辽宁省六校协作体2021-2022学年高一下学期期初考试数学试题(含答案解析)
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1. 已知集合,,那么下列选项一定正确的是( )
A. B. C. D.
2. 命题“,”的否定是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
3. 已知,则下列说法中一定正确的是( )
A. B. C. D.
4. 在全国人民的共同努力下,特别是医护人员的奋力救治下,“新冠肺炎”疫情得到了有效控制.如图是国家卫健委给出的全国疫情通报,甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图.
则下列关于甲、乙两省新增确诊人数的说法,不正确的是( )
A. 甲省的平均数比乙省低 B. 甲省的方差比乙省大
C. 甲省的中位数是27 D. 乙省的极差是12
5. 已知函数,,则( )
A. B. C. 1 D. 3
6. 人们通常以分贝符号是为单位来表示声音强度的等级.一般地,如果强度为x的声音对应的等级为,则有,一架小型飞机降落时,声音约为100 dB,轻声说话时,声音约为30 dB,则小型飞机降落时的声音强度是轻声说话时声音强度的倍( )
A. 1000 B. C. D.
7. 已知函数,若,,则( )
A. 2 B. C. 6 D.
8. 直角三角形ABC中,P是斜边BC上一点,且满足,点M、N在过点P的直线上,若,,,则下列结论错误的是( )
A. 为常数 B. 的最小值为
C. 的最小值为3 D. m、 n的值可以为:,
9. 若幂函数在上单调递增,则
A. B. C. D.
10. 袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球,从中不放回地依次随机摸出2个球,下列结论正确的是( )
A. 第一次摸到红球的概率为 B. 第二次摸到红球的概率为
C. 两次都摸到红球的概率为 D. 两次都摸到黄球的概率为
11. 已知函数,,,实数d是函数的一个零点.给出下列四个判断,其中可能成立的是
A. B. C. D.
12. 不等式对任意恒成立,则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
13. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩满分100分的茎叶图如图所示,其中甲班学生成绩的平均分是86,乙班学生成绩的中位数是83,则的值为__________.
14. 和向量共线且方向相反的一个向量的坐标为__________.
15. 不等式的解集为__________.
16. 已知函数,,使得,,则实数__________.
17. 已知,,计算下列式子的值:
18. 已知函数且,
求实数a的值;
,求的最小值、最大值及对应的x的值.
19. 已知,的值域为M;不等式的解集为
求集合M、
当时,是否存在实数m,使得是的必要不充分条件?若存在求出实数m的取值范围,若不存在请说明理由.
20. 如图所示,中,,,,线段BF,CE相交于点
用向量与表示及
若,试求实数x,y的值.
21. 工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测,一共抽取了36件产品,并得到如表统计表,该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关,具体见表.
质量指标Y | |||
频数 | 6 | 18 | 12 |
年内所需维护次数 | 2 | 0 | 1 |
每组数据取区间的中点值,用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值保留两位小数;
用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品,再从6件产品中随机抽取2件产品,求这2件产品的指标至少有一个在内的概率;
已知每件产品的售价为x元,该厂产品的维护费用为200元/次,工厂现推出一项服务:若消费者在购买该厂产品时每件多加50元,该产品即可一年内免费维修一次,将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用,假设这36件产品每件都购买该服务,或者每件都不购买该服务,就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用,并以此为决策依据,判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务?
22. 已知是定义在R上的奇函数,且当时,
求的解析式.
证明:在R上单调递增.
若对任意的R,不等式恒成立,求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查集合的基本运算及元素与集合的关系,属于基础题.
确定集合N,即可判断选项.
【解答】
解:集合,,
或,
,或
故答案选:
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了全称量词命题的否定,属于基础题.
由全称量词命题的否定为存在量词命题,得到结果.
【解答】
解:因为全称量词命题的否定是存在量词命题,
所以,命题“,”的否定是:“,”
故答案选:
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查不等式的基本性质,作差法,及特殊值法,属于基础题.
根据已知条件,结合作差法,以及特殊值法,即可求解.
【解答】
解:对于A,令,,满足,但,故A错误;
对于B,,,,即,故B正确;
对于C,,,即,即,故C错误;
对于D,令,,满足,但,故D错误.
故答案选:
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查理解频率分布折线图,掌握平均数、方差、中位数、极差的定义,属于基础题.
根据频率分布折线图,结合选项一一判断,即可得结论.
【解答】
解:对于A项:2月7日到2月13日一周时间内,每天甲省的新增“新冠肺炎“确诊人数都小于或等于乙省的新增“新冠肺炎“确诊人数,故甲省的平均数比乙省低,故A项正确;
对于B项:由折线图可知,乙省数据的波动范围大于甲省数据的波动范围,故乙省方差小于甲省的方差,故B项正确;
对于C项:由折线图数据可得甲省的数据从小到大排列为:9,11,13,24,27,28,28,
故甲省的中位数为24,故C项错误;
对于D项:由折线图数据可得乙省的极差为,故D项正确.
故答案选:
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性的应用及函数值的计算,属于中档题.
根据题目已知条件计算求解即可.
【解答】
解:函数,故,
,
故,
又,
故答案选:
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查函数的实际运用,属于中档题.
根据强度为x的声音对应的等级为,分别算出小型飞机降落时的声音强度和轻声说话时声音强度,即可求出结果.
【解答】
解:由,当时,可得;
当时,可得,
小型飞机降落时的声音强度是轻声说话时声音强度的
故答案为:
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查分段函数求值,属于基础题.
由于中a的范围不确定,所以就要对a进行讨论,结合分段函数解析式,即可求解.
【解答】
解:当时, 显然不成立;
当时,,,
解得:或舍,
故答案选:
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的相关的运算,基本不等式的应用,属于中档题.
利用根据条件可得,然后利用基本不等式和基本不等式的变形运算,分别判断A、B、C、D的结论即可.
【解答】
解:对于A,P是斜边BC上一点,且满足,
则,
若,,则,
又由M、P、N三点共线,可得,
所以,故为常数,故A正确;
对于B,,
当且仅当时等号成立,故B错误;
对于C,,
当且仅当,即时等号成立,
则的最小值为3,故C正确;
对于D,由M、P、N三点共线,可知,
当,时满足,故D正确.
故答案选:
9.【答案】CD
【解析】
【分析】
本题考查幂函数的定义与性质,属于基础题.
先根据幂函数的定义及性质确定m的值,得出解析式,然后确定的大小.
【解答】
解:因为是幂函数,
所以,解得或
当时,,在上单调递减,不合题意,舍去;
当时,,在上单调递增,符合题意,
所以,,所以
故答案选:
10.【答案】AB
【解析】
【分析】
本题考查古典概型的概率公式,及相互独立事件的概率乘法公式的应用,考查逻辑推理能力与运算能力,属于基础题.
利用古典概型的概率公式以及相互独立事件的概率乘法公式,对四个选项逐一分析判断即可.
【解答】
解:因为袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球,
所以第一次摸到红球的概率为,故选项A正确;
若第一次摸到红球,则第二次摸到红球的概率为,
若第一次摸到黄球,则第二次摸到红球的概率为,
所以第二次摸到红球的概率为,故选项B正确;
由选项B的分析可知,两次都摸到红球的概率为,故选项C错误;
两次都摸到黄球的概率为,故选项D错误.
故答案选:
11.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查指数函数及其性质,对数函数及其性质,函数的单调性与单调区间,函数零点存在定理和分类讨论思想,属于中档题.
利用指数函数和对数函数的单调性,结合复合函数的单调性得函数是上的减函数,再利用函数的单调性,结合题目条件得,再结合题目条件和函数零点存在定理,分情况讨论得结论.
【解答】
解:因为函数是上的减函数,
而,所以
又因为,实数d是函数的一个零点,
所以:①当时,,,
满足,因此,故A正确;
②当时,,,满足,
因此由函数零点存在定理知:,故BD正确;
综上所述,可能成立的是A,B,
故答案选:
12.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式存在性或恒成立问题,属于中档题.
由一元二次不等式恒成立的条件可判断A,将和代入,即可判断C、D,令,可判断
【解答】
解:不等式,
即,要使此不等式对任意恒成立,
则,即 ,故A正确;
将代入,即可得,故C正确;
将代入,即可得,故D正确;
当,时,不等式,即为,对任意恒成立,故B错误.
故答案为:
13.【答案】13
【解析】
【分析】
本题考查了茎叶图和中位数、平均数的定义,属于基础题.
利用茎叶图得样本数据,再利用中位数和平均数的概念得y,x,然后得结论.
【解答】
解:因为甲班学生成绩的平均分是86,
所以,
即,
又因为乙班学生成绩的中位数是83,
所以若,则中位数为81,
不成立.
如,则中位数为,
解得
故答案为
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量共线定理,注意向量方向相反,属于基础题.
根据题意分析求解即可.
【解答】
解:设,其中取,得
故答案为:
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等式的解法,体现数形结合的数学思想,属于中档题.
在同一个坐标系中,画出函数和函数的图象,数形结合可得不等式的解集.
【解答】
解:由不等式 可得,
当时,,
当时,,
在同一个坐标系中,画出函数和函数的图象,数形结合可得不等式的解集为
故答案为:
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值,利用导数研究闭区间上函数的最值,属于较难题.
令,可证明,从而解得
【解答】
解:
,
当且仅当,且即时,等号成立
故当且仅当等号同时成立时,等号成立
故,
即
故答案为:
17.【答案】解:
【解析】本题考查指数及对数的化简求值,涉及到指对互化及换底公式的运用,属于中档题.
根据已知条件分析求解即可.
18.【答案】解:因为,
所以,即,所以
,
令,因为,
所以则,
当时,此时
当时,此时
【解析】本题考查复合型对数函数的最值及反函数知识,属于中档题.
由可知,即可得解;
由结合换元法,转化为二次函数,利用二次函数性质即可得解.
19.【答案】解:
,
当时,;
当时,;
当时,;
当时,集合,
若存在实数m,使得是的必要不充分条件,则集合N为集合M的真子集;
因为所以,即,
所以,不存在实数m,使得是的必要不充分条件.
【解析】本题考查含参的一元二次不等式的解法、必要不充分条件的应用,属于中档题.
利用指数函数性质得集合M,分类讨论得到集合N;
根据题意得出,即可求出结果.
20.【答案】解:,
,因为E,P,C三点共线,所以
又,因为B,P,F三点共线,
所以,所以解得:,
【解析】本题考查向量加减及数乘的运算,向量共线定理与三点共线问题,属于中档题.
根据题意直接分析表示即可;
分别利用E,P,C三点共线和B,P,F三点共线列式计算即可.
21.【答案】解:指标Y的平均值为:
由分层抽样方法知:
先抽取的6件产品中,指标Y在的有1件,记为A,
在的有3件,记为,,,在的有2件,记为,,
从6件中随机抽取2件,共有15个基本事件分别为:
,,,,,,,,,,,,,,
其中满足条件的基本事件有12个,分别为:
,,,,,,,,,,,
所以这2件产品的指标至少有一个在内的概率为:
假设这36件产品每件都不购买服务,则平均每件产品的消费费用为:
元,
假设这36件产品每件都购买该服务,则平均每件产品的清费费用为:
,所以该服务值得清费者购买.
【解析】本题考查求样本数据的平均数、分层抽样、古典概型及函数模型的综合应用,考查分析和计算能力,属于中档题.
用各区间中值乘以各区间所占的频率,再相加即为平均值;
根据分层抽样,求出指标Y在各区间上的样本容量,记成不同的符号,再列出基本事件总数和满足条件的基本事件数,利用古典概型概率公式即可求解;
分别表示出每种方案平均每件产品的消费费用,比较大小,即得结论.
22.【答案】解:当时,,所以,
又因为是定义在R上的奇函数,所以时,,
所以;
证明:当时,
任取,则,
所以,即在上单调递增,
又是定义在R上的奇函数,,所以是R上的增函数.
原不等式恒成立等价于对任意的恒成立,
即对任意的恒成立,
构造函数,易知也是R上的增函数,
故原不等式恒成立等价于对任意的恒成立,
即对任意的恒成立,
当时,结论显然不成立,
当时,则,解得,
综上所述,实数a的取值范围是
【解析】本题考查函数的解析式,函数的奇偶性和单调性,以及不等式恒成立问题,属于较难题.
由时,,则结合奇函数的性质可得,由此即可解得在R上的解析式;
当时,,任取,由,及判断出的单调性即可;
利用函数单调性的定义得到在上单调递增,结合奇函数的性质可得是R上的增函数,再将原不等式转化为恒成立,构造函数,易知也是R上的增函数,故原不等式恒成立等价于对任意的恒成立,利用一元二次不等式恒成立的方法求解即可.
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