北师大版 (2019)必修 第二册2.1 复数的加法与减法评课ppt课件

复数的加法与减法

【教学过程】

一、问题导入

我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律，即时，必定有

，

.

那么，复数中的加法应该如何规定，才能使得类似的交换律与结合律都成立呢？

二、新知探究

1.复数的加减法运算

【例1】（1）________.

（2）已知复数z满足，求z.

（3）已知复数z满足，求z.

[解析]（1）.

[答案]

（2）解：法一：设，因为，所以，即且，解得，，所以.

法二：因为，所以.

（3）解：设，则，又，所以，由复数相等得，解得，所以.

【教师小结】复数加减运算法则的记忆：

（1）复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．

（2）把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．

2．当一个等式中同时含有与z时，一般要用待定系数法，设．

2.复数加减法的几何意义

【例2】（1）在复平面内，平行四边形ABCD（顶点顺序为ABCD）的三个顶点A，B，C对应的复数分别是，，，则点D对应的复数为__________．

（2）已知，，，求.

[思路探究]（1）先写出点A，B，C的坐标，利用向量列方程求解．

（2）由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决．

（1）[解析]设，类比向量的运算知，所以有复数，得，，所以D对应的复数为.

[答案]

（2）解：设复数，，在复平面上对应的点分别为，，Z，由知，以，为邻边的平行四边形是菱形，在中，由余弦定理，得

，

所以，所以，

因此是正三角形，

所以．

【教师小结】利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论

（一）技巧

（1）形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．

（2）数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．

（二）常见结论

在复平面内，，对应的点分别为A，B，对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：

（1）为平行四边形；

（2）若，则四边形OACB为矩形；

（3）若，则四边形OACB为菱形；

（4）若且，则四边形OACB为正方形．

3.复数加减法的几何意义的应用

[探究问题]

（1）在实数范围内恒成立，在复数范围内是否有恒成立呢？

提示：若，则成立．否则.

如果，，虽然，但不能说大于i.

（2）复数的几何意义是什么？

提示：复数表示复数，对应两点与间的距离．

【例3】复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,，由A→B→C→D按逆时针顺序作，求.

[思路探究]首先由A，C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由点B的坐标求解出点D的坐标．

[解]如图，设，F为的对角线的交点，则点F的坐标为，

所以，即．

所以点D对应的复数为，所以，所以.

【教师小结】

（1）解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．

（2）复数的几何意义包括三个方面：复数的表示（点和向量）、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．

三、课堂总结

（一）复数代数形式的加减法

1．运算法则

设，，

则，.

2．加法运算律

设，有，

．

（二）复数加减法的几何意义

若复数，对应的向量分别为，.

四、课堂检测

1．（2019·全国卷Ⅰ）设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（    ）

A． B．

C． D．

[答案]C

2．设复数对应的点在虚轴右侧，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

[解析]复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．

[答案]D

3．已知，且是纯虚数，则________.

[解析]设，，且是纯虚数，则，

由①可得..

[答案]3i

4．若，则的最小值是________ .

[解析]由，知z对应点的轨迹是到与到点距离相等的点即虚轴，表示z对应的点到点的距离，．

[答案]1

5．集合，，集合.

（1）指出集合P在复平面内所表示的图形；

（2）求集合P中复数模的最大值和最小值．

 [解]（1）由可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由可知，集合N在复平面内所对应的点集是以点和为端点的线段的垂直平分线l，因此，集合P在复平面内所表示的图形是圆面截直线l所得的一条线段AB，如图．

（2）由（1）知，圆的方程为，

直线l的方程为．

解方程组，

得，.

所以，.

因为点O到直线l的距离为，且过点O向l作垂线，垂足在线段BE上，，

所以集合P中复数模的最大值为，最小值为.