人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆课后复习题

习题课　椭圆的综合问题及应用

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.已知直线l过点(3,-1),椭圆C:=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　)

A.1 B.1或2

C.2 D.0

答案C

2.点A(a,1)在椭圆=1的内部,则a的取值范围是 (　　)

A.(-) 

B.(-∞,-)∪(,+∞)

C.(-2,2) 

D.(-1,1)

答案A

3.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,当△F1PF2的面积为1时,等于 (　　)

A.0 B.1 

C.2 D.

解析设P(x0,y0),

则依题意有·|F1F2|·|y0|=1,

而|F1F2|=2,所以y0=±.

故得x0=±.

取P,可得=0.

答案A

4.过点M(-2,0)的直线m与椭圆+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1,直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为(　　)

A.2 B.-2 

C. D.-

解析设直线m与x2+2y2=2的交点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则中点P(x0,y0),且x0=,y0=,

将P1(x1,y1),P2(x2,y2)代入x2+2y2=2,可得+2=2,+2=2,以上两式相减,可得+2()=0,则由于k1=,k2=,

所以1+2=0,即1+2k1k2=0,所以k1k2=-.

答案D

5.若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任一点,则的最小值为(　　)

A. B.6 

C.8 D.12

解析∵点P为椭圆=1上的任意一点,

设P(x,y)(-3≤x≤3,-2≤y≤2),

依题意得左焦点F(-1,0),

∴=(x,y),=(x+1,y),

∴=x(x+1)+y2=x2+x+.

∵-3≤x≤3,

∴≤x+,

∴,

∴.

∴6≤≤12,即6≤≤12.

答案B

6.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M,N两点,原点O与线段MN的中点P连线的斜率为,则的值是　　　　　. 

解析由消去y,得(m+n)x2-2nx+n-1=0.

则MN的中点P的坐标为.

所以kOP=.

答案

7.已知斜率为2的直线l被椭圆=1截得的弦长为,则直线l的方程为　　　　　　　　　. 

解析设直线l的方程为y=2x+m,与椭圆交于A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),

由

消去y并整理得14x2+12mx+3(m2-2)=0,

所以x1+x2=-m,x1x2=(m2-2).

由弦长公式得

|AB|=

=,

解得m=±,

所以直线l的方程为y=2x±.

答案y=2x±

8.已知椭圆E的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),点C在椭圆E上.

(1)求椭圆E的方程;

(2)若点P在椭圆E上,且t=,求实数t的取值范围.

解(1)依题意,设椭圆E的方程为=1(a>b>0),

由已知c=1,所以a2-b2=1. ①

因为点C在椭圆E上,所以=1. ②

由①②得,a2=4,b2=3.

故椭圆E的方程为=1.

(2)设P(x0,y0),由=t,

得(-1-x0,-y0)·(1-x0,-y0)=t,

即=t+1. ③

因为点P在椭圆E上,所以=1. ④

由③得=t+1-,代入④,并整理得=4(t-2). ⑤

由④知,0≤≤4, ⑥

结合⑤⑥,解得2≤t≤3.

故实数t的取值范围为[2,3].

9.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,P是C上一点,F1,F2是C的两个焦点,且|PF1|+|PF2|=4.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线y=x+n交椭圆C于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB面积的最大值.

解(1)∵|PF1|+|PF2|=4,

∴2a=4,即a=2.

∵e=,

∴c=,

∴b2=a2-c2=2,

即椭圆方程为=1.

(2)设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2),

将y=x+n代入椭圆C的方程,整理得5x2+4nx+2n2-4=0,

Δ=32n2-20(2n2-4)>0,∴n2<10,

∴x1+x2=-,x1x2=,

∴|AB|=,点O到直线AB的距离d=,

∴S△OAB=×|AB|×d=×(10-n2+n2)=,

∴当且仅当10-n2=n2,即n2=5时,等号成立,

∴△OAB面积的最大值为.

关键能力提升练

10.(2020广东中山高三质检)已知椭圆=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且△F1AB的面积为,点P为椭圆上的任意一点,则的取值范围为(　　)

A.[1,2] B.[] 

C.[,4] D.[1,4]

解析由椭圆=1(a>b>0)的短轴长为2b=2,得b=1,又(a-c)b=,

解得a-c=2-,∴a=2,c=,|PF1|+|PF2|=2a=4,设|PF1|=x,

则|PF2|=4-x,x∈[a-c,a+c],

即x∈[2-,2+],

∴∈[1,4].

答案D

11.已知椭圆=1(a>b>0),点F为左焦点,点P为下顶点,平行于FP的直线l交椭圆于A,B两点,且AB的中点为M,则椭圆的离心率为(　　)

A. B. 

C. D.

解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=1,又因为A,B在椭圆上,

所以=1,=1,两式相减,得=-,

∵kAB==kFP=-,kOM=,

∴,∴a2=2bc,平方可得

a4=4(a2-c2)c2,∴.

答案A

12.点A为椭圆C:=1(a>b>0)的右顶点,点P为椭圆C上一点(不与A重合),若=0(O是坐标原点),则(c为半焦距)的取值范围是(　　)

A.,1 B.,1 

C.,1 D.以上说法都不对

解析∵设P(x0,y0)(x0≠a),∵=0(O是坐标原点),则点P在以OA为直径的圆上,

∴即c2-a3x0+a2b2=0,

即(c2x0-ab2)(x0-a)=0,

∴x0=a,或x0=,

∵x0≠a,故x0=,

∴0<<a.

∴b2<c2,即a2-c2<c2,∴,

∴的取值范围是,1,故选B.

答案B

13.(2020湖南五市十校高二上期中)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心的圆过椭圆C的中心,且与C在第一象限交于点P.若直线PF1恰好与圆F2相切于点P,则C的离心率为              (　　)

A.-1 B.

C. D.

解析如图所示,依题意得∠F1PF2=90°,

|PF2|=c,

∴|PF1|=2a-c.又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,

∴(2a-c)2+c2=4c2,即c2+2ac-2a2=0,

∴e2+2e-2=0,解得e=-1或e=--1(舍).故选A.

答案A

14.(多选题)设A,B是椭圆C:=1长轴的两个顶点,若C上存在点P满足∠APB=120°,则k的取值可以是(　　)

A. B.2 C.6 D.12

解析若C上存在点P满足∠APB=120°,则只需当点P在短轴顶点时∠APB≥120°.

故分析长半轴与短半轴的关系即可.

当焦点在x轴时,若∠APB≥120°,则

⇒0<k≤,

当焦点在y轴时,若∠APB≥120°,则

⇒k≥12.故k∈∪[12,+∞),由选择项可知,AD符合题意.

答案AD

15.(多选题)设椭圆的方程为=1,斜率为k的直线不经过原点O,而且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点.下列结论正确的是(　　)

A.直线AB与OM垂直

B.若点M坐标为(1,1),则直线方程为2x+y-3=0

C.若直线方程为y=x+1,则点M坐标为

D.若直线方程为y=x+2,则|AB|=

解析设直线方程为y=kx+b,联立得到(k2+2)x2+2kbx+b2-4=0,

设A(xA,yA),B(xB,yB),则有xA+xB=-,xAxB=,

所以yA+yB=k(xA+xB)+2b=,

故中点M为.

直线OM的斜率kOM=-=-,所以k·kOM=-2≠-1,A不正确;

若M(1,1),则xA+xB=-=2,

yA+yB==2,解得k=-2,b=3,B正确;

若y=x+1,则k=b=1,故=-=-,

,C不正确;

若y=x+2,则k=1,b=2,

|AB|=

=.

故D正确.

答案BD

16.(2020河北石家庄二中高二上期中)已知点P是椭圆=1(a>b>0)上的一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,∠F1PF2=120°,且|PF1|=3|PF2|,则椭圆的离心率为　　　　　. 

解析设|PF2|=m(m>0),则|PF1|=3m,

由∠F1PF2=120°得,

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 120°,

即4c2=9m2+m2+3m·m,

因此,c=m.又2a=|PF1|+|PF2|=4m,

∴a=2m,

∴e=.

答案

17.(2020广东惠州高二上期末)椭圆=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,则m的最大值为　　　　　,此时点P的坐标为　　　　　. 

解析设F1,F2为椭圆的两焦点,m=|PF1|·|PF2|≤2=2=a2=25,当且仅当|PF1|=|PF2|=5时,等号成立.此时m取最大值25,即点P在短轴端点时,m取最大值,所以此时点P的坐标为(±3,0).

答案25　(±3,0)

18.已知椭圆C:=1(a>b>0)过点P,离心率是.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,求直线l与坐标轴围成三角形的面积.

解(1)由已知可得=1,

c2=a2-b2,解得a=2,b=1.

∴椭圆的方程为+y2=1.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得=1,=1,

两式相减得+(y1-y2)(y1+y2)=0,

由中点坐标公式得x1+x2=1,y1+y2=1.

∴直线AB的斜率kAB==-,可得直线AB的方程为y-=-,

令x=0,可得y=,令y=0,可得x=,

则直线l与坐标轴围成的三角形面积为

S=.

学科素养创新练

19.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2.

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)若椭圆C的左焦点为F1,过点F1的直线l与椭圆C交于D,E两点,则在x轴上是否存在一个定点M使得直线MD,ME的斜率互为相反数?若存在,求出定点M的坐标;若不存在,请说明理由.

解(1)据题意,得

解得a2=4,b2=3,

所以椭圆C的标准方程为=1.

(2)存在.据题设知点F1(-1,0),当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1).

由得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.

设E(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.

设M(m,0),则直线MD,ME的斜率分别满足kMD=,kME=.

又因为直线MD,ME的斜率互为相反数,

所以kME+kMD==0,所以x2y1+x1y2-m(y1+y2)=0,所以x2k(x1+1)+x1k(x2+1)-m[k(x1+1)+k(x2+1)]=0,

所以2kx1x2+k(x1+x2)-m[k(x1+x2)+2k]=0,

所以2k·+k·-mk·+2k=0,所以k(m+4)=0.

若k(m+4)=0对任意k∈R恒成立,则m=-4,

当直线l的斜率k不存在时,若m=-4,则点M(-4,0)满足直线MD,ME的斜率互为相反数.

综上,在x轴上存在一个定点M(-4,0),使得直线MD,ME的斜率互为相反数.