北师大版 (2019)必修 第二册第四章 三角恒等变换2 两角和与差的三角函数公式2.4 积化和差与和差化积公式课时作业

【精编】2.4 积化和差与和差化积公式-2优选练习

一．填空题

1．已知且．则_________.

2．已知为第二象限角，且，则_________.

3．在锐角中，，，，则__________．

4．若且是第二象限角，则________.

5．若，是方程的两根，且．，则______.

6．已知．是关于的一元二次方程的两实根，则________.

7．已知为第二象限的角，，则的值为_____.

8．已知．均为锐角，且，则角________.

9．已知，则________.

10．若，则__________．

11．______．

12．函数的最小正周期___________.

13．=____________.

14．已知，则__________．

15．在中，若，点，分别是，的中点，则的取值范围为___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】先由题意，确定的范围，求出，再由两角和的正弦公式，即可求出结果.

【详解】

因为，所以，

当时，；

当时，；

因为，所以，所以；

因此

.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查给值求值的问题，熟记两角和的正弦公式，以及同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.

2．【答案】.

【解析】先由求出的值，再利用同角三角函数的基本关系式求出．即可.

【详解】

因为为第二象限角，且，所以，解得，再由及为第二象限角可得．，此时.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查两角差的正切公式及同角三角函数的基本关系式的应用，属常规考题.

3．【答案】

【解析】,因为,(舍)，，由,

.

4．【答案】

【解析】先利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的正切公式可求出的值.

【详解】

是第二象限角，则，.

因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式求三角函数值，在解题时要注意角的取值范围，考查计算能力，属于中等题.

5．【答案】

【解析】由一元二次方程的根与系数关系,可得到和的值,进而可求得的值,再结合的范围,可求得答案.

【详解】

由题意,,

则,

又,则,

又因为．,所以．.

则,

又,故.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根与系数关系的运用,考查了两角和的正切公式的应用,考查了学生的计算能力,属于基础题.

6．【答案】1

【解析】先将上下展开,再利用同角三角函数关系化简成只包含．的式子,再根据．是关于的一元二次方程的两实根用韦达定理求解即可.

【详解】

,上下同时除以得,

又．是关于的一元二次方程的两实根,

故,所以,即.

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查和差角公式,同角三角函数的一般化简方法等.同时也考查了二次方程的根的关系.

7．【答案】

【解析】由为第二象限的角，，可得，由于=，再结合两角和的正弦公式展开运算即可得解.

【详解】

解：因为为第二象限的角，，

所以，

又因为==+，

所以=，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了象限角对应的三角函数值及两角和的正弦公式，主要考查了=，属中档题.

8．【答案】

【解析】由可考虑用诱导公式化成同名的三角函数再进行角度分析.

【详解】

,

因为．均为锐角,故,,所以,

又且在时取值唯一,故,

所以

故答案为：

【点睛】

本题主要考查诱导公式,且余弦函数在内的唯一性.

9．【答案】

【解析】由，然后求解即可.

【详解】

解：因为，

所以，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了三角函数的诱导公式，重点考查了角与角之间的关系，属基础题.

10．【答案】

【解析】由于，利用正切的两角差的公式展开，进而可得的值。

【详解】

由于，

所以

故答案为：

【点睛】

本题主要考查两角差的正切函数公式，考查学生对三角函数基本公式的熟悉，属于基础题。

11．【答案】

【解析】将非特殊角化为特殊角的和与差，是求三角函数值的一个有效方法.

考点：两角和的正弦

12．【答案】

【解析】利用两角和的正弦公式化简函数表达式，由此求得函数的最小正周期.

【详解】

依题意，故函数的周期.

故填：.

【点睛】

本小题主要考查两角和的正弦公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.

13．【答案】

【解析】由题意利用两角和差正余弦公式化简所给的三角函数式即可.

【详解】

由题意可得：

.

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查三角函数式的化简，两角和差正余弦公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

14．【答案】；

【解析】 ，所以.

15．【答案】

【解析】记，，，根据正弦定理得到，再由题意，得到，，推出，再由题意，确定的范围，即可得出结果.

【详解】

记，，，

由得，

所以，即，因此，

因为，分别是，的中点，

所以

，

同理：，

所以，

因为且，

所以，则，所以，

则，所以.

即的取值范围为.

故答案为

【点睛】

本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，以及两角和的正弦公式即可，属于常考题型.