第三章 模块综合训练

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模块综合训练(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线x-y-2 021=0的倾斜角等于(　　)　　　　　　　　　　　　A. B. C. D.不存在解析直线x-y-2 021=0化为y=x-2 021,则直线的斜率为,所以直线的倾斜角等于.故选B.答案B2.(2020天津,7)设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为(　　)A.=1 B.x2-=1 C.-y2=1 D.x2-y2=1解析∵双曲线=1的渐近线方程为y=±x,y2=4x的焦点坐标为(1,0),l为=1,即y=-bx+b,∴-b=-且-b·=-1,∴a=1,b=1.故选D.答案D3.若圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0,则a的值等于(　　)A.0 B.2 C.1 D.±2解析圆x2+y2-ax-2y+1=0的标准方程为+(y-1)2=,圆心坐标为,圆x2+y2-4x+3=0的标准方程为(x-2)2+y2=1,圆心坐标为(2,0),半径为1,连心线所在直线的斜率为,中点坐标为,由题意可得解得a=2.答案B4.如图,在棱长均相等的四面体O-ABC中,点D为AB的中点,CE=ED,设=a,=b,=c,则=(　　)A.a+b+c B.a+b+cC.a+b-c D.a+b+c解析∵CE=ED,∴=,∴==a+b+c.答案D5.若双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为 (　　)A.2 B. C. D.解析双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,圆心(2,0)到渐近线距离为d=,则点(2,0)到直线bx+ay=0的距离为d=,即=3,整理可得c2=4a2,双曲线的离心率e==2.答案A6.如图,在几何体ABC-A1B1C1中,△ABC为正三角形,AA1∥BB1∥CC1,AA1⊥平面ABC,若E是棱B1C1的中点,且AB=AA1=CC1=2BB1,则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为(　　)A. B. C. D.解析以C为原点,在平面ABC内过C作BC的垂线为x轴,CB为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系,设AB=AA1=CC1=2BB1=2,则A1(,1,2),A(,1,0),C1(0,0,2),B1(0,2,1),E=(-,-1,2),设异面直线A1E与AC1所成角为θ,则cos θ=.∴异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为.答案C7.已知抛物线C:y2=8x,圆F:(x-2)2+y2=4(点F为其圆心),直线l:y=k(x-2)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1,M2,M3,M4四点,则下列各式结果为定值的是(　　)A.|M1M3|·|M2M4| B.|FM1|·|FM4|C.|M1M2|·|M3M4| D.|FM1|·|M1M2|解析如图,设M1,M2,M3,M4四点的横坐标分别为x1,x2,x3,x4,由题意知y2=8x的焦点坐标与圆F的圆心(2,0)相同,准线l0:x=-2.由定义得|M1F|=x1+2.又|M1F|=|M1M2|+2,∴|M1M2|=x1,同理,|M3M4|=x4.将y=k(x-2)代入抛物线方程,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,∴x1x4=4,∴|M1M2|·|M3M4|=4.故选C.答案C8.如图,已知F1,F2是椭圆T:=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆T上一点,且不与x轴重合,过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线,垂足为Q,则点Q在　　　　　上运动.(　　) A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线解析作F2Q与F1P的延长线交于点M,连接OQ(图略).因为PQ是∠F1PF2的外角的平分线,且PQ⊥F2M,所以在△PF2M中,|PF2|=|PM|,且Q为线段F2M的中点.又O为线段F1F2的中点,由三角形的中位线定理,得|OQ|=|F1M|=(|PF1|+|PF2|).由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,所以|OQ|=a,所以点Q在以原点为圆心,a为半径的圆上运动.答案B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2020山东,9)已知曲线C:mx2+ny2=1.(　　)A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上B.若m=n>0,则C是圆,其半径为C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±xD.若m=0,n>0,则C是两条直线解析∵mx2+ny2=1,∴=1.∵m>n>0,∴>0,∴C是焦点在y轴上的椭圆,A正确;∵m=n>0,∴x2+y2=,即C是圆,∴r=,B错误;由mx2+ny2=1,得=1,∵mn<0,异号,∴C是双曲线,令mx2+ny2=0,可得y2=-x2,即y=±x,C正确;当m=0,n>0时,有ny2=1,得y2=,即y=±,表示两条直线,D正确,故选ACD.答案ACD10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=4,BC=2,M,N分别为棱C1D1,CC1的中点,则下列说法正确的是(　　)A.A,M,N,B四点共面B.平面ADM⊥平面CDD1C1C.直线BN与B1M所成的角为60°D.BN∥平面ADM解析对于A,由图显然AM、BN是异面直线,故A,M,N,B四点不共面,故A错误;对于B,由题意AD⊥平面CDD1C1,故平面ADM⊥平面CDD1C1,故B正确;对于C,取CD的中点O,连接BO,ON,可知B1M∥OB,三角形BON为等边三角形,故C正确;对于D,BN∥平面AA1D1D,显然BN与平面ADM不平行,故D错误.答案BC11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出下列四个结论,其中正确的结论是(　　)A.()2=3B.·()=0C.向量与向量的夹角为60°D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为||解析A中,设正方体的棱长为1,则()2==3,3=3,故A正确;B中,,由,故B正确;C中,A1B与AD1两异面直线所成角为60°,但的夹角为120°,故C不正确;D中,||=0,故D也不正确.答案AB12.若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线是“好曲线”的是(　　)A.x+y=5 B.x2+y2=9C.=1 D.x2=16y解析由双曲线定义可知:点M轨迹是以A,B为焦点的双曲线.则a=4,c=5,∴b2=c2-a2=9,∴M的轨迹方程为=1.直线x+y=5过点(5,0),故直线与M的轨迹有交点,是“好曲线”,A正确;x2+y2=9是以(0,0)为圆心,3为半径的圆,与M的轨迹没有交点,不是“好曲线”,B错误;=1的右顶点为(5,0),故椭圆与M的轨迹有交点,是“好曲线”,C正确;把x2=16y代入双曲线方程,可得y2-9y+9=0,此时Δ>0,故抛物线与M的轨迹有交点,是“好曲线”,D正确.答案ACD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知圆C:x2+y2-2x-1=0,以点,1为中点的弦所在的直线l的方程是　　　　　　　　. 解析圆的方程可化为(x-1)2+y2=2,可知圆心为C(1,0).设A,1,则以A为中点的弦所在的直线l即为经过点A且垂直于AC的直线.又知kAC==-2,所以kl=,所以直线l的方程为y-1=x-,即2x-4y+3=0.答案2x-4y+3=014.在四棱锥P-ABCD中,设向量=(4,-2,3),=(-4,1,0),=(-6,2,-8),则顶点P到底面ABCD的距离为　　　　　. 解析设平面ABCD的法向量n=(x,y,z),则令x=3,则y=12,z=4,∴n=(3,12,4).∴点P到底面ABCD的距离d==2.答案215.(2019全国Ⅲ,理15)设F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为　　　　　. 解析∵a2=36,b2=20,∴c2=a2-b2=16,∴c=4.由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.∵|MF1|+|MF2|=2a=12,∴|MF2|=4.设点M的坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则×|F1F2|×y0=4y0.又×4×=4,∴4y0=4,解得y0=.又点M在椭圆C上,∴=1,解得x0=3或x0=-3(舍去).∴点M的坐标为(3,).答案(3,)16.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N,E,F分别是A1B1,AD,B1C1,C1D1的中点,则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为　　　　　,CE和该截面所成角的正弦值为　　　　　. 解析取A1D1的中点G,BC的中点P,CD的中点H,连接GM,GN,MN,PE,PH,PF,HF,∵MG∥EF,NG∥EP,MG∩NG=G,EF∩EP=E,∴平面MNG∥平面PEFH,∴过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面为PEFH,∵PE=2,EF=,四边形PEFH是矩形,∴过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面PEFH的面积为S=2.以D1为原点,D1A1为x轴,D1C1为y轴,D1D为z轴,建立空间直角坐标系,E(1,2,0),F(0,1,0),H(0,1,2),C(0,2,2),=(-1,0,2),=(-1,-1,0),=(-1,-1,2),设平面PEFH的法向量n=(x,y,z),则取x=1,得n=(1,-1,0),设CE和该截面所成角为θ,则sin θ=,∴CE和该截面所成角的正弦值为.答案2四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米,拱顶距离水面6.5米.(1)建立如图所示的平面直角坐标系xOy,试求拱桥所在抛物线的方程;(2)若一竹排上有一个4米宽、6米高的大木箱,问此木排能否安全通过此桥?解(1)由题意在平面直角坐标系xOy中,设抛物线方程为y=ax2(a<0).由条件得点(26,-6.5)在抛物线上,∴-6.5=262a,解得a=-,∴抛物线方程为y=-x2,即x2=-104y.(2)由(1)可得抛物线的方程为x2=-104y,当x=2时,解得y=-,∵6.5-6=0.5>,∴木排可安全通过此桥.18.(12分)如图,已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点,直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程;(2)当|MN|=2时,求直线l的方程.解(1)由于圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,∴R==2,∴圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2)①当直线l与x轴垂直时,易知x=-2与题意相符,使|MN|=2.②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0,连接AQ,则AQ⊥MN,∵|MN|=2,∴|AQ|=1,由|AQ|==1,得k=.∴直线l:3x-4y+6=0,故直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.19.(12分)(2020山东,20)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明:l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.(1)证明因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.又底面ABCD为正方形,所以AD⊥DC.所以AD⊥平面PDC.因为AD∥BC,AD不在平面PBC中,所以AD∥平面PBC,又因为AD⊂平面PAD,平面PAD∩平面PBC=l,所以l∥AD.所以l⊥平面PDC.(2)解以D为坐标原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.由PD=AD=1,得D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),则=(0,1,0),=(1,1,-1).由(1)可设Q(a,0,1),则=(a,0,1).设n=(x,y,z)是平面QCD的法向量,则可取n=(-1,0,a).所以cos<n,>=.设PB与平面QCD所成角为θ,则sin θ=.因为,当且仅当a=1时,等号成立,所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为.20.(12分)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点到直线l:x-y-2=0的距离为.(1)求抛物线的标准方程;(2)设点C是抛物线上的动点,若以点C为圆心的圆在x轴上截得的弦长均为4,求证:圆C恒过定点.(1)解因为x2=2py的焦点坐标为,由点到直线的距离公式可得,解得p=2(负值舍去),所以抛物线的标准方程是x2=4y.(2)证明设圆心C的坐标为,半径为r,又圆C在x轴上截得的弦长为4,所以r2=4+,所以圆C的标准方程为(x-x0)2+=4+,化简得-2xx0+(x2+y2-4)=0,对于任意的x0∈R,上述方程均成立,故有解得x=0,y=2,所以圆C恒过定点(0,2).21.(12分)在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E是线段CD上靠近点D的一个三等分点,F是线段AD上的一个动点,且=λ(0≤λ≤1).如图,将△BCE沿BE折起至△BEG,使得平面BEG⊥平面ABED.(1)当λ=时,求证:EF⊥BG.(2)是否存在λ,使得FG与平面DEG所成的角的正弦值为?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.解(1)当λ=时,F是AD的中点,∴DF=AD=1,DE=CD=1.∵∠ADC=90°,∴∠DEF=45°.∵CE=CD=2,BC=2,∠BCD=90°,∴∠BEC=45°.∴BE⊥EF.又平面GBE⊥平面ABED,平面GBE∩平面ABED=BE,EF⊂平面ABED,∴EF⊥平面BEG.∵BG⊂平面BEG,∴EF⊥BG.(2)存在.以C为原点,的方向为x轴,y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则E(2,0,0),D(3,0,0),F(3,2λ,0).取BE的中点O,∵GE=BG=2,∴GO⊥BE,∴易证得OG⊥平面BCE,∵BE=2,∴OG=,∴G(1,1,).∴=(-2,1-2λ,),=(-1,1,),=(-2,1,).设平面DEG的一个法向量为n=(x,y,z),则令z=,则n=(0,-2,).设FG与平面DEG所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|=,解得λ=或λ=-(舍去),∴存在实数λ,使得FG与平面DEG所成的角的正弦值为,此时λ=.22.(12分)(2020山东,22)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(2,1).(1)求C的方程;(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足,证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.(1)解由题设得=1,,解得a2=6,b2=3,所以C的方程为=1.(2)证明设M(x1,y1),N(x2,y2).若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为y=kx+m,代入=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.于是x1+x2=-,x1x2=.由AM⊥AN知=0,故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,可得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0.整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.因为A(2,1)不在直线MN上,所以2k+m-1≠0,故2k+3m+1=0,k≠1.于是MN的方程为y=k(k≠1).所以直线MN过点P.若直线MN与x轴垂直,可得N(x1,-y1).由=0得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0.又=1,可得3-8x1+4=0.解得x1=2(舍去)或x1=.此时直线MN过点P.令Q为AP的中点,即Q.若D与P不重合,则由题设知AP是Rt△ADP的斜边,故|DQ|=|AP|=.若D与P重合,则|DQ|=|AP|.综上,存在点Q,使得|DQ|为定值.