专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点4 椭圆与双曲线共焦点综合训练

这是一份专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点4 椭圆与双曲线共焦点综合训练，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点4 椭圆与双曲线共焦点综合训练
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题
微点4 椭圆与双曲线共焦点综合训练
一、单选题
1．已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（    ）
A． B．
C． D．
（2022浙江·高二期中）
2．如图是椭圆与双曲线的公共焦点分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（       ）

A． B． C． D．
3．已知为椭圆：()与双曲线：()的公共焦点，点M是它们的一个公共点，且，分别为，的离心率，则的最小值为（    ）
A． B． C．2 D．3
4．双曲线与椭圆有两个公共焦点，，其中在轴左侧且该双曲线与直线相切，则的值是（    ）
A． B． C． D．1
5．设，为椭圆与双曲线的公共焦点，，分别为左､右焦点，与在第一象限的交点为.若是以线段为底边的等腰三角形，且双曲线的离心率，则椭圆离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
（2022·浙江·舟山中学高三月考）
6．设、分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（    ）
A． B． C． D．
二、多选题
（2022江苏·高二单元测试）
7．已知椭圆C：与双曲线：共焦点，过椭圆C上一点P的切线l与x轴、y轴分别交于A，B两点为椭圆C的两个焦点又O为坐标原点，当的面积最小时，下列说法正确的是（    ）
A．
B．
C．直线OP的斜率与切线l的斜率之积为定值
D．的平分线长为
（2022江苏·泰州中学高二月考）
8．已知双曲线：与椭圆有公共焦点，的左､右焦点分别为，，且经过点，则下列说法正确的是（    ）
A．双曲线的标准方程为
B．若直线与双曲线无交点，则
C．设，过点的动直线与双曲线交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率存在，且分别记为，，则
D．若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，，则（为坐标原点）的面积为定值1
三、填空题
（2022·辽宁·建平县实验中学高二期末）
9．已知椭圆：（）和双曲线：（，）有共同的焦点，，P是它们在第一象限的交点，当时，与的离心率互为倒数，则椭圆的离心率是___________.
（2022全国·高三月考）
10．设椭圆与双曲线的公共焦点为，将的离心率记为，点A是在第一象限的公共点，若点A关于的一条渐近线的对称点为，则________．
（2020·江苏·南京市秦淮中学高二期末）
11．已知点，为椭圆（）和双曲线（，）的公共焦点，点P为两曲线的一个交点，且满足，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，则___________．
（2022·云南·会泽县实验高级中学校高二月考）
12．已知椭圆和双曲线有公共的焦点､，曲线和在第一象限相交于点P.且，若椭圆的离心率的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围是___________.
（2022全国·高二单元测试）
13．椭圆与双曲线有相同的左、右焦点分别为，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且两曲线在第一象限的公共点满足，则的值为_____．
（2022北京交通大学附属中学高二期末）
14．已知、为椭圆和双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且，那么椭圆和双曲线的离心率之积为_____________.
15．已知椭圆：()与双曲线：(，)有相同的焦点，，其中为左焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，，分别为曲线，的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为________.
16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是与的一个公共点，是一个以为底的等腰三角形，，的离心率为，则的离心率是______．
17．设是椭圆与双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线的渐近线的方程是_______
（2022·安徽省舒城中学高二月考）
18．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，P为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为，且，则的取值范围为_________．
（2022·安徽省临泉第一中学高二月考）
19．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则的取值范围是___________.
（2022江苏·南京市人民中学高二月考）
20．如图，F1，F2是双曲线C1：x2－＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则C2的离心率是________．

（2022·河南洛阳·模拟预测）
21．已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______．
（2022·陕西·交大附中模拟预测）
22．如图，，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若，且，则与的离心率之积为_____.

（2022·吉林长春·模拟预测）
23．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1与双曲线C2共焦点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C2的离心率为__________．
（2022·浙江嘉兴·高二期末）
24．已知椭圆，双曲线与椭圆共焦点，且与椭圆在四个象限的交点分别为，则四边形面积的最大值是___________.
（2022·吉林·希望高中高二期末）
25．椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，，则的取值范围是___________.
26．已知，分别是具有公共焦点，的椭圆和双曲线的离心率，点是两曲线的一个公共点，是的中点，且，则______．
四、双空题
（2022重庆市江津中学校高二期中）
27．已知椭圆与双曲线x2－＝1的离心率分别为e1，e2，且有公共的焦点F1，F2，则＝________，若P为两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝________．
28．已知椭圆与双曲线的公共焦点为左焦点，右焦点，点是两条曲线在第一象限内的一个公共点，则________，的值为________．
五、解答题
29．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，，且两曲线的一个公共点P满足：是直角三角形且，求双曲线的标准方程．
30．已知双曲线的方程为，椭圆与双曲线有相同的焦距，，是椭圆的上、下两个焦点，已知为椭圆上一点，且满足，若的面积为9.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点为椭圆的上顶点，点是双曲线右支上任意一点，点是线段的中点，求点的轨迹方程.
（2022·上海市实验学校模拟预测）
31．（1）设椭圆与双曲线有相同的焦点、，是椭圆与双曲线的公共点，且△的周长为6，求椭圆的方程；我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”；
（2）如图，已知“盾圆”的方程为，设“盾圆”上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，求证：为定值；

（3）由抛物线弧（）与第（1）小题椭圆弧（）所合成的封闭曲线为“盾圆”，设过点的直线与“盾圆”交于、两点，，，且（），试用表示，并求的取值范围.
（2022·福建泉州·高二期中）
32．平面直角坐标系中，椭圆C与双曲线共焦点，点A，B是C上不关于长轴对称的两点，且的最大值为8．
(1)求C的方程；
(2)若A，B到点的距离相等，求m的取值范围．

参考答案：
1．B
【分析】由椭圆方程求得，结合双曲线渐近线方程得的值，从而写出双曲线的方程.
【详解】由双曲线：（，）的一条渐近线方程为，可得.
椭圆的焦点为，可得.
双曲线中，即，
解得，，则双曲线的方程为.
故选：B
2．D
【分析】设，利用椭圆的定义及四边形为矩形，列出方程组求得的值，结合双曲线的定义和离心率的计算公式，即可求解.
【详解】设，
由点为椭圆上的点，
可得且，即，
又由四边形为矩形，
所以，即，
联立方程组，解得，
设双曲线的实轴长为，焦距为，
则，，即，
所以双曲线的离心率为.
故选：D.
3．A
【分析】设椭圆、双曲线的共同半焦距为c，利用椭圆、双曲线定义及余弦定理建立关系，再借助均值不等式计算作答.
【详解】设椭圆、双曲线的共同半焦距为c，由椭圆、双曲线对称性不妨令点M在第一象限，
由椭圆、双曲线定义知：，且，则有，，
在中，由余弦定理得：，
即，整理得：，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
从而有，
所以的最小值为.
故选：A
4．D
【分析】利用公共焦点得到，再运用双曲线与直线相切得到，两式联解得解.
【详解】因为双曲线与椭圆有两个公共焦点，，
，，
又双曲线与直线相切，
化简得：，
，
把代入方程化简得，
，解得(舍负).
故选：D.
5．C
【分析】根据双曲线和椭圆的定义建立半焦距与长半轴长和实半轴长的关系，再利用双曲线的离心率范围可得椭圆离心率范围．
【详解】设椭圆长轴长为2，双曲线实轴长为，焦点为，
，则，
又，所以，即，又，
所以椭圆的离心率为．
故选：C．
6．A
【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设，利用椭圆和双曲线的定义可得出，再利用勾股定理可求得结果.
【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设，
由椭圆和双曲线的定义可得，所以，，
设，因为，则，由勾股定理得，
即，整理得，故.
故选：A.
7．ABC
【分析】对于A，B，C利用椭圆，双曲线的性质以及基本不等式和平面向量的基础知识比较容易判断，对于D，需要根据椭圆定义，判断的特征，利用正弦定理完成求解．
【详解】椭圆C：与双曲线：共焦点，.
，故A正确；
这时，是椭圆C：上一点，设，，则，椭圆C上一点P的切线l的方程为，，
， ，
，当且仅当时，取得最小值．
这时，，
对于B，，，，故B正确；
对于C，直线OP的斜率，切线l的斜率，，故C正确；
对于D，不妨设P在第一象限，则，这时，
在中，由，知，．
设的平分线交于点Q，则，
在中，由正弦定理得，．
故D错误．
故选：ABC
8．ACD
【分析】对A，根据椭圆与双曲线共焦点及双曲线过点T建立方程组解出a,b，进而得到答案；
对B，结合双曲线的渐近线即可判断B；
对C，设出动直线方程并代入双曲线方程，进而结合根与系数的关系求得答案；
对D，考虑动直线斜率存在和不存在两种情况，若斜率存在，设出直线的斜截式，并代入双曲线方程，根据判别式为0得到间的关系，然后解出点M的坐标，求出和O到直线的距离，最后求出面积.
【详解】对于A选项，由题意，且，联立解得，所以双曲线的标准方程为，故A正确；
对于B选项，因为双曲线的渐近线方程为，所以直线与双曲线无交点，则，故B错误；
对于C选项，过点的动直线斜率存在且不为0，故设该动直线为.设，，联立得，所以解得且且，，，则，故C正确；
对于选项D，由于动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，，当直线的斜率不存在时，：，，；当动直线的斜率存在时，且斜率时，不妨设直线：，故由，从而，化简得.又因为双曲线的渐近线方程为，故由从而点.同理可得，，所以，又因为原点到直线：的距离，所以，又由，所以，故的面积为定值1，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题的选项D比较复杂，对于此类问题要注意两个方面：①设直线方程（斜截式结构简单）时一定要考虑直线的斜率是否存在；②思路一定要直接，既然求三角形的面积，那么最直接的方法就是求出三角形的底和高.
9．
【分析】先根据椭圆定义和双曲线定义，在中利用余弦定理，再结合椭圆和双曲线的离心率关系，可解得椭圆的离心率为
【详解】设，的离心率分别为，，焦距为
由，，可得：，
由余弦定理，可得：
即有：
化简，得，两边同除以，可得：
又，则有：
又，则有：
故答案为：
10．2
【分析】由双曲线以及椭圆的定义可得，由曲线的一条渐近线是线段的中垂线可知，由勾股定理化简可得，由离心率概念可得结果.
【详解】由题意可得焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，
则由双曲线的定义可得，由椭圆的定义可得，
所以，
因为点A关于的一条渐近线的对称点为，
所以双曲线的一条渐近线是线段的中垂线，
所以，所以，
所以，即，
所以，所以，
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：通过点A关于的一条渐近线的对称点为，得到.
11．2
【解析】先结合椭圆及双曲线的定义可得，再结合离心率公式求解即可.
【详解】解：设P为双曲线右支上的任意一点，点，分别为左、右交点，
由椭圆定义有，由双曲线定义有，
则，
即，
又，则，
即，
所以，
即2，
故答案为：2.
【点睛】本题考查了椭圆及双曲线的定义，重点考查了离心率的求法，属中档题.
12．
【分析】设，由椭圆、双曲线的定义可得，，由余弦定理可建立方程，转化为离心率的关系式，根据椭圆离心率范围，计算即可得到双曲线离心率范围.
【详解】设椭圆，双曲线：，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆离心率，双曲线离心率，，如图，

由椭圆定义可得：，由双曲线定义可得：，
联立可得，，
由余弦定理可得：
即，解得，
因为，所以，，可得，
故，
故答案为：
13．2
【分析】P为双曲线和椭圆的公共点，既满足双曲线定义，也满足椭圆定义，在焦点三角形中，
椭圆的离心率，双曲线的离心率，再结合即可解答﹒
【详解】椭圆与双曲线有相同的左、右焦点分别为，，且两曲线在第一象限的公共点满足，
可设，
椭圆的离心率，
双曲线的离心率，
．
故答案为：2．
14．
【解析】本题首先可通过椭圆与双曲线共焦点得出，然后设，依次代入椭圆与双曲线方程中，得出以及，即，最后联立，求出、以及椭圆与双曲线的离心率，即可得出结果.
【详解】因为、为椭圆和双曲线的公共焦点，
所以，
因为为它们的一个公共点，且，所以可设，
则，，，
，，，即，
联立，解得，，
则椭圆，双曲线，，
故，，，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查通过椭圆与双曲线共焦点求离心率，能否根据求出是解决本题的关键，椭圆中有，双曲线中有，考查计算能力，是中档题.
15．
【分析】结合已知条件，利用椭圆和双曲线的定义求出，和之间的关系式，然后结合离心率的定义用和表示出，再利用即可求解.
【详解】由是以为底边的等腰三角形，即，
根据椭圆的定义可得，
根据双曲线的定义可得，
联立方程组，可得，
所以，
易知，则，
所以，即，
所以的取值范围是.
故答案为:.
16．3
【分析】设椭圆的长轴为，双曲线的实轴为，，由椭圆的离心率结合题意可得，再由双曲线的离心率公式即可得解.
【详解】设椭圆的长轴为，双曲线的实轴为，，
由题意椭圆的离心率，
又是一个以为底的等腰三角形，，
，解得，
双曲线的离心率.
故答案为：.
【点睛】本题考查了椭圆性质、双曲线性质的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.
17．
【解析】根据题意，设焦距为，P为第二象限的点，由已知条件结合椭圆与双曲线的定义推出，运用离心率公式和基本不等式求出离心率之积的最小值，及取得最值的条件，可得，进而求得渐近线的方程.
【详解】由椭圆与双曲线的对称性，可设P为第二象限的点，如图所示，

根据题意，椭圆的长轴长为，双曲线的长轴长为，设焦距为
由椭圆定义知，；由双曲线定义知，
联立可知：，
又，由余弦定理可得：
即，化简得：，即
又椭圆的离心率，双曲线的离心率，
则，
当且仅当，即时，等号成立，即两条曲线的离心率之积最小.
由，得，又，可知，即
故双曲线的渐近线方程：
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查椭圆和双曲线的定义与性质，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
18．
【分析】根据题意得到等量关系，结合余弦定理得到，，利用求出，进而得到.
【详解】由题意得：，，，，解得：，，由余弦定理得：，解得：，因为，解得：，，因为，即，解得：，故
故答案为：
19．
【分析】设，则由椭圆和双曲线的定义结合余弦定理可得，设，则可得，然后根据正弦函数的性质可得其范围
【详解】解：设，
由椭圆的定义得①，
由双曲线的定义得②，
①②得，，
①②得，，
由余弦定理可得，
所以③，
设，则，解得
所以，
当时，最大值为时，的值为2，
所以的取值范围是.
故答案为：
20．
【解析】利用双曲线与椭圆的定义及其离心率计算公式即可得出．
【详解】由双曲线可得，，，……①，
椭圆中，……②，
由①②得，
又，
，即，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了双曲线与椭圆的定义及其离心率计算公式，属于基础题．
21．
【分析】根据直线与的一条渐近线平行，得到，再结合双曲线与椭圆共焦点得到，再利用基本不等式求解.
【详解】解：设的半焦距为c（），则，又，
所以，又直线与的一条渐近线平行，
所以，所以，
所以，
所以，
所以，
又，
当且仅当，即，时等号成立，
即的最小值为．
故答案为：
22．2
【分析】根据已知条件结合椭圆的对称性可求出，，再根据椭圆和双曲线的定义以及离心率公式求出离心率即可求解.
【详解】解：连接，根据椭圆的对称性可知：点是的中点，
所以，四边形为平行四边形，
若，所以，
因为，所以，所以是等边三角形，
所以，，，
所以，四边形为矩形，
所以，在直角三角形中，，
所以，，
在椭圆中，，可得
在双曲线中，，可得
所以离心率之积，
故答案为：.

23．
【分析】先利用椭圆和双曲线的定义得到，， 再根据两曲线的交点与两焦点共圆，利用勾股定理求解.
【详解】不妨设焦点，在x轴上，两者在第一象限的公共点为P，
设的实半轴长为a，则的长半轴长为3a，半焦距为c，
设，，
则，
由题意知：P在为直径的圆上，
所以，
解得：．
故答案为：
24．
【分析】设双曲线和椭圆在第一象限得交点为，根据对称性易得四边形是矩形且面积为，只需联立双曲线和椭圆，求出交点表达式即可.
【详解】依题意得，双曲线的焦点是，设双曲线方程为，且，不妨设在第一象限，根据对称性易得四边形是矩形，且面积为：，联立，解得，注意到，化简得，于是， 所以四边形面积为，又
，取等号，则四边形面积最大值为.
故答案为：.
25．
【分析】根据椭圆和双曲线得定义求得，再根据，可得，从而有，求出的范围，根据，结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：设，
则有，
所以，即，
又因为，所以，
所以，即，则，
由，得，所以，所以，
则，
由，得，
因为，
当且仅当，即时，取等号，
因为，所以，所以，
即，
所以的取值范围是.
故答案为：.

26．
【分析】连接，．设，，在中，，得到，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，焦距为，由求解.
【详解】如图所示：

连接，．设，，
∵在中，，
∴．记椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，焦距为，
则，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
27．     0     3
【解析】分别求得两个曲线的，根据焦点相同，可得m＋n＝3，求得的表达式，代入m＋n＝3即可求得结果，利用椭圆和双曲线定义，可求得|PF1|，|PF2|的值，即可得答案.
【详解】根据题意：对于椭圆，对于双曲线，
因为两曲线有相同的焦点，所以4－m＝1＋n，即m＋n＝3，
则.
不妨设F1，F2分别为两曲线的左、右焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，
则，解得
所以|PF1|·|PF2|＝3，
故答案为：0，3.
28．     ##    
【分析】根据椭圆与双曲线的定义以及焦点三角形的性质直接求解.
【详解】因为，分别为左、右焦点，点在第一象限，
由椭圆与双曲线的定义可得，解得,
又，所以由余弦定理得，
故答案为：，.
29．.
【分析】根据椭圆的定义、结合双曲线的定义、锐角三角函数的定义进行求解即可.
【详解】是直角三角形且，不妨设，点P在第二象限，
由可知，椭圆的焦距为：，由题意可知：，
，解得：，
设双曲线的方程为：，
由双曲线的定义可知：，
因为，所以，因此，
所以双曲线方程为：.
30．（1）；（2）（）.
【解析】（1）根据条件先求解出双曲线的半焦距，然后结合三角形的面积、勾股定理、椭圆的定义求解出椭圆方程中的值，从而椭圆方程可求；
（2）设，，根据条件用点的坐标表示出点的坐标，再根据在双曲线上求解出满足的等式即为轨迹方程.
【详解】（1）设双曲线的半焦距为，由题，设椭圆方程（）.
∴，∴
∴，∴，∴；

（2）由题点.设双曲线右支上任意一点的坐标为，中点的坐标为，
则，∴，
又点在双曲线上，∴
∴（）.
【点睛】结论点睛：椭圆或双曲线的焦点三角形的顶点为，焦点为，且，则有：
（1）椭圆的焦点三角形的面积为：（为短轴长度一半）；
（2）双曲线的焦点三角形的面积为：（为虚轴长度一半）.
31．（1）；（2）证明见解析；（3），；，；.
【分析】（1）由由的周长为得,由椭圆与双曲线共焦点可得值,根据平方关系求得,进而即可得到椭圆方程；
（2）设“盾圆”上的任意一点的坐标为,,分为与两种情况表示出,再分别计算,即可求得定值；
（3）由“盾圆”的对称性,不妨设在轴上方（或轴上）,分类讨论：时,在椭圆弧上；时,在抛物弧上,由条件可表示出此时,相应地, 再按时, 在抛物弧上,在椭圆弧上；当时,在椭圆弧上, 在抛物弧上；当时, 、在椭圆弧上,利用三角函数性质分别求出的范围
【详解】（1）由的周长为得,椭圆与双曲线有相同的焦点,所以,即,则,,则椭圆的方程为
（2）证明：设“盾圆”上的任意一点的坐标为,
当时,,,
即；
当时,,,
即；
所以为定值.
（3）显然“盾圆”由两部分合成,所以按在抛物弧或椭圆弧上加以分类,由“盾圆”的对称性,不妨设在轴上方（或轴上）；
当时,,此时,；
当时,在椭圆弧上,由题设知代入得,,整理得,解得或（舍去）
当时,在抛物弧上,方程或定义均可得到,于是,
综上,或；
相应地,,
当时, 在抛物弧上,在椭圆弧上,
；
当时,在椭圆弧上, 在抛物弧上,
;
当时, 、在椭圆弧上,
；
综上, ，；，；
的取值范围是
【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查两点间距离公式,考查参数方程的应用,考查推理论证的能力,考查分类讨论思想,考查运算能力
32．(1)
(2)

【分析】（1）根据题意可得，求解即可；（2）根据题意在直线的中垂线上，利用设而不求结合韦达定理可得，结合题意分析．
（1）
由题意，可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为，则
由，解得，
故C的方程为．
（2）
设的方程为，，，的中点，则
则由消去y得，
所以，，，
则，
因为A，B到点的距离相等，
所以在直线的中垂线方程为上，
故，整理，得，
即，即，
又，故m的取值范围为．