数学必修 第二册2.1 复数的加法与减法导学案
展开§2 复数的四则运算
2.1 复数的加法与减法
学 习 任 务 | 核 心 素 养 |
1.掌握复数代数形式的加法和减法运算.(重点、难点) 2.理解复数加法和减法所满足的交换律和结合律.(重点、难点) | 1.通过学习复数的加法和减法运算,培养学生数学运算素养. 2.通过学习复数加法和减法运算所满足的运算律,培养学生数学抽象素养. |
随着生产发展的需要,我们将数的范围扩展到了复数.运算是“数”的主要功能,复数不同于实数,它是由实部、虚部两部分复合构造而成的整体.
阅读教材,回答下列问题
问题1:复数如何进行加、减运算呢?
问题2:类比多项式的加、减运算,想一想复数又如何进行加、减法运算?
问题3:两个复数的和或差得到的结果是什么?
问题4:复数的加法法则可以推广吗?
知识点1 复数的加法与减法
(1)复数加法的运算法则
两个复数的和仍是一个复数,两个复数的和的实部是它们的实部的和,两个复数的和的虚部是它们的虚部的和,也就是(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数减法的运算法则
两个复数的差仍是一个复数,两个复数的差的实部是它们的实部的差,两个复数的差的虚部是它们的虚部的差,也就是(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
(3)复数的加法运算的运算律:
结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3);
交换律:z1+z2=z2+z1.
1.两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗?
[提示] 是复数,唯一确定.
1.已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2等于( )
A.8i B.6 C.6+8i D.6-8i
B [z1+z2=3+4i+3-4i=(3+3)+(4-4)i=6.]
知识点2 复数加法的几何意义
如图,z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)分别与向量OZ1=(a,b),OZ2=(c,d)对应,根据平面向量的坐标运算,得OZ1+OZ2=(a+c,b+d),这说明两个向量OZ1,OZ2的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量的加法来进行,这是复数加法的几何意义.
2.若复数z1,z2满足z1-z2>0,能否认为z1>z2?
提示:不能,例如可取z1=3+2i,z2=2i.
2.计算(3+i)-(2+i)的结果为________.
1 [(3+i)-(2+i)=3+i-2-i=1.]
类型1 复数的加法和减法
【例1】 (教材北师版P169例1改编)(1)计算:+(2-i)-.
(2)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,求z.
(3)已知复数z满足|z|+z=1+3i,求z.
[解] (1)+(2-i)-=+i=1+i.
(2)法一:设z=x+yi(x,y∈R),
因为z+1-3i=5-2i,所以x+yi+(1-3i)=5-2i,即x+1=5且y-3=-2,
解得x=4,y=1,所以z=4+i.
法二:因为z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.
(3)设z=x+yi(x,y∈R),|z|=,
∴|z|+z=(+x)+yi=1+3i,
∴解得∴z=-4+3i.
复数代数形式的加、减法运算技巧
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部.
(2)算式中若出现字母,首先确定其是否为实数,再确定复数的实部与虚部,最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减.
(3)复数的运算可以类比多项式的运算:若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算.
1.(1)若复数z满足z+i-3=3-i,则z=________.
(2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=________(a,b∈R).
(1)6-2i (2)-a+(4b-3)i [(1)∵z+i-3=3-i,∴z=6-2i.
(2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+(b+3b-3)i=-a+(4b-3)i.]
类型2 复数加、减法的几何意义
【例2】 (教材北师版P170例4改编)如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别表示0, 3+2i,-2+4i.求:
(1)表示的复数;
(2)对角线表示的复数;
(3)对角线表示的复数.
→→
[解] (1)因为=-,所以表示的复数为-3-2i.
(2)因为=-,所以对角线表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)因为对角线=+,所以对角线表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
例2的条件不变,求向量表示的复数.
[解] 因为=+,由例2的解析可知,表示的复数为-3-2i,表示的复数为1+6i,所以向量表示的复数为(-3-2i)+(1+6i)=-2+4i.
复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)是与以原点为起点,Z(a,b)为终点的向量一一对应的.
(2)一个向量可以平移,其对应的复数不变,但是其起点与终点所对应的复数可能改变.
2.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
A [由复数模及复数减法运算的几何意义,结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A,B,C距离相等,∴P为△ABC的外心.]
1.复数(1-i)-(2+i)+3i等于( )
A.-1+i B.1-i
C.i D.-i
A [原式=1-i-2-i+3i=-1+i.]
2.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是( )
A.-2 B.4
C.3 D.-4
B [z=1-(3-4i)=-2+4i,故选B.]
3.在复平面内,复数1+i与1+3i分别对应向量和,其中O为坐标原点,则||等于( )
A. B.2
C. D.4
B [向量对应的复数为(1+3i)-(1+i)=2i,
所以=(0,2),故||=2.]
4.(5-i)-(3-i)-5i=________.
2-5i [(5-i)-(3-i)-5i=2-5i.]
5.设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,则z1-z2=________.
-1+10i [∵z1=x+2i,z2=3-yi,∴z1+z2=x+3+(2-y)i=5-6i,
∴解得∴z1=2+2i,z2=3-8i,
∴z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i.]
回顾本节内容,自我完成以下问题:
1.复数代数形式的加减运算之间有怎样的关系?
[提示] 复数代数形式的加法满足交换律、结合律,复数的减法是加法的逆运算.
2.复数加减法的几何意义是什么?
[提示] 复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.
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