高中北师大版 (2019)5.3 利用数量积计算长度与角度同步达标检测题

课后素养落实(二十)　向量数量积的坐标表示利用数量积计算长度与角度

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，则x＝(　　)

A．3    B．－3    C．    D．－

A　[a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.]

2．已知a＝(－，－1)，b＝(1，)，那么a，b的夹角θ＝(　　)

A．30°    B．60°    C．120°    D．150°

D　[cos θ＝＝－，又因为θ∈[0°，180°]，所以θ＝150°.]

3．已知向量a＝(－5，6)，b＝(6，5)，则a与b(　　)

A．垂直     B．不垂直也不平行

C．平行且同向     D．平行且反向

A　[∵a·b＝－5×6＋6×5＝0，∴a⊥b.]

4．已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是(　　)

A．x＝－    B．x＝1    C．x＝5    D．x＝0

D　[a⊥b⇔(x－1)·2＋2×1＝0⇔x＝0，故选D.]

5．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　　)

A．1    B．    C．2    D．4

C　[∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，∴n＝±.∴|a|＝＝2.]

二、填空题

6．已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝_____________________.

2　[由题意，得－2×3＋3m＝0，∴m＝2.]

7．若a＝(2，3)，b＝(－4，7)，则a在b方向上的投影数量是________．

　[a·b＝13，|b|＝，

|a|cos θ＝＝＝＝.]

8．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________．

8　[∵a＝(2，4)，b＝(－1，2)，

∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c＝a－6b，

∴c2＝a2－12a·b＋36b2＝20－12×6＋36×5＝128.

∴|c|＝8.]

三、解答题

9．已知a＝(4，3)，b＝(－1，2).

(1)求a与b的夹角θ的余弦值；

(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．

[解]　(1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝＝5，|b|＝＝，

∴cos θ＝＝＝.

(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，

∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，

∴λ＝.

10.在平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图).已知点A(16，12)，B(－5，15).

(1)求||，||；

(2)求∠OAB.

[解]　(1)由＝(16，12)，＝(－5－16，15－12)＝(－21，3)，

得||＝＝20，

||＝＝15.

(2)cos ∠OAB＝.

其中·＝－·＝－(16，12)·(－21，3)＝－[16×(－21)＋12×3]＝300，

故cos ∠OAB＝＝.∴∠OAB＝45°.

11．设A(a，1)、B(2，b)、C(4，5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影数量相同，则a与b满足的关系式为(　　)

A．4a－5b＝3     B．5a－4b＝3

C．4a＋5b＝14     D．5a＋4b＝14

A　[依定义知，＝，

∴·－·＝0，∴·＝0，

∴4(a－2)＋5(1－b)＝0，即4a－5b＝3.]

12．已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则△ABC的形状是(　　)

A．直角三角形     B．锐角三角形

C．钝角三角形     D．等边三角形

A　[∵＝(1，1)，＝(－3，3)，

∴·＝1×(－3)＋1×3＝0，

∴⊥，∴∠BAC＝90°.即△ABC为直角三角形．]

13．设向量a＝(0，－1)，b＝(cos x，sin x)，则|a＋b|的取值范围为________．(注：cos2x＋sin2x＝1)

[0，2]　[∵a＝(0，－1)，b＝(cosx，sin x)，

∴a＋b＝(cos x，－1＋sin x)，

∴|a＋b|＝，

＝

＝

＝，

∵－1≤sin x≤1，∴0≤|a＋b|≤2.]

14．在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2，2).若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．

5　[∵∠ABO＝90°，∴⊥，∴·＝0.

又＝－＝(2，2)－(－1，t)＝(3，2－t)，

∴(2，2)·(3，2－t)＝6＋2(2－t)＝0.∴t＝5.]

15．已知平面向量a＝(，－1)，b＝.

(1)证明：a⊥b；

(2)若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t).

[解]　(1)证明：∵a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b.

(2)∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d.

∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0，

又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，

∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，

∴k＝f(t)＝(t≠0).