新教材2023版高中数学第四章三角恒等变换1同角三角函数的基本关系学案北师大版必修第二册

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§1　同角三角函数的基本关系最新课标理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，eq \f(sin x,cos x)＝tan x.1.1　基本关系式1．2　由一个三角函数值求其他三角函数值1．3　综合应用[教材要点]要点　同角三角函数的基本关系式(1)sin2α＋cos2α＝________.(2)tan α＝________.eq \x(状元随笔)　(1)基本关系成立的前提是“同角”，它揭示了同角而不同名的三角函数关系，公式中的角可以是具体的数值，也可以是变量，可以是单项式表示的角，也可以是多项式表示的角．(2)这里的“同角”应广义上的理解，如eq \f(π,2)与eq \f(π,2)，2α与2α是同角，2α ＋eq \f(π,3)与2α ＋eq \f(π,3)也是同角．(3)sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的．(4)同角三角函数基本关系式的等价变形①sin2α ＝1 －cos2α，sin α ＝±eq \r(1 －cos2α)；②cos2α ＝1 －sin2α，cos α ＝±eq \r(1 －sin2α)；③sin α ＝cos α·tan α，cos α ＝eq \f(sin α,tan α).[教材答疑]　[教材P141思考交流]∵tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝3，∴sin α＝3cos α　①，又sin2α＋cos2α＝1　②，由①②联立方程解得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α＝\f(3\r(10),10)，,cos α＝\f(\r(10),10)，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α＝－\f(3\r(10),10)，,cos α＝－\f(\r(10),10).))∴eq \f(sin α＋cos α＋3,sin α－cos α)＝2＋eq \f(3,2)eq \r(10)或2－eq \f(3,2)eq \r(10).[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)因为sin2eq \f(9π,4)＋cos2eq \f(π,4)＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角．(　　)(2)对任意角α，sin α＝cos α·tan α都成立．(　　)(3)sin2eq \f(θ,2)＋cos2eq \f(θ,2)＝1.(　　)(4)对任意的角α，都有tan α＝eq \f(sin α,cos α)成立．(　　)2．若α为第二象限角，且sin α＝eq \f(2,3)，则cos α＝(　　)A．－eq \f(\r(5),3)　　　　　　　B.eq \f(1,3)C.eq \f(\r(5),3) D．－eq \f(1,3)3．已知tan α＝eq \f(1,2)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，则sin α的值是(　　)A．－eq \f(\r(5),5)　　　　　　　　B.eq \f(\r(5),5)C.eq \f(2\r(5),5) D．－eq \f(2\r(5),5)4．已知tan α＝－eq \f(1,2)，则eq \f(2sin αcos α,sin2α－cos2α)的值是________．题型一　利用同角三角函数的基本关系求值——微点探究微点1　由一个三角函数值求其他三角函数值例1　(1)已知sin α＝－eq \f(1,5)，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值；(2)已知cos α＝－eq \f(3,5)，求sin α，tan α的值．方法归纳在使用开平方关系sin α＝±eq \r(1－cos2α)和cos α＝±eq \r(1－sin2α)时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限．微点2　利用弦化切求值例2　已知tan α＝2，求下列各式的值．(1)eq \f(2sin α－3cos α,4sin α－9cos α)；(2)4sin2α－3sin αcos α＋1.eq \x(状元随笔)　所求式子都是关于sin α、cos α的分式齐次式(或可化为分式齐次式)，将其分子、分母同除以cos α的整数次幂，就是把所求式子用tan α表示，再求式子的值．跟踪训练1　(1)已知sin θ＝eq \f(1,3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则tan θ＝(　　)A．－2 B．－eq \r(2)C．－eq \f(\r(2),2) D．－eq \f(\r(2),4)(2)已知eq \f(sin θ＋cos θ,sin θ－2cos θ)＝eq \f(1,2)，则tan θ的值为(　　)A．－4 B．－eq \f(1,4)C.eq \f(1,4) D．4题型二　利用sin θ±cos θ与sin θcos θ关系求值——师生共研例3　已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝eq \f(1,2)，求：(1)sin θ·cos θ；(2)sin θ－cos θ.变式探究1　将本例中的条件改为“sin θ·cos θ＝eq \f(1,8)，且eq \f(π,4)<θ<eq \f(π,2)”，则cos θ－sin θ的值为________．变式探究2　变式探究1中的条件不变，则sin4θ＋cos4θ＝________.方法归纳sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个．即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，利用此关系求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号．题型三　利用同角三角函数基本关系式化简、证明——师生共研例4　(1)化简：eq \f(\r(1＋2sin 10°cos 10°),cos 10°＋\r(1－cos210°)) .(2)求证：eq \f(1－2sin xcos x,cos2x－sin2x)＝eq \f(1－tan x,1＋tan x).方法归纳三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的．证明简单三角恒等式的思路(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．(2)证明左右两边等于同一个式子．(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．跟踪训练2　(1)化简：eq \f(\r(1－2sin 130°cos 130°),sin 130°＋ \r(1－sin2130°))；(2)求证：tan2α－sin2α＝tan2α·sin2α.易错辨析　忽略隐含条件致错例5　若sin α＝eq \f(m－3,m＋5)，cos α＝eq \f(4－2m,m＋5)，eq \f(π,2)<α<π，则m＝________.解析：由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(m－3,m＋5)>0,\f(4－2m,m＋5)＜0,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－3,m＋5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－2m,m＋5)))2＝1))，解得m＝8.答案：8易错警示第四章　三角恒等变换§1　同角三角函数的基本关系1．1　基本关系式1．2　由一个三角函数值求其他三角函数值1．3　综合应用新知初探·课前预习[教材要点]要点(1)1　(2)eq \f(sin α,cos α)[基础自测]1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．解析：∵α是第二象限角，∴cos α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(\r(5),3).答案：A3．解析：∵α∈(π，eq \f(3π,2))，∴sin α<0.由tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(1,2)，sin2α＋cos2α＝1，得sin α＝－eq \f(\r(5),5).答案：A4．解析：eq \f(2sin αcos α,sin2α－cos2α)＝eq \f(2tan α,tan2α－1)＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2－1)＝eq \f(4,3).答案：eq \f(4,3)题型探究·课堂解透题型一例1　解析：(1)∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))2＝eq \f(24,25).又∵α是第三象限角，∴cos α<0，即cos α＝－eq \f(2\r(6),5)，∴tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝－eq \f(1,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2\r(6))))＝eq \f(\r(6),12).(2)∵cos α＝－eq \f(3,5)<0，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0，∴sin α＝eq \r(1－cos2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))2)＝eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝－eq \f(4,3)；当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0，∴sin α＝－eq \r(1－cos2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))2)＝－eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(4,3).例2　解析：(1)原式＝eq \f(\f(2sin α,cos α)－3,\f(4sin α,cos α)－9)＝eq \f(2tan α－3,4tan α－9)＝eq \f(2×2－3,4×2－9)＝－1.(2)原式＝4sin2α－3sin αcos α＋1＝eq \f(4sin2α－3sin αcos α,sin2α＋cos2α)＋1＝eq \f(4tan2α－3tan α,tan2α＋1)＋1＝eq \f(4×4－3×2,4＋1)＋1＝3.跟踪训练1　解析：(1)∵sin θ＝eq \f(1,3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cos θ＝－eq \r(1－sin2θ)＝－eq \f(2\r(2),3)，∴tan θ＝eq \f(sin θ,cos θ)＝eq \f(\f(1,3),－\f(2\r(2),3))＝－eq \f(\r(2),4).(2)eq \f(sin θ＋cos θ,sin θ－2cos θ)＝eq \f(tan θ＋1,tan θ－2)＝eq \f(1,2)，解得tan θ＝－4.答案：(1)D　(2)A题型二例3　解析：(1)∵sin θ＋cos θ＝eq \f(1,2)，∴(sin θ＋cos θ)2＝eq \f(1,4)，即1＋2sin θcos θ＝eq \f(1,4)，∴sin θ·cos θ＝－eq \f(3,8).(2)∵θ∈(0，π)，由(1)知sin θcos θ＝－eq \f(3,8)，∴sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝eq \r(sin θ－cos θ2)＝eq \r(1－2sin θcos θ)＝eq \r(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,8))))＝ eq \r(1＋\f(3,4))＝eq \f(\r(7),2).变式探究1　解析：∵(cos θ－sin θ)2＝sin2θ－2sin θcos θ＋cos2θ＝1－2×eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)，∴cos θ－sin θ＝±eq \f(\r(3),2)，又eq \f(π,4)<θ<eq \f(π,2)，sin θ>cos θ，∴cos θ－sin θ＝－eq \f(\r(3),2).答案：－eq \f(\r(3),2)变式探究2　解析：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))2＝1－eq \f(1,32)＝eq \f(31,32).答案：eq \f(31,32)题型三例4　解析：(1)eq \f(\r(1＋2sin 10°cos 10°),cos 10°＋ \r(1－cos210°))＝eq \f(\r(cos 10°＋sin 10°2),cos 10°＋sin 10°)＝eq \f(|cos 10°＋sin 10°|,cos 10°＋sin 10°)＝1.(2)证明：左边＝eq \f(1－2sin xcos x,cos2x－sin2x)＝eq \f(sin2x＋cos2x－2sin xcos x,cos x－sin xcos x＋sin x)＝eq \f(cos x－sin x,cos x＋sin x)＝eq \f(1－tan x,1＋tan x)＝右边，∴原式成立．跟踪训练2　解析：(1)原式＝eq \f(\r(sin2130°－2sin 130°cos 130°＋cos2130°),sin 130°＋ \r(cos2130°))＝eq \f(|sin 130°－cos 130°|,sin 130°＋|cos 130°|)＝eq \f(sin 130°－cos 130°,sin 130°－cos 130°)＝1.(2)证明：左边＝tan2α－sin2α＝eq \f(sin2α,cos2α)－sin2α＝eq \f(sin2α－sin2αcos2α,cos2α)＝eq \f(sin2α1－cos2α,cos2α)＝sin2α·eq \f(sin2α,cos2α)＝tan2α·sin2α＝右边，∴原式成立．易错原因纠错心得直接利用平方关系式，忽略角的范围，造成错解m＝0或m＝8.审题认真，不能漏掉每一个条件，本题eq \f(π,2)<α<π，就是告诉sin α>0，cos α＜0.