北师大版 (2019)必修 第二册5.2 向量数量积的坐标表示练习题

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册5.2 向量数量积的坐标表示练习题，共5页。

1.(2020北京高三期末)若向量a=(2，0)，b=(1，1)，则下列结论正确的是( )

A.a·b=1B.|a|=|b|
C.(a-b)⊥bD.a∥b
【解析】选项A，a·b=(2，0)·(1，1)=2;选项B，|a|=2，|b|=2;选项C，(a-b)·b=(1，-1)·(1，1)=0，正确;选项D，因为1×2≠1×0，所以两向量不平行.
【答案】C
2.(2019山东济南一中高三期中)已知向量a=(1，2)，a·b=10，|a+b|=52，则|b|=( )
A.5B.10C.5D.25
【解析】因为向量a=(1，2)，所以|a|=5.因为a·b=10，所以|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=5+20+|b|2=50，所以|b|2=25，所以|b|=5.故选C.
【答案】C
3.(2019天津高三期中)已知AB=(2，3)，AC=(3，t)，|BC|=1，则AB·BC=( )
A.-3B.-2C.2D.3
【解析】由BC=AC−AB=(1，t-3)，|BC|=12+(t-3)2=1，得t=3，则BC=(1，0)，AB·BC=(2，3)·(1，0)=2×1+3×0=2.故选C.
【答案】C
4.(多选)已知a=(3，-1)，b=(1，-2)，则下列结论正确的有( )
A.a·b=5
B.a的单位向量是31010，-1010
C.=π4
D.与b垂直的单位向量是255,55
【解析】已知a=(3，-1)，b=(1，-2)，则a·b=3×1+(-1)×(-2)=5，故A正确;
因为a=(3，-1)，|a|=10，
所以a的单位向量是31010，-1010，故B正确;
因为cs=a·b|a||b|=510×5=22，
所以=π4，故C正确;
设与b垂直的单位向量是(x，y)，可得x2+y2=1,x-2y=0,解得x=255,y=55,或x=-255,y=-55,故D错误.故选ABC.
【答案】ABC
5.(多选)设向量a=(k，2)，b=(1，-1)，则下列说法错误的是( )
A.若k<-2，则a与b的夹角为钝角
B.|a|的最小值为2
C.与b共线的单位向量只有一个，为22，-22
D.若|a|=2|b|，则k=22或-22
【解析】若a与b的夹角为钝角，则a·b<0且a与b不共线，则a·b=k-2<0,-k≠2,解得k<2，且k≠-2，A选项正确;
|a|=k2+4≥4=2，当且仅当k=0时，等号成立，B选项正确;
|b|=2，与b共线的单位向量为±b|b|，即与b共线的单位向量为22，-22或-22,22，C选项错误;
因为|a|=2|b|=22，所以k2+4=22，解得k=±2，D选项错误.
故选CD.
【答案】CD
6.(2019北京临川学校高三月考改编)已知向量a=(-4，3)，b=(6，m)，且a⊥b，则m= ;此时|b|= .
【解析】由题意，a·b=0，即-4×6+3m=0，解得m=8，此时|b|=62+82=10.
【答案】8 10
7.(2020山东高三开学考试改编)已知向量a=(4，-3)，b=(-1，2)，a，b的夹角为θ，则cs θ= .
【解析】依题意cs θ=a·b|a||b|=-105×5=-255.
【答案】-255
8.(2019北京清华附中朝阳学校高三月考)已知平面向量a=(2，1)，b=(-1，3)，若向量a⊥(a+λb)，则实数λ的值是 .
【解析】因为a=(2，1)，b=(-1，3)，
所以a+λb=(2-λ，1+3λ)，
因为a⊥(a+λb)，所以a·(a+λb)=0，
所以2(2-λ)+1+3λ=0，解得λ=-5.
【答案】-5
9.(2019山东高一期中)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，a=(1，2).
(1)若|c|=25，且c∥a，求c的坐标;
(2)若|b|=52，且a+2b与2a-b垂直，求a与b的夹角θ.
解(1)设向量c=(x，y)，
因为a=(1，2)，|c|=25，c∥a，
所以x2+y2=25,2x=y,
解得x=2,y=4,或x=-2,y=-4,
所以c=(2，4)或c=(-2，-4);
(2)因为a+2b与2a-b垂直，
所以(a+2b)·(2a-b)=0，
所以2|a|2-a·b+4a·b-2|b|2=0，
又|b|=52，|a|=12+22=5，
所以2×5+3a·b-2×54=0，得a·b=-52，
所以cs θ=a·b|a||b|=-525×52=-1.
因为θ∈[0，π]，所以θ=π.
1.(2019天津静海一中高一期末)设x，y∈R，向量a=(x，1)，b=(2，y)，c=(-1，1)，a⊥c，b∥c，则|a+b|2=( )
A.5B.5C.10D.10
【解析】由题意可得-x+1=0，-y-2×1=0，解得x=1，y=-2.所以a=(1，1)，b=(2，-2)，所以a+b=(3，-1)，所以|a+b|2=32+(-1)2=10.故选D.
【答案】D
2.(2020海南高三)已知向量a=(3，2)，b=-1，m+72，且函数f(x)=(a+xb)·(xa-b)的图象是一条直线，则|b|=( )
A.132B.14C.27D.210
【解析】由题意，f(x)=(a+xb)·(xa-b)
=x|a|2-a·b+x2a·b-x|b|2
=a·bx2+(|a|2-|b|2)x-a·b，
因为函数f(x)的图象是一条直线，
所以a·b=0，即3×(-1)+2×m+72=0，
解得m=-2，所以b=-1，32，
|b|=(-1)2+322=132.故选A.
【答案】A
3.(2019北京高一期末)已知非零向量m，n满足|m|=2|n|，m，n夹角的余弦值是13，若(tm+n)⊥n，则实数t的值是( )
A.-32B.-23C.-12D.12
【解析】因为|m|=2|n|，且m，n夹角的余弦值是13，
所以m·n=13|m||n|=23|n|2.
又(tm+n)⊥n，
所以(tm+n)·n=tm·n+|n|2=2t3|n|2+|n|2=0.
因为|n|≠0，所以2t3+1=0，所以t=-32.故选A.
【答案】A
4.已知a=(1，3)，b=(-2，0)，则|a+b|= .
【解析】因为a+b=(-1，3)，
所以|a+b|=(-1)2+(3)2=2.
【答案】2
5.(2019北京高三月考)已知向量m=(-1，2)，n=(1，λ).若m⊥n，则m+2n与m的夹角为 .
【解析】因为m⊥n，所以m·n=0，所以-1×1+2λ=0，解得λ=12，即n=1，12，因此，m+2n=(1，3).设m+2n与m的夹角为θ，因此有cs θ=(m+2n)·m|m+2n|·|m|=510×5=22.
因为θ∈[0，π]，所以θ=π4.
【答案】π4
6.(2020枣庄第三中学高一月考)在平面直角坐标系中，已知a=(1，-2)，b=(3，4).
(1)若(3a-b)∥(a+kb)，求实数k的值;
(2)若(a-tb)⊥b，求实数t的值.
解(1)因为a=(1，-2)，b=(3，4)，
所以3a-b=3(1，-2)-(3，4)=(0，-10)，
a+kb=(1，-2)+k(3，4)=(3k+1，4k-2).
因为(3a-b)∥(a+kb)，
所以-10(3k+1)=0，解得k=-13.
(2)a-tb=(1，-2)-t(3，4)=(1-3t，-2-4t)，
因为(a-tb)⊥b，
所以(a-tb)·b=3×(1-3t)+4×(-2-4t)=-25t-5=0，
解得t=-15.
7.平面内有向量OA=(1，7)，OB=(5，1)，OP=(2，1)，点M为直线OP上的动点.
(1)当MA·MB取最小值时，求OM的坐标;
(2)在(1)的条件下，求cs∠AMB的值.
解(1)设OM=(x，y)，
因为点M在直线OP上，
所以向量OM与OP共线.又OP=(2，1)，
所以x×1-y×2=0，即x=2y.
所以OM=(2y，y).
又MA=OA−OM,OA=(1，7)，
所以MA=(1-2y，7-y).
同理MB=OB−OM=(5-2y，1-y).
于是MA·MB=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8.
当y=2时，MA·MB有最小值-8，此时OM=(4，2).
(2)由(1)知OM=(4，2)，所以MA=(-3，5)，MB=(1，-1)，|MA|=34，|MB|=2,MA·MB=(-3)×1+5×(-1)=-8.故cs∠AMB=MA·MB|MA||MB|=-834×2=-41717.