北师大版高中数学必修第二册第5章3复数的三角表示作业含答案

*§3　复数的三角表示

课后训练巩固提升

1.复数z=sin 15°+icos 15°的三角形式是(　　).

A.cos 195°+isin 195°

B.sin 75°+icos 75°

C.cos 15°+isin 15°

D.cos 75°+isin 75°

解析:z=sin15°+icos15°=cos75°+isin75°,故选D.

答案:D

2.复数sin 50°-isin 140°的辐角的主值是(　　).

A.150° B.40° 

C.-40° D.320°

解析:sin50°-isin140°=cos(270°+50°)+isin(180°+140°)=cos320°+isin320°.

答案:D

3.若复数z=(a+i)2的辐角是,则实数a的值是(　　).

A.1 B.-1 

C.- D.-

解析:∵z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,argz=,∴∴a=-1,故选B.

答案:B

4.若复数cos θ+isin θ和sin θ+icos θ相等,则θ的值为(　　).

A. 

B.

C.2kπ+(k∈Z) 

D.kπ+(k∈Z)

解析:因为cosθ+isinθ=sinθ+icosθ,所以cosθ=sinθ,即tanθ=1,所以θ=+kπ(k∈Z).

答案:D

5.如果θ∈,那么复数(1+i)(cos θ-isin θ)的三角形式是(　　).

A.

B.[cos(2π-θ)+isin(2π-θ)]

C.

D.

解析:因为1+i=,

cosθ-isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ),

所以(1+i)(cosθ-isinθ)=

=.

答案:A

6.已知z=cos +isin,则arg z2=　　　　　. 

解析:因为argz=,所以argz2=2argz=2×.

答案:

7.把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转,所得到的向量对应的复数是　　　　　. 

解析:(1+i)

==1-i.

答案:1-i

8.设复数z1=1+i,z2=+i,则的辐角的主值是　　　　　. 

解析:由题知,z1=2,z2=2,

所以的辐角的主值为.

答案:

9.已知z1=,z2=6,计算z1z2,并说明其几何意义.

解:z1z2=×6×=3=3i.

首先作复数z1对应的向量,然后将绕点O按逆时针方向旋转,再将其长度伸长为原来的6倍,得到的向量即为z1z2所对应的向量.

10.设O为复平面的原点,A,B为单位圆上两点,A,B所对应的复数分别为z1,z2,z1,z2的辐角的主值分别为α,β.若△AOB的重心G对应的复数为i,求tan(α+β)的值.

解:由题意可设z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ.

因为△AOB的重心G对应的复数为i,

所以i,

即z1+z2=1+i,

于是有

即

所以tan,

故tan(α+β)=.