高中数学5.1 向量的数量积练习

§5　从力的做功到向量的数量积

5.1　向量的数量积

课后训练巩固提升

1.已知|b|=3,a在b方向上的投影数量是,则a·b为(　　).

A. B.3 

C.2 D.

解析:∵|a|cos<a,b>=,|b|=3,

∴a·b=|a|·|b|cos<a,b>=3×.

答案:A

2.已知|a|=3,|b|=2,且a,b的夹角为60°,如果(3a+5b)⊥(ma-b),那么m的值为(　　).

A. B. C. D.

解析:由题意知(3a+5b)·(ma-b)=0,即3ma2+(5m-3)a·b-5b2=0,3m×32+(5m-3)×3×2cos60°-5×22=0,解得m=.

答案:C

3.(多选题)设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|b-2a|=,则以下结论正确的是(　　).

A.a⊥b

B.|a+b|=2

C.|a-b|=

D.向量a,b的夹角为60°

解析:|b-2a|2=|b|2+4|a|2-4a·b=5,又因为|a|=|b|=1,所以a·b=0,所以a⊥b,所以A正确,D不正确;|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=2,故|a+b|=,所以B不正确,同理C正确.

答案:AC

4.已知平面向量a,b满足|a|=,|b|=2,a·b=-3,则|a+2b|=(　　).

A.1 B.

C.4+ D.2

解析:根据题意,得|a+2b|=.

故选B.

答案:B

5.已知向量a,b均为非零向量,(a-2b)⊥a,|a|=|b|,则a,b的夹角为(　　).

A. B. 

C. D.

解析:设a,b的夹角为θ,∵(a-2b)⊥a,且|a|=|b|,

∴a·(a-2b)=a2-2a·b=|a|2-2|a|2cosθ=0,

解得cosθ=.

∵0≤θ≤π,∴θ=.因此,a,b的夹角为.

答案:B

6.已知边长为1的菱形ABCD中,∠BAD=60°,点E满足BE=EC,则的值是(　　).

A.- B.-

C.- D.-

解析:因为,

所以=·()=

×1×1××12-12=-.

答案:C

7.设单位向量e1,e2的夹角为,a=e1+2e2,b=2e1-3e2,则b在a方向上的投影数量为(　　).

A.- B.- 

C. D.

解析:依题意得e1·e2=1×1×cos=-,

|a|=,

a·b=(e1+2e2)·(2e1-3e2)=2-6+e1·e2=-,

因此b在a方向上的投影数量为=-,

故选A.

答案:A

8.已知在△ABC中,AB=AC=4,=8,则△ABC的形状是　　　　　　　　. 

解析:=||||cos∠BAC,

即8=4×4cos∠BAC,于是cos∠BAC=.

因为0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°.

又AB=AC,故△ABC是等边三角形.

答案:等边三角形

9.已知|a|=3,|b|=4,且(a-2b)·(2a+b)≥4,则a与b的夹角θ的取值范围是　　　　　. 

解析:∵(a-2b)·(2a+b)=2a2+a·b-4a·b-2b2=2×9-3|a||b|cosθ-2×16=-14-3×3×4cosθ≥4,

∴cosθ≤-,∴θ∈.

答案:

10.在△ABC中,AB=AC=2,BC=2,点D满足=2,则的值为　　　　　. 

(第10题答图)

解析:根据题意画出图形,如答图所示.

AB=AC=2,BC=2,通过作BC边上的高并解直角三角形可得∠BAC=.

根据题意可得,=·)=×4+×2×2×-×4=-.

答案:-

11.设向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.

解:由题意,∵=4,=1,e1·e2=1,

∴(2te1+7e2)·(e1+te2)=2t+(2t2+7)e1·e2+7t=2t2+15t+7,∴2t2+15t+7<0,解得-7<t<-.

∵当2te1+7e2与e1+te2共线时,

设2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ<0)⇒⇒2t2=7⇒t=-,λ=-,

∴当t=-时,2te1+7e2与e1+te2的夹角为π.

∴实数t的取值范围是∪.