高中数学第二章 平面向量及其应用5 从力的做功到向量的数量积5.2 向量数量积的坐标表示学案
展开1.平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示
(1)数量积的坐标表示:
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(2)模、夹角、垂直的坐标表示:
2.平面直角坐标系中,两点间的距离公式
如果表示向量a的有向线段eq \(AB,\s\up8(→))的起点和终点的坐标分别是Aeq (\a\vs4\al\c1(x1,y1)),Beq (\a\vs4\al\c1(x2,y2)),那么a=(x2-x1,y2-y1).
则|a|=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up8(→))))=eq \r((\a\vs4\al\c1(x2-x1))2+(\a\vs4\al\c1(y2-y1))2).
思考 如何利用向量知识与方法推导平面直角坐标系中,两点间的距离公式?
[提示] eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up8(→))))=eq \r(\(AB,\s\up8(→))·\(AB,\s\up8(→)))=eq \r((\a\vs4\al\c1(x2-x1))2+(\a\vs4\al\c1(y2-y1))2).
1.已知向量a=(-4,7),向量b=(5,2),则a·b的值是( )
A.34B.27
C.-43D.-6
D [a·b=(-4,7)·(5,2)=-4×5+7×2=-6.]
2.设向量eq \(OA,\s\up8(→))=(1,0),eq \(OB,\s\up8(→))=(1,1),则向量eq \(OA,\s\up8(→)),eq \(OB,\s\up8(→))的夹角为( )
A.eq \f(π,6)B.eq \f(π,4)
C.eq \f(π,3)D.eq \f(π,2)
B [cs θ=eq \f(\(OA,\s\up8(→))·\(OB,\s\up8(→)),|\(OA,\s\up8(→))||\(OB,\s\up8(→))|)=eq \f(1×1+0×1,\r(1)·\r(12+12))=eq \f(\r(2),2),
∵θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,π)),∴θ=eq \f(π,4).]
3.已知a=(2,-1),b=(1,x),且a⊥b,则x=________.
2 [由题意知a·b=2×1+(-1)×x=0,得x=2.]
4.已知a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=eq \r(5).
(1)求|a+2b|;
(2)若(a+b)·c=eq \f(5,2),求向量a与c的夹角.
[解] (1)a+2b=(1,2)+2(-2,-4)=(-3,-6),
∴|a+2b|=eq \r((-3)2+(-6)2)=3eq \r(5).
(2)∵b=(-2,-4)=-2(1,2)=-2a,
∴a+b=-a,
∴(a+b)·c=-a·c=eq \f(5,2).∴a·c=-eq \f(5,2).
又|a|=eq \r(5),|c|=eq \r(5),
∴cs〈a,c〉=eq \f(a·c,|a||c|)=eq \f(-\f(5,2),|\r(5)||\r(5)|)=-eq \f(1,2),又〈a,c〉∈[0,π],∴〈a,c〉=eq \f(2π,3).
∴向量a与c的夹角为eq \f(2π,3).
【例1】 已知向量a和b同向,b=(1,2),a·b=10,求:
(1)向量a的坐标;(2)若c=(2,-1),求(a·c)b.
[解] (1)设a=λb=(λ,2λ).
∵a·b=10,
∴eq \r(5)λ·eq \r(5)cs 0°=10,解得λ=2.∴a=(2,4).
(2)(a·c)·b=[(2×2+4×(-1)]·b=0·b=0.
进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积的坐标运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
eq \([跟进训练])
1.已知向量a=(3,-1),b=(1,-2),
求:(1)a·b;(2)(a+b)2;(3)(a+b)·(a-b).
[解] (1)a·b=3+(-1)×(-2)=5.
(2)a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),
∴(a+b)2=|a+b|2=16+9=25.
(3)(a+b)·(a-b)=a2-b2=(9+1)-(1+4)=5.
【例2】 已知a=(1,2),b=(1,λ),求满足下列条件的实数λ的取值范围.
(1)a与b的夹角为90°;
(2)a与b的夹角为锐角.
[思路点拨] 由向量的夹角公式,可转化判定a·b的符号.
[解] (1)a·b=(1,2)·(1,λ)=1+2λ.
∵a⊥b,∴a·b=0,∴1+2λ=0,∴λ=-eq \f(1,2).
(2)∵a与b的夹角为锐角,∴a·b>0且a与b不同向.
因此1+2λ>0,∴λ>-eq \f(1,2).
又∵a与b共线且同向时,λ=2.
∴a与b的夹角为锐角时,λ的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),2))∪(2,+∞).
若本例条件不变,如何求a与b的夹角为钝角时,λ的取值范围?
[解] ∵a与b的夹角θ为钝角,
∴cs θ<0且cs θ≠-1,
∴a·b<0且a与b不反向.
由a·b<0得1+2λ<0,故λ<-eq \f(1,2),
由a与b共线得λ=2,故a与b不可能反向,所以λ的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,-\f(1,2))).
利用数量积求两向量夹角的步骤
【例3】 设平面向量a=(1,1),b=(0,2).
求a-2b的坐标和模的大小.
[解] ∵a=(1,1),b=(0,2),
∴a-2b=(1,1)-2(0,2)=(1,-3),
∴|a-2b|=eq \r(12+(-3)2)=eq \r(10).
1.在本例条件不变的情况下,若c=3a-(a·b)b,求|c|.
[解] ∵a·b=x1x2+y1y2=2,
∴c=3(1,1)-2(0,2)=(3,-1),
∴|c|=eq \r(32+(-1)2)=eq \r(10).
2.在本例条件不变的情况下,若ka-b与a+b共线,求k的值.
[解] ∵a=(1,1),b=(0,2),
∴ka-b=k(1,1)-(0,2)=(k,k-2).a+b=(1,1)+(0,2)=(1,3).
∵ka-b与a+b共线,
∴eq \f(k-2,k)=3,∴k=-1.
3.在本例条件不变的情况下,若|ka-b|=eq \r(10),求k的值.
[解] ∵ka-b=k(1,1)-(0,2)=(k,k-2),且|ka-b|=eq \r(10).
∴eq \r(k2+(k-2)2)=eq \r(10),
解得k=3或k=-1.即当k=3或k=-1时满足条件.
1.已知向量a=(x,y)求其模,主要利用公式|a|=eq \r(x2+y2)求解.
2.形如(ma+nb)·(ka+eb)(m,n,k,e∈R)的坐标运算,有两条途径:
其一,先化简再代入,即展开转化为a2,a·b,b2的坐标运算;
其二,先代入再化简,即先求ma+nb与ka+eb的坐标,再运算.
3.向量是研究几何的工具,尤其是在解决与平行,垂直,线段的长,角的大小有关的问题时,有非常重要的应用.
eq \([跟进训练])
2.在△ABC,AB=3,AC=5,∠A=120°,求其中线AD的长.
[解] 依题意,eq \(AD,\s\up8(→))=eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up8(→))+eq \(AC,\s\up8(→))),
所以eq \(AD,\s\up8(→))2=eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up8(→))2+2eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))+eq \(AC,\s\up8(→))2),
所以|eq \(AD,\s\up8(→))|2=eq \f(1,4)(|eq \(AB,\s\up8(→))|2+2|eq \(AB,\s\up8(→))|·|eq \(AC,\s\up8(→))|cs∠A+|eq \(AC,\s\up8(→))|2)=eq \f(1,4)(32+2×3×5×cs120°+52)=eq \f(19,4),
所以|eq \(AD,\s\up8(→))|=eq \f(\r(19),2).即中线AD的长为eq \f(\r(19),2).
1.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥bx1x2+y1y2=0.
2.向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算,由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决,因此可利用向量的坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角,可判断两向量是否垂直.
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若两非零向量的夹角θ满足cs θ<0,则θ一定是钝角.( )
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|eq \(AB,\s\up8(→))|=eq \r((x2-x1)2+(y2-y1)2).( )
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥bx1x2+y1y2=0.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2.已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=( )
A.-4 B.-3
C.-2D.-1
B [因为m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),由(m+n)⊥(m-n),可得(m+n)·(m-n)=(2λ+3,3)·(-1,-1)=-2λ-6=0,解得λ=-3.]
3.若平面向量a=(1,-2)与b的夹角是180°,且|b|=4eq \r(5),则b=________.
(-4,8) [由题意可设b=λa=(λ,-2λ),λ<0,
则|b|2=λ2+4λ2=5λ2=80,∴λ=-4,
∴b=-4a=(-4,8).]
4.已知a=(-3,-2),b=(-4,k),若(5a-b)·(b-3a)=-55,试求b的坐标.
[解] ∵a=(-3,-2),b=(-4,k),
∴5a-b=(-11,-10-k),b-3a=(5,k+6).
∴(5a-b)·(b-3a)=(-11,-10-k)·(5,k+6)=-55-(k+10)(k+6)=-55,
∴(k+10)(k+6)=0,
∴k=-10或k=-6,
∴b=(-4,-10)或b=(-4,-6).
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.(重点)
2.能运用向量数量积的坐标表达式表示向量的模与夹角,会判断两个向量的垂直关系.(难点)
通过平面向量数量积的应用,培养数学运算与逻辑推理素养.
平面向量数量积的坐标运算
向量的夹角
向量的模
数学必修 第二册5.2 向量数量积的坐标表示学案及答案: 这是一份数学必修 第二册5.2 向量数量积的坐标表示学案及答案,共9页。
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