北师大版 (2019)必修 第二册2.1 复数的加法与减法课时训练

§2　复数的四则运算

2.1　复数的加法与减法

课后训练巩固提升

1.若z-3+5i=8-2i,则z等于(　　).

A.8-7i B.5-3i 

C.11-7i D.8+7i

解析:z=8-2i-(-3+5i)=11-7i.

答案:C

2.若复数z满足z+(1+i)=2i,则|z|=(　　).

A. B.2 

C. D.10

解析:由z+(1+i)=2i,得z=2i-(1+i)=-1+i,则|z|=,故选A.

答案:A

3.已知复数z对应的向量如图,则复数z+1所对应的向量表示正确的是(　　).

(第3题)

解析:由题图知,z=-2+i,所以z+1=-2+i+1=-1+i,易知选A.

答案:A

4.已知复数z=i(b∈R)的实部为-1,i为虚数单位,则复数-b在复平面内对应的点位于(　　).

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析:复数z=i(b∈R)的实部为-1,则=-1,即b=6.所以z=-1+5i,所以=-1-5i.复数-b=-1-5i-6=-7-5i,其在复平面内对应的点的坐标为(-7,-5),该点位于第三象限.

答案:C

5.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是坐标原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是(　　).

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等边三角形 D.等腰直角三角形

解析:根据复数加(减)法的几何意义,知以为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形AOB为直角三角形.

答案:B

6.复数z1=cos θ+i,z2=sin θ-i,θ∈R,则|z1-z2|的最大值为(　　).

A.5 B. 

C.6 D.

解析:|z1-z2|=|(cosθ-sinθ)+2i|=.

答案:D

7.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,则|z1+z2|=　　　　　. 

解析:因为z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,

所以z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]

=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,

所以解得所以z1=3-2i,z2=-2+i,所以z1+z2=1-i,所以|z1+z2|=.

答案:

8.在复平面内,复数z1,z2,z的对应点分别为Z1,Z2,Z,已知,z1=1+ai,z2=b-2i,z=3+4i(a,b∈R),则a+b=　　　　　. 

解析:由条件知z=z1+z2,所以(1+ai)+(b-2i)=3+4i,即(1+b)+(a-2)i=3+4i,

由复数相等的条件知,1+b=3且a-2=4,解得a=6,b=2,a+b=8.

答案:8

9.已知z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β,α,β为实数,且z1-z2=i,则cos(α+β)的值为　　　　　. 

解析:因为z1=cosα+isinα,z2=cosβ-isinβ,

所以z1-z2=(cosα-cosβ)+i(sinα+sinβ)=i,

所以

①2+②2得2-2cos(α+β)=1,即cos(α+β)=.

答案:

10.已知z1=1+i,z2=cos θ+(sin θ-1)i,且z1+z2>0,则θ=　　　　　. 

解析:∵z1+z2=1+cosθ+isinθ>0,

∴∴θ=2kπ,k∈Z.

答案:2kπ,k∈Z

11.已知x,y∈R,且z1=y+xi,z2=yi-x,且z1-z2=2,则xy的值是　　　　　. 

解析:因为z1-z2=y+xi-yi+x=(y+x)+(x-y)i=2,所以即

故xy=1.

答案:1

12.已知f(z+i)=3z-2i(z∈C),则f(i)=　　　　　. 

解析:(方法一)∵f(z+i)=3z-2i=3z+3i-5i=3(z+i)-5i,则f(x)=3x-5i,∴f(i)=3i-5i=-2i.

(方法二)令z=0可得f(i)=-2i.

答案:-2i

13.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),设z=z1-z2=13-2i,求z1,z2.

解:z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]

=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i,

又因为z=13-2i,且x,y∈R,

所以

解得

所以z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,

z2=4×(-1)-2×2-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.

14.若z∈C,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.

解:设z=x+yi,x,y∈R,由|z+2-2i|=1,得|z-(-2+2i)|=1,表示以(-2,2)为圆心,1为半径的圆,如答图所示,则|z-2-2i|=表示圆上的点与定点(2,2)的距离,由图可得|z-2-2i|的最小值为圆心(-2,2)与定点(2,2)的距离减去半径长,

即-1=3.

(第14题答图)