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    高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第五章 复数2 复数的四则运算2.1 复数的加法与减法导学案及答案

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    这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第五章 复数2 复数的四则运算2.1 复数的加法与减法导学案及答案,共6页。

      §2 复数的四则运算

    2.1 复数的加法与减法

    1.掌握复数代数形式的加法和减法运算.(重点、难点)

    2.理解复数加法和减法所满足的交换律和结合律.(重点、难点)

    1.通过学习复数的加法和减法运算,培养学生数学运算素养.

    2.通过学习复数加法和减法运算所满足的运算律,培养学生数学抽象素养.

    1复数的加法与减法

    (1)复数加法的运算法则

    两个复数的和仍是一个复数,两个复数的和的实部是它们的实部的和,两个复数的和的虚部是它们的虚部的和,也就是(abi)(cdi)(ac)(bd)i.

    (2)复数减法的运算法则

    两个复数的差仍是一个复数,两个复数的差的实部是它们的实部的差,两个复数的差的虚部是它们的虚部的差,也就是(abi)(cdi)(ac)(bd)i.

    (3)复数的加法运算的运算律:

    结合律:(z1z2)z3z1(z2z3)

    交换律:z1z2z2z1.

    2复数加法的几何意义

    如图,z1abiz2cdi(abcdR)分别与向量1(ab)2(cd)对应,根据平面向量的坐标运算,得12(acbd),这说明两个向量12的和就是与复数(ac)(bd)i对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量的加法来进行,这是复数加法的几何意义.

    思考1.两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗?

    提示是复数,唯一确定.

    2若复数z1z2满足z1z20,能否认为z1z2?

    提示不能,例如可取z132iz22i.

    1.已知复数z134iz234i,则z1z2等于(  )

    A8i         B6

    C68i D68i

    B [z1z234i34i(33)(44)i6.]

    2.在复平面内,复数1i13i分别对应向量,其中O为坐标原点,则||等于(  )

    A B2

    C D4

    B [向量对应的复数为(13i)(1i)2i

    所以(0,2),故||2.]

    3(5i)(3i)5i________.

    25i [(5i)(3i)5i25i.]

    复数的加法和减法

    【例1】 (1)计算:(2i).

    (2)已知复数z满足z13i52i,求z.

    (3)已知复数z满足|z|z13i,求z.

    []  (1)(2i)i1i.

    (2)法一:设zxyi(xyR)

    因为z13i52i,所以xyi(13i)52i,即x15y3=-2

    解得x4y1,所以z4i.

    法二:因为z13i52i,所以z(52i)(13i)4i.

    (3)zxyi(xyR)|z|

    |z|z(x)yi13i

    解得z=-43i.

    复数代数形式的加、减法运算技巧

    1复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部.

    2算式中若出现字母,首先确定其是否为实数,再确定复数的实部与虚部,最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减.

    3复数的运算可以类比多项式的运算:若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算.

    1(1)若复数z满足zi33i,则z________.

    (2)(abi)(2a3bi)3i________(abR)

    (1)62i (2)a(4b3)i [(1)zi33iz62i.

    (2)(abi)(2a3bi)3i(a2a)(b3b3)i=-a(4b3)i.]

    复数加、减法的几何意义

    【例2 如图所示,平行四边形OABC的顶点OAC分别表示0, 32i,-24i.求:

    (1)表示的复数;

    (2)对角线表示的复数;

    (3)对角线表示的复数.

    [思路点拨] 

    [] (1)因为=-,所以表示的复数为-32i.

    (2)因为,所以对角线表示的复数为(32i)(24i)52i.

    (3)因为对角线,所以对角线表示的复数为(32i)(24i)16i.

    2的条件不变,求向量表示的复数.

    [] 因为,由例2的解析可知,表示的复数为-32i表示的复数为16i,所以向量表示的复数为(32i)(16i)=-24i.

    复数与向量的对应关系的两个关注点

    1复数zabiabR是与以原点为起点,Zab为终点的向量一一对应的.

    2一个向量可以平移,其对应的复数不变,但是其起点与终点所对应的复数可能改变.

    2ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1z2z3,复数z满足|zz1||zz2||zz3|,则z对应的点是ABC(  )

    A.外心       B.内心

    C.重心 D.垂心

    A [由复数模及复数减法运算的几何意义,结合条件可知复数z的对应点PABC的顶点ABC距离相等,PABC的外心.]

    1.复数代数形式的加法满足交换律、结合律,复数的减法是加法的逆运算.

    2.复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.

    1思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)

    (1)复数与向量一一对应.  (  )

    (2)复数与复数相加减后结果只能是实数. (  )

    (3)在进行复数的加法时,实部与实部相加得实部,虚部与虚部相加得虚部.               (  )

    [提示] (1)错误.复数与以原点为起点的向量一一对应.

    (2)错误,复数与复数相加减后结果可能是实数,也可能是虚数.

    (3)正确.由复数的加法和减法的运算法则可知其正确.

    [答案] (1)× (2)× (3)

    2.复数(1i)(2i)3i等于(  )

    A.-1i       B1i

    Ci D.-i

    A [原式=1i2i3i=-1i.]

    3.若复数z满足z(34i)1,则z的虚部是(  )

    A.-2 B4

    C3 D.-4

    B [z1(34i)=-24i,故选B]

    4.设z1x2iz23yi(xyR),且z1z256i,求z1z2.

    [] z1x2iz23yiz1z2x3(2y)i56i

    解得z122iz238i

    z1z2(22i)(38i)=-110i.

     

     

     

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