数学必修 第二册5.2 向量数量积的坐标表示学案及答案

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2.5.2　向量数量积的坐标表示 2.5.3　利用数量积计算长度与角度新课程标准学业水平要求能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角，能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件．会用向量方法解决简单的平面几何问题.1.掌握向量数量积，向量的模与夹角的坐标表达式．(数学运算)2．能用数量积计算长度与角度．(数学运算)3．能用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系．(数学运算，逻辑推理)4．用数量积解决简单的平面几何问题．(直观想象，逻辑推理) 课前篇·自主学习预案平面向量数量积的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．数量积a·b＝x1x2＋y1y2模a2＝x＋y，即|a|＝________夹角设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝(|a|≠0，|b|≠0)垂直a⊥b⇔________ 答案：2.　x1x2＋y1＝0课堂篇·研习讨论导案　　　　　　　　　　　　　　　　　　　研习1  数量积的坐标运算[典例1]　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(－1,1)，则a·b＋b2＝(　　)A.3 B．5  C．1 D．－1(2)已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)的值．[自主记](1)[答案]　D[解析]　a·b＋b2＝2×(－1)＋(－1)×1＋(－1)2＋12＝－2－1＋1＋1＝－1.(2)[分析]　先求出a·b，a2，b2，再对(3a－b)·(a－2b)展开求解．[解]　解法一：因为a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13，所以(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2＝3×5－7×8＋2×13＝－15.解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)，a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)．∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15.[巧归纳]　数量积的坐标运算的常用方法(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a.(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2.(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程组来进行求解．[练习1]　已知向量a∥b，b＝(1,2)，|a·b|＝10.(1)求向量a的坐标．(2)若a，b同向，c＝(2，－1)，求(b·c)·a，(a·b)·c.解：(1)设a＝(x，y)，∴a·b＝x＋2y.∵a∥b，∴y＝2x.由解得或∴a＝(2,4)或a＝(－2，－4)．(2) ∵a，b同向，∴a＝(2,4)．∴(b·c)·a＝[1×2＋2×(－1)]·a＝0·a＝0.(a·b)·c＝(2＋2×4)·c＝10·(2，－1)＝(20，－10).研习2  向量的模与夹角[典例2]　(1)若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，则|a－b|的最小值为________．(2)已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得①a与b的夹角为直角；②a与b的夹角为钝角．[自主记](1)[答案]　[解析]　∵a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，∴a－b＝(2x－1,3－x)－(1－x,2x－1)＝(3x－2,4－3x)，∴|a－b|＝＝＝，∴当x＝1时，|a－b|取最小值为.(2)[分析]　由夹角的坐标公式列方程或不等式求解．[解]　设a与b的夹角为θ，|a|＝＝，|b|＝，a·b＝1＋2λ.①因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0，所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.②因为a与b的夹角为钝角，所以cos θ<0，且cos θ≠－1，所以a·b<0，且a与b不反向．由a·b<0，得1＋2λ<0，故λ<－，由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．所以λ的取值范围为.[巧归纳]　1.应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别求出两个向量的模，再求出它们的数量积，最后代入公式求出夹角的余弦值，进而求出夹角．其流程图为：2.借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值，这是向量运算的重要应用之一．具体做法是：借助a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0或a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(这里a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))，列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可.[练习2]　1.已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角为(　　)A.  B.  C.  D.答案：B　解析：由于2a＋b＝(4,2)，则b＝(4,2)－2a＝(2,0)，则a·b＝2，|a|＝，|b|＝2.设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝.又θ∈[0，π]，所以θ＝.2.设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝　(　　)A.   B. C．2 D．10答案：B研习3  数量积的坐标运算的应用[典例3]　已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．(1)求使·取到最小值时的；(2)对(1)中求出的点C，求cos ∠ACB.[自主记][分析]　(1)由向量共线可设出的坐标表示，然后由坐标运算建立关于参数的函数关系进行求解．(2)由cos θ＝求cos ∠ACB的值．[解]　(1)因为点C是直线OP上一点，所以向量与共线．设＝t，则＝(2t，t)，＝－＝(1－2t,7－t)，＝－＝(5－2t，1－t)，·＝(1－2t)(5－2t) ＋(7－t)(1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8，当t＝2时，·取得最小值，此时＝(4,2)．(2)当＝(4,2)时，＝(－3,5)，＝(1，－1)，所以||＝，||＝，·＝－8，cos∠ACB＝＝－.[巧归纳]　利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何的问题转化为向量问题，进而通过向量的运算来研究几何元素间的关系.[练习3]　已知△ABC的顶点分别为A(2,1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，求：(1)点D的坐标以及||；(2)判断△ABC的形状，并说明理由．解：(1)设点D的坐标为(x，y)，由题意可知BC⊥AD，又B，C，D三点共线，故∥，因为＝(x－2，y－1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)，所以解得所以＝，||＝＝.所以点D的坐标为，||＝.(2)因为＝(－5，－2)，＝(1,1)，所以·＝(－5)×1＋(－2)×1＝－7，||＝＝，||＝.所以cos A＝＝<0，所以角A为钝角．所以△ABC为钝角三角形．达标篇·课堂速测演习　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.已知a＝(2,1)，b＝(－1,3)，若存在向量c，使a·c＝4，b·c＝9，则向量c＝(　　)A.   B.C.   D.答案：C　解析：设c＝(x，y)，则有解得故选C.2.已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋xb与b垂直，则实数x＝(　　)A.   B.  C．2 D．－答案：D　解析：由于向量a＋xb与b垂直，则(a＋xb)·b＝0，所以a·b＋xb2＝0，则6－4＋5x＝0，解得x＝－.3.已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．(1)试计算a·b及|a＋b|的值；(2)求向量a与b夹角的余弦值．解：(1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)，∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，|a＋b|＝＝＝.(2)设a与b夹角为θ.由a·b＝|a||b|cos θ，得cos θ＝＝＝.[误区警示]　向量夹角范围不清致误[示例]　已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且a与b的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是(　　)A．(－∞，－2)∪B.C.∪D.[错解]　∵a与b的夹角θ为锐角，∴cos θ>0，即a·b＝1－2λ>0，得λ<，故选D. [错因分析]　以上错解是由于思考欠全面，由不等价转化而造成的．如当a与b同向时，即a与b的夹角θ＝0°时cos θ＝1>0，此时λ＝－2，显然是不合理的．[答案]　A[正解]　∵a与b的夹角θ为锐角，∴cos θ>0且cos θ≠1，即a·b>0且a与b方向不同，即a·b＝1－2λ>0，且a≠mb(m>0)，解得λ∈(－∞，－2)∪，故选A.[题后总结]　依据两向量夹角θ的情况，求向量坐标中的参数时，需注意：当θ＝0°时，cos θ＝1>0，即a·b>0；当θ＝180°时，cos θ＝－1<0，即a·b<0.这是解题过程中容易忽略的情况．