角α，曲线C都是一个函数的图象，则θ最大时的正切值为( )
A. 32B. 23C. 1D. 3
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.抛物线y2=4x的焦点坐标是 ．
6.双曲线x23−y2=1的渐近线方程为______ ．
7.若一个球的体积为32π3，则该球的表面积为______．
8.6名同学排队站成一排，要求甲乙两人不相邻，共有______ 种不同的排法．
9.若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形．则圆锥的侧面积是______．
10.焦点在x轴上的椭圆过点P(2,3)，且点P到两焦点的距离之和为8，则该椭圆标准方程为______ ．
11.圆x2+y2=8内有一点P0(−1,2)，当弦AB被P0平分时，直线AB的方程为______ ．
12.假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB为2m，渠深OC为1.5m，水面EF距AB为0.5m，则截面图中水面宽EF的长度约为______ m.(精确到0.01)
13.某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的选法有______ 种.(用数字作答)
14.已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则ABC的面积的取值范围为______ ．
15.已知△FAB，点F的坐标为(1,0)，点A、B分别在图中抛物线y2=4x及圆(x−1)2+y2=4的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，那么△FAB的周长的取值范围为______ ．
16.定义两个点集S、T之间的距离集为d(S,T)={|PQ||P∈S，Q∈T}，其中|PQ|表示两点P、Q之间的距离，已知k、t∈R，S={(x,y)|y=kx+t，x∈R}，T={(x,y)|y= 4x2+1,x∈R}，若d(S,T)=(1,+∞)，则t的值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知抛物线C：y2=4x与直线l交于A、B两点，直线l过抛物线的焦点F且斜率为k．
(1)当k=1时，求线段AB的长度；
(2)O为坐标原点，求OA⋅OB的值．
18.(本小题8分)
在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=2，AA1=2 3，M是侧棱C1C上一点，设MC=h．
(1)若h= 3，求多面体ABM−A1B1C1的体积；
(2)若异面直线BM与A1C1所成的角为60°，求h的值．
19.(本小题10分)
如图，在几何体P−ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=π2，AD=2，AB=BC=1．
(1)求证：CD⊥平面PAC；
(2)若PC与平面ABCD所成的角为π4，求二面角A−PD−C的大小．
20.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1、F2，虚轴长为4 2，离心率为 2，过C的左焦点F1作直线l交C的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若AF1=4 2，求∠F1AF2的大小；
(3)若M(−2,0)，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？请说明理由．
21.(本小题14分)
已知椭圆x28+y24=1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A、B两点．
(1)求椭圆的焦点坐标和离心率；
(2)若AF1⋅AF2=2，求直线l的方程；
(3)若直线AF1交y轴于M，直线BF1交y轴于N，是否存在直线l，使S△F1AB=S△F1MN，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：对于A：若l/​/α，且m/​/α，则l，m可能平行、相交或异面，并不一定平行，故A错误；
对于B：若α⊥β，m/​/α，n⊥β，则m，n可能平行、相交或异面，并不一定平行，故B错误；
对于C：若m/​/l，且m⊥α，根据线面垂直可得：l⊥α，故C正确；
对于D：若m⊥n，m⊥α，不一定得到n⊥α，则由n/​/β，不一定得到α⊥β，故D错误．
故选：C．
根据线、面位置关系逐项分析判断．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：当a=1时，直线l1：x+2y−1=0与直线l2：x+2y+4=0，显然平行；
而由两直线平行可得：a(a+1)−2=0，解得a=1，或a=−2，
故不能推出“a=1”，由充要条件的定义可得：
“a=1”是“直线l1：ax+2x−1=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要条件．
故选B
把a=1代入可得直线的方程，易判平行；而由平行的条件可得a的值，进而由充要条件的判断可得答案．
本题为充要条件的判断，涉及直线的平行的判定，属基础题．
3.【答案】B
【解析】解：方程4x2+ky2=4k，即为x2k+y24=1，
由方程表示双曲线，可得y24−x2−k=1，
所以a=2，b= −k，
所以虚轴长为2b=2 −k．
故选：B．
根据双曲线标准方程直接求解．
本题主要考查双曲线的几何性质，由双曲线方程求解虚轴的长度等知识，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查函数的概念，考查化归与转化、数形结合思想，属难题．
【解答】
解：由y= 13−x2−2(x∈[−3,3])，得x2+(y+2)2=13(x∈[−3,3])，
原函数的图象是以(0,−2)为圆心，以 13为半径的圆的部分，
如图：
设过(−3,0)与圆x2+(y+2)2=13相切的直线的斜率为k，
则直线方程为y=k(x+3)，即kx−y+3k=0．
由|2+3k| k2+1= 13，解得k=32．
要使对于每一个旋转角α，曲线C都是一个函数的图象，则最大角α正好满足与切线的倾斜角互余，∴θ最大时的正切值为23．
故选：B．
5.【答案】(1,0)
【解析】【分析】
本题考查抛物线的标准方程，注意分析抛物线的开口方向．
根据题意，由抛物线的标准方程分析可得抛物线的焦点在x轴正半轴上，且p=2，由抛物线的焦点坐标公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，抛物线y2=4x的开口向右，其焦点在x轴正半轴上，
且p=2，p2=1，
则抛物线的焦点坐标为(1,0)，
故答案为：(1,0)．
6.【答案】y=± 33x
【解析】解：由双曲线标准方程：x23−y2=1，则a= 3,b=1，即渐近线方程y=± 33x．
故答案为：y=± 33x.
根据双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线方程公式，可得答案．
本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
7.【答案】16π
【解析】【分析】
本题考查球的体积和表面积的应用，解题时要认真审题，仔细解答．
由球的体积，由球的体积公式能求出这个球的半径，再由球的表面积的计算公式能求出结果．
【解答】
解：一个球的体积V=43π×r3=32π3，
者这个球的半径r=2，则4πr2=16π，
故答案为：16π．
8.【答案】480
【解析】解：先安排除甲乙之外的四个人，再在5个空位上插空安排甲乙二人，A44A52=480．
故答案为：480．
先安排除甲乙之外的四个人，再在5个空位上插空安排甲乙二人可得答案．
本题考查插空法求解排列问题，是基础题．
9.【答案】π2
【解析】解：∵圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，
∴圆锥的底面半径r=12，母线l=1，
故圆锥的侧面积S=πrl=π2．
故答案为：π2．
根据题意可得圆锥的底面半径和母线长，进而根据圆锥侧面积公式S=πrl求得结果．
本题考查圆锥的侧面积的计算，属基础题．
10.【答案】x216+y212=1
【解析】解：由题意可设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)．
且2a=8，可得a=4，
又点P(2,3)在椭圆上，∴416+9b2=1，解得b2=12．
∴椭圆标准方程为x216+y212=1．
故答案为：x216+y212=1．
由已知设出椭圆方程并求得a，代入已知点的坐标求解b，则答案可求．
本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】x−2y+5=0
【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
∵弦AB被P0 (−1,2)平分，
∴x1+x2=−2，y1+y2=4，
把A(x1,y1)，B(x2,y2)代入圆x2+y2=8，
得x12+y12=8,①x22+y22=8,②
①−②，得(x1−x2)(x1+x2)+(y1−y2)(y1+y2)=0，
∴−2(x1−x2)+4(y1−y2)=0．
∴k=y1−y2x1−x2=12，
∴直线AB的方程为y−2=12(x+1)，即x−2y+5=0．
故答案为：x−2y+5=0．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由弦AB被P0 (−1,2)平分，知x1+x2=−2，y1+y2=4，由此利用点差法能求出直线AB的方程．
本题考查直线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用．
12.【答案】1.63
【解析】解：以O为原点，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，
设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)，
由题意可得B(1,1.5)，代入x2=2py，得1=3p，解得p=13，
∴抛物线方程为x2=23y，
设F(x0,y0)，(x0>0,y0>0)，则y0=1.5−0.5=1，
则x02=23×1=23，∴x0= 63，
∴截面图中水面宽EF的长度约为EF= 63×2≈1.63(m)．
故答案为：1.63．
以O为原点，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，利用点B的坐标求出抛物线方程，再根据抛物线方程可求出结果．
本题考查抛物线方程及其性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】96
【解析】解：当所选3人中男生1人，女生2人，此时有C61C42=36种选择，
当所选3人中男生2人，女生1人，此时有C62C41=60种选择，
故共有36+60=96种选择．
故答案为：96．
分两种情况，结合组合知识进行求解．
本题考查组合数的应用，是基础题．
14.【答案】[2, 5]
【解析】解：如图1，上底面圆心记为O，下底面圆心记为O′，
连结OC，过点C作CM⊥AB，垂足为点M，
则S△ABC=12×AB×CM，
根据题意，AB为定值2，所以S△ABC的大小随着CM的长短变化而变化，
如图2所示，当点M与点O重合时，CM=OC= 12+22= 5，
此时S△ABC取得最大值为12×2× 5= 5；
如图3所示，当点M与点B重合，CM取最小值2，
此时S△ABC取得最小值为12×2×2=2．
综上所述，S△ABC的取值范围为[2, 5]．
故答案为：[2, 5]．
上顶面圆心记为O，下底面圆心记为O′，连结OC，过点C作CM⊥AB，垂足为点M，由于AB为定值，则S△ABC的大小随着CM的长短变化而变化，
分别求解CM的最大值和最小值，即可得到答案．
本题考查了空间中的最值问题，将三角形面积的最值问题转化为求解线段CM的最值问题进行求解是解题的关键，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．
15.【答案】(4,6)
【解析】解：抛物线的准线l：x=−1，焦点F(1,0)，由抛物线定义可得|AF|=xA+1，
∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+1+(xB−xA)+2=3+xB，
由抛物线y2=4x及圆(x−1)2+y2=4可得交点的横坐标为1
∴xB∈(1,3)
∴3+xB∈(4,6)
故答案为：(4,6)
由抛物线定义可得|AF|=xA+1，从而△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+1+(xB−xA)+2=3+xB，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．
本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定B点横坐标的范围是关键．
16.【答案】− 5
【解析】解：∵y= 4x2+1，可化为：y2−4x2=1，y≥0，
∴集合T表示双曲线y2−4x2=1上支的点，
集合S表示直线y=kx+t上的点，d(S,T)=(1,+∞)，
∴直线与渐近线平行，在渐近线下方，即t<0，且与渐近线的距离为1．
又双曲线的渐近线为y=±2x，取2x+y=0，
则y=−2x+t，即2x+y−t=0，
∴平行线的距离d=|t| 1+4=1，
∴t=− 5或t= 5(舍去)，
故答案为：− 5．
集合T表示双曲线y2−4x2=1上支的点，集合S表示直线y=kx+t上的点，d(S,T)=(1,+∞)，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即t<0，且与渐近线的距离为1，计算得到答案．
本题考查了集合的新定义，双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系，属中档题．
17.【答案】解：(1)抛物线C：y2=4x的焦点坐标为(1,0)，
当k=1时，直线l的方程为y=x−1，
联立y=x−1y2=4x，得y2−4y−4=0．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则y1+y2=4，y1y2=−4，
∴|AB|= 2× (y1+y2)2−4y1y2= 2× 16+16=8；
(2)直线l的方程为y=k(x−1)=kx−k，由题意得，k≠0，
联立y=kx−ky2=4x，得k2x2−(2k2+4)x+k2=0．
则x1+x2=2k2+4k2，x1x2=1．
∴OA⋅OB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1−k)(kx2−k)
=(k2+1)x1x2−k2(x1+x2)+k2=k2+1−k2⋅2k2+4k2+k2=k2+1−2k2−4+k2=−3．
【解析】(1)由抛物线方程求出焦点坐标，写出直线方程，与抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程，再由根与系数的关系结合弦长公式求解；
(2)直线l的方程为y=k(x−1)，与抛物线方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及数量积的坐标运算求解．
本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：(1)∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=2，
AA1=2 3，M是侧棱C1C上一点，设MC=h= 3，
∴多面体ABM−A1B1C1的体积为：
V=VABC−A1B1C1−VM−ABC
=12×AB×BC×AA1−13×12×AB×BC×MC
=12×2×2×2 3−13×12×2×2× 3
=10 33．
(2)以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，M(2,0,h)，A1(0,2,2 3)，C1(2,0,2 3)，
BM=(2,0,h)，A1C1=(2,−2,0)，
∵异面直线BM与A1C1所成的角为60°，
∴cs60°=|BM⋅A1C1||BM|⋅|A1C1|=4 4+h2⋅ 8，
由h>0，解得h=2．
【解析】(1)多面体ABM−A1B1C1的体积为V=VABC−A1B1C1−VM−ABC，由此能求出结果．
(2)以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出h的值．
本题考查多面体的体积、线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)证明：如图所示，取AD中点M，连接AC，CM，
因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，
因为AM=12AD=1=BC，AM////BC，所以四边形ABCM是平行四边形，
又因为AB=BC，∠ABC=π2，所以四边形ABCM是正方形，
所以CM=1，CM⊥AD，AC= 2，
在Rt△CDM中，CD= CM2+DM2= 2，
所以AC2+CD2=4=AD2，所以CD⊥AC，
又因为PA，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC；
(2)因为PA⊥平面ABCD，所以PC与平面ABCD所成的角为∠PCA=π4，
由PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，得PA⊥AC，则PA=AC= 2，
因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又因为AB⊥AD，
所以以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，
所以DC=(1,−1,0)，PD=(0,2,− 2)，
设平面PDC的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅DC=x−y=0n⋅PD=2y− 2z=0，令x=1，得n=(1,1, 2)，
由题知，平面APD的一个法向量为m=(1,0,0)，
设二面角A−PD−C的大小为θ，由图可知，0<θ<π2，
所以csθ=|cs|=|n⋅m||n|⋅||m|=12×1=12，
则θ=π3，所以二面角A−PD−C的大小为π3．
【解析】(1)根据线面垂直的性质得到PA⊥CD，根据图形关系计算得到CD⊥AC，结合线面垂直的判定定理即可得证；
(2)根据题意找到PC与平面ABCD所成的角为∠PCA=π4，结合题意建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求解方法进行计算即可．
本题考查线面垂直的证明和二面角的求法，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意可得2b=4 2e=ca= 2c2=a2+b2，解得a2=b2=8，c2=16，
所以双曲线的方程为：x28−y28=1；
(2)由双曲线的定义可得|AF2|=2a+|AF1|=4 2+4 2=8 2，|F1F2|=2c=8，
在△F1AF2中，由余弦定理可得cs∠F1AF2=|AF1|2+|AF2|2−|F1F2|22|AF1|⋅|AF2|=32+128−642×4 2×8 2=34，
所以∠F1AF2=arccs34；
(3)假设存在直线l满足条件，
显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：x=my−4，m≠1且m≠−1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=my−4x2−y2=8，整理可得：(m2−1)y2−8my+8=0，
可得Δ=64m2−32(m2−1)>0，即m2>12，且m≠1且m≠−1，
y1+y2=8mm2−1，y1y2=8m2−1，
因为点M在以AB为直径的圆上，所以MA⋅MB=0，
即(x1+2,y1)⋅(x2+2,y2)=0，
可得(x1+2)⋅(x2+2)+y1y2=0，
即(my1−2)(my2−2)+y1y2=0，
整理可得：(1+m2)y1y2−2m(y1+y2)+4=0，
即(1+m2)⋅8m2−1−2m⋅8mm2−1+4=0，
整理可得：m2=1，
解得m=±1(舍)，
所以假设不成立，即不存在这样的直线l满足条件．
【解析】(1)由短轴长及离心率的值，以及a，b，c之间的关系，可得a，c，b的值，进而求出双曲线的方程；
(2)由双曲线的定义可得|AF2|的值，在△F1AF2中，由余弦定理可得∠F1AF2的余弦值，进而可得角∠F1AF2的大小；
(3)假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程没有双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由题意可得MA⋅MB=0，代入整理可得这样的参数不存在．
本题考查双曲线的方程的求法，直线与双曲线的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由椭圆方程x28+y24=1可知：a2=8，b2=4，c2=a2−c2=8−4=4，
所以a=2 2，b=c=2，
所以椭圆的左焦点F1(−2,0)，右焦点F2(2,0)，离心率e=ca=22 2= 22；
(2)由AF1⋅AF2=2，设A(x0,y0)，则x028+y024=1，
即x02=8−2y02
所以(−2−x0,−y0)⋅(2−x0,−y0)=2，即x02−4+y02=2，
可得8−2y02−4+y02=2，即y02=2，x02=4，
所以A(2, 2)或(2,− 2)或(−2, 2)或(−2,− 2)，
所以直线AF2的方程为x=2或y= 2−2−2(x−2)或y=− 2−2−2(x−2)，
即x=2或x+2 2y−2=0或x−2 2y−2=0；
(3)假设存在直线l，由题意可知直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x=my+2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=my+2x28+y24=1，整理可得：(2+m2)y2+4my−4=0，
可得y1+y2=−4m2+m2，y1y2=−42+m2，
S△F1AB=12⋅2c⋅|y1−y2|=2|y1−y2|，
设直线AF1的方程为y=y1x1+2(x+2)，令x=0，可得y=2y1x1+2=2y1my1+4，
即M(0,2y1my1+4)，
同理可得N(0,2y2my2+4)，
所以|MN|=|2y1my1+4−2y2my2+4|=|8(y1−y2)m2y1y2+4(y1+y2)+16，
所以S△F1MN=12|MN|⋅c=|8(y1−y2)m2y1y2+4(y1+y2)+16|，
因为S△F1AB=S△F1MN，所以2|y1−y2|=|8(y1−y2)m2y1y2+4(y1+y2)+16|，
所以|m2y1y2+4(y1+y2)+16|=4，
即|−4m22+m2+4⋅−4m2+m2+16|=4，可得|8−m2|=2+m2，解得m2=3，
即m=± 3，所以直线l的方程为x=± 3y+2，
即存在这样的直线l，且直线l的方程为x± 3y−2=0．
【解析】(1)由题意的方程可得a，b的值，进而求出c的值，可得椭圆的焦点坐标及离心率的值；
(2)设A点的坐标，由A点在椭圆上，可得A的横纵坐标的关系，再由数量积，可得A点的坐标，可得直线l的斜率，进而求出直线l的方程；
(3)设直线l的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出△F1AB的面积的表达式，设直线AF1的方程，令x=0，可得M的纵坐标，同理可得N的纵坐标，求出|MN|的表达式，进而求出△F1MN的面积的表达式，由题意可得参数的值，进而求出直线l的方程．
本题考查椭圆的性质的应用及直线与椭圆的综合应用，三角形面积的求法，属于中档题．